Katera kvadratna enačba je brez korenin? Naloga utrjevanja pridobljenega znanja

Kvadratna enačba je enačba oblike ax^2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna števila, a ≠ 0, sicer ne bo več kvadratna enačba. Kvadratne enačbe bodisi nimajo korenin bodisi imajo natanko eno korenino ali dve različni korenini. Prvi korak je iskanje diskriminatorja. Formula: D = b^2 − 4ac. 1. Če D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, bosta dve korenini. S prvo možnostjo je jasno, ni korenin. Če je diskriminanta D > 0, je mogoče korene najti takole: x12 = (-b +- √D) / 2a. Kar zadeva drugo možnost, ko je D = 0, se lahko uporabi zgornja formula.

Kvadratne enačbe se začnejo preučevati v šolski kurikulum pri tečaju matematike. Toda na žalost vsi ne razumejo in ne znajo pravilno rešiti kvadratne enačbe in izračunati njene korenine. Najprej ugotovimo, kaj je kvadratna enačba.

Kaj je kvadratna enačba

Izraz kvadratna enačba običajno pomeni algebraična enačba splošni pogled. Ta enačba ima naslednjo obliko: ax2 + bx + c = 0, medtem ko so a, b in c določena števila, x je neznanka. Te tri številke običajno imenujemo koeficienti kvadratna enačba:

• a - prvi koeficient;
• b - drugi koeficient;
• c je tretji koeficient.

Kako najti korenine kvadratne enačbe

Da bi izračunali, čemu bodo enake korenine kvadratne enačbe, je treba najti diskriminanto enačbe. Diskriminanta kvadratne enačbe je izraz, ki je enak in se izračuna po formuli b2 - 4ac. Če je diskriminant večji od nič, se koren izračuna po formuli: x = -b + - koren diskriminanta deljeno z 2 a.

Razmislite o primeru enačbe 5x na kvadrat - 8x +3 = 0

Diskriminanta je enaka osem na kvadrat, minus štiri krat pet, krat tri, to je = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + koren iz štirih deljeno z dvakrat pet = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

V skladu s tem bosta korena te kvadratne enačbe 1 in 0,6.

V nadaljevanju teme "Reševanje enačb" vas bo gradivo v tem članku seznanilo s kvadratnimi enačbami.

Oglejmo si vse podrobno: bistvo in zapis kvadratne enačbe, opredelimo spremne izraze, analiziramo shemo za reševanje nepopolnih in popolnih enačb, seznanimo se s formulo korenov in diskriminantom, vzpostavimo povezave med koreni in koeficienti, in seveda bomo vizualno rešili praktične primere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna enačba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna enačba je enačba, zapisana kot a x 2 + b x + c = 0, Kje x– spremenljivka, a , b in c– nekaj številk, medtem ko a ni nič.

Kvadratne enačbe pogosto imenujemo tudi enačbe druge stopnje, saj je v bistvu kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Za ponazoritev dane definicije navedimo primer: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. To so kvadratne enačbe.

Definicija 2

Števila a, b in c so koeficienti kvadratne enačbe a x 2 + b x + c = 0, medtem ko koeficient a se imenuje prvi ali starejši ali koeficient pri x 2, b - drugi koeficient ali koeficient pri x, A c imenovan brezplačni član.

Na primer v kvadratni enačbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodilni koeficient je 6, drugi koeficient je − 2 , prosti termin pa je enak − 11 . Bodimo pozorni na dejstvo, da pri koeficientih b in/ali c sta negativna, potem uporabite kratka oblika zapisi kot 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, vendar ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo tudi ta vidik: če koeficienti a in/ali b enaka 1 oz − 1 , potem ne smejo eksplicitno sodelovati pri pisanju kvadratne enačbe, kar je razloženo s posebnostmi zapisovanja navedenih numeričnih koeficientov. Na primer v kvadratni enačbi y 2 − y + 7 = 0 vodilni koeficient je 1, drugi koeficient pa je − 1 .

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost prvega koeficienta delimo kvadratne enačbe na reducirane in nereducirane.

Definicija 3

Zmanjšana kvadratna enačba je kvadratna enačba, kjer je vodilni koeficient 1. Za druge vrednosti vodilnega koeficienta je kvadratna enačba nereducirana.

Navedimo primere: reducirane so kvadratne enačbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, v vsaki izmed njih je vodilni koeficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducirana kvadratna enačba, kjer je prvi koeficient drugačen od 1 .

Vsako nereducirano kvadratno enačbo lahko pretvorimo v reducirano enačbo tako, da obe strani delimo s prvim koeficientom (ekvivalentna transformacija). Transformirana enačba bo imela enake korene kot dana nereducirana enačba ali pa tudi ne bo imela nobenih korenin.

Upoštevanje konkreten primer nam bo omogočilo, da jasno prikažemo prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer 1

Glede na enačbo 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Prvotno enačbo je potrebno pretvoriti v pomanjšano obliko.

rešitev

V skladu z zgornjo shemo delimo obe strani prvotne enačbe z vodilnim koeficientom 6. Potem dobimo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, in to je enako kot: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 in še: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0. Od tod: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.

odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

Obrnemo se na definicijo kvadratne enačbe. V njem smo navedli, da a ≠ 0. Podoben pogoj je potreben za enačbo a x 2 + b x + c = 0 je bil ravno kvadraten, saj pri a = 0 se v bistvu spremeni v linearna enačba b x + c = 0.

V primeru, ko koef b in c enake nič (kar je možno tako posamično kot skupaj), se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Definicija 4

Nepopolna kvadratna enačba- taka kvadratna enačba a x 2 + b x + c = 0, kjer je vsaj eden od koeficientov b in c(ali oboje) je nič.

Popolna kvadratna enačba– kvadratna enačba, v kateri vsi numerični koeficienti niso enaki nič.

Pogovorimo se, zakaj so vrste kvadratnih enačb dobile točno ta imena.

Ko je b = 0, dobi kvadratna enačba obliko a x 2 + 0 x + c = 0, kar je enako kot a x 2 + c = 0. pri c = 0 kvadratna enačba je zapisana kot a x 2 + b x + 0 = 0, kar je enakovredno a x 2 + b x = 0. pri b = 0 in c = 0 enačba bo dobila obliko a x 2 = 0. Enačbe, ki smo jih dobili, se od popolne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega. Pravzaprav je to dejstvo dalo ime tej vrsti enačbe – nepopolna.

Na primer, x 2 + 3 x + 4 = 0 in − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sta popolni kvadratni enačbi; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Zgornja definicija omogoča poudarjanje naslednje vrste nepopolne kvadratne enačbe:

• a x 2 = 0, ta enačba ustreza koeficientom b = 0 in c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pri c = 0.

Oglejmo si zaporedno rešitev vsake vrste nepopolne kvadratne enačbe.

Rešitev enačbe a x 2 =0

Kot je navedeno zgoraj, ta enačba ustreza koeficientom b in c, enako nič. Enačba a x 2 = 0 lahko pretvorimo v enakovredno enačbo x 2 = 0, ki ga dobimo tako, da obe strani prvotne enačbe delimo s številom a, ni enako nič. Očitno dejstvo je, da je koren enačbe x 2 = 0 to je nič, ker 0 2 = 0 . Ta enačba nima drugih korenin, kar je mogoče razložiti z lastnostmi stopnje: za poljubno število p, ni enako nič, neenakost velja p 2 > 0, iz česar izhaja, da ko p ≠ 0 enakost p 2 = 0 ne bo nikoli dosežen.

Definicija 5

Tako za nepopolno kvadratno enačbo a x 2 = 0 obstaja edinstven koren x = 0.

Primer 2

Na primer, rešimo nepopolno kvadratno enačbo − 3 x 2 = 0. Enakovredno je enačbi x 2 = 0, njegov edini koren je x = 0, potem ima izvirna enačba en sam koren - nič.

Na kratko je rešitev zapisana takole:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Reševanje enačbe a x 2 + c = 0

Naslednja na vrsti je rešitev nepopolnih kvadratnih enačb, kjer je b = 0, c ≠ 0, torej enačb oblike a x 2 + c = 0. Preoblikujemo to enačbo tako, da člen premaknemo z ene strani enačbe na drugo, spremenimo predznak v nasprotnega in obe strani enačbe delimo s številom, ki ni enako nič:

• prenos c na desno stran, kar daje enačbo a x 2 = − c;
• delite obe strani enačbe z a, dobimo x = - c a .

Naše transformacije so enakovredne, zato je tudi nastala enačba enakovredna izvirni, kar omogoča sklepanje o korenih enačbe. Od tega, kakšne so vrednosti a in c vrednost izraza - c a je odvisna: lahko ima znak minus (na primer, če a = 1 in c = 2, nato - c a = - 2 1 = - 2) ali znak plus (na primer, če a = − 2 in c = 6, potem - c a = - 6 - 2 = 3); ni nič, ker c ≠ 0. Oglejmo si podrobneje situacije, ko - c a< 0 и - c a > 0 .

V primeru, ko - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str enakost p 2 = - c a ne more biti resnična.

Vse je drugače, ko - c a > 0: spomnite se kvadratnega korena in postalo bo očitno, da bo koren enačbe x 2 = - c a število - c a, saj je - c a 2 = - c a. Ni težko razumeti, da je število - - c a tudi koren enačbe x 2 = - c a: res, - - c a 2 = - c a.

Enačba ne bo imela drugih korenin. To lahko dokažemo z metodo protislovja. Za začetek definirajmo zapise za zgoraj najdene korene kot x 1 in − x 1. Predpostavimo, da ima tudi enačba x 2 = - c a koren x 2, ki se razlikuje od korenin x 1 in − x 1. To vemo s substitucijo v enačbo x njenih korenin, transformiramo enačbo v pošteno numerično enakost.

Za x 1 in − x 1 zapišemo: x 1 2 = - c a , in za x 2- x 2 2 = - c a . Na podlagi lastnosti številskih enakosti odštevamo en člen za členom pravilne enakosti od drugega, kar nam bo dalo: x 1 2 − x 2 2 = 0. Uporabimo lastnosti operacij s števili, da zadnjo enakost prepišemo kot (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Znano je, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od števil nič. Iz navedenega izhaja, da x 1 − x 2 = 0 in/ali x 1 + x 2 = 0, kar je enako x 2 = x 1 in/ali x 2 = − x 1. Nastalo je očitno protislovje, ker je bilo sprva dogovorjeno, da je koren enačbe x 2 razlikuje od x 1 in − x 1. Torej, dokazali smo, da enačba nima drugih korenin kot x = - c a in x = - - c a.

Povzemimo vse zgornje argumente.

Opredelitev 6

Nepopolna kvadratna enačba a x 2 + c = 0 je enakovredna enačbi x 2 = - c a, ki:

• ne bo imel korenin na - c a< 0 ;
• bo imela dva korena x = - c a in x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primere reševanja enačb a x 2 + c = 0.

Primer 3

Podana je kvadratna enačba 9 x 2 + 7 = 0. Treba je najti rešitev.

rešitev

Premaknimo prosti člen na desno stran enačbe, potem bo enačba dobila obliko 9 x 2 = − 7.
Delimo obe strani dobljene enačbe z 9 , pridemo do x 2 = - 7 9 . Na desni strani vidimo številko z znakom minus, kar pomeni: dana enačba je brez korenin. Potem izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 + 7 = 0 ne bo imel korenin.

odgovor: enačba 9 x 2 + 7 = 0 nima korenin.

Primer 4

Enačbo je treba rešiti − x 2 + 36 = 0.

rešitev

Premaknimo 36 na desno stran: − x 2 = − 36.
Oba dela razdelimo na − 1 , dobimo x 2 = 36. Na desni strani je pozitivno število, iz katerega lahko sklepamo, da x = 36 oz x = - 36 .
Izluščimo koren in zapišimo končni rezultat: nepopolna kvadratna enačba − x 2 + 36 = 0 ima dve korenini x = 6 oz x = − 6.

odgovor: x = 6 oz x = − 6.

Rešitev enačbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo tretjo vrsto nepopolnih kvadratnih enačb, ko c = 0. Iskanje rešitve nepopolne kvadratne enačbe a x 2 + b x = 0, bomo uporabili metodo faktorizacije. Razložimo polinom, ki je na levi strani enačbe, tako da skupni faktor vzamemo iz oklepaja x. Ta korak bo omogočil pretvorbo izvirne nepopolne kvadratne enačbe v njen ekvivalent x (a x + b) = 0. In ta enačba je enakovredna nizu enačb x = 0 in a x + b = 0. Enačba a x + b = 0 linearna in njen koren: x = − b a.

Opredelitev 7

Torej nepopolna kvadratna enačba a x 2 + b x = 0 bo imel dve korenini x = 0 in x = − b a.

Snov utrdimo s primerom.

Primer 5

Najti je treba rešitev enačbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

rešitev

Vzeli ga bomo ven x zunaj oklepaja dobimo enačbo x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ta enačba je enakovredna enačbam x = 0 in 2 3 x - 2 2 7 = 0. Zdaj bi morali rešiti nastalo linearno enačbo: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Rešitev enačbe na kratko zapiši takole:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ali 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ali x = 3 3 7

odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminanta, formula za korenine kvadratne enačbe

Za iskanje rešitev kvadratnih enačb obstaja korenska formula:

Opredelitev 8

x = - b ± D 2 · a, kjer je D = b 2 − 4 a c– tako imenovani diskriminant kvadratne enačbe.

Zapis x = - b ± D 2 · a v bistvu pomeni, da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Koristno bi bilo razumeti, kako je bila ta formula izpeljana in kako jo uporabiti.

Izpeljava formule za korene kvadratne enačbe

Naj se soočimo z nalogo reševanja kvadratne enačbe a x 2 + b x + c = 0. Izvedimo več enakovrednih transformacij:

• delite obe strani enačbe s številom a, različna od nič, dobimo naslednjo kvadratno enačbo: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Izberimo celoten kvadrat na levi strani dobljene enačbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Po tem bo enačba dobila obliko: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Sedaj je možno prenesti zadnja dva člena na desno stran, spremeniti predznak v nasprotno, nakar dobimo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Nazadnje transformiramo izraz, zapisan na desni strani zadnje enakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tako pridemo do enačbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ki je enakovredna prvotni enačbi a x 2 + b x + c = 0.

Rešitev takih enačb smo preučili v prejšnjih odstavkih (reševanje nepopolnih kvadratnih enačb). Že pridobljene izkušnje omogočajo zaključek o korenih enačbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• z b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• če je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, je enačba x + b 2 · a 2 = 0, potem je x + b 2 · a = 0.

Od tod je očiten edini koren x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 bo veljalo naslednje: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ali x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kar je enako kot x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ali x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. enačba ima dva korena.

Možno je sklepati, da je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (in torej prvotne enačbe) odvisna od predznaka izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano na desni strani. In znak tega izraza je podan z znakom števca (imenovalec 4 a 2 bo vedno pozitiven), to je znak izraza b 2 − 4 a c. Ta izraz b 2 − 4 a c podano je ime - diskriminanta kvadratne enačbe in črka D je definirana kot njena oznaka. Tukaj lahko zapišete bistvo diskriminante - na podlagi njene vrednosti in predznaka lahko sklepajo, ali bo imela kvadratna enačba realne korenine, in če jih ima, koliko je korenin - eno ali dve.

Vrnimo se k enačbi x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Zapišimo jo z diskriminantnim zapisom: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ponovno oblikujmo naše zaključke:

Opredelitev 9

• pri D< 0 enačba nima pravih korenin;
• pri D=0 enačba ima en sam koren x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 enačba ima dva korena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ali x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Glede na lastnosti radikalov lahko te korene zapišemo v obliki: x = - b 2 · a + D 2 · a ali - b 2 · a - D 2 · a. In ko odpremo module in ulomke spravimo na skupni imenovalec, dobimo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Rezultat našega razmišljanja je torej izpeljava formule za korenine kvadratne enačbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunano po formuli D = b 2 − 4 a c.

Te formule omogočajo določitev obeh realnih korenov, ko je diskriminanta večja od nič. Ko je diskriminant enak nič, bo uporaba obeh formul dala isti koren kot edino rešitev kvadratne enačbe. V primeru, ko je diskriminant negativen, se bomo morali soočiti s potrebo po ekstrakciji, če bomo poskušali uporabiti formulo za koren kvadratne enačbe Kvadratni koren iz negativnega števila, kar nas bo popeljalo onkraj realnih števil. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba ne bo imela pravih korenin, vendar je možen par kompleksno konjugiranih korenin, določenih z enakimi korenskimi formulami, ki smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

Kvadratno enačbo je mogoče rešiti s takojšnjo uporabo korenske formule, vendar se to običajno naredi, ko je treba najti kompleksne korene.

V večini primerov običajno pomeni iskanje ne kompleksnih, ampak realnih korenin kvadratne enačbe. Potem je optimalno, da pred uporabo formul za korenine kvadratne enačbe najprej določimo diskriminanco in se prepričamo, da ni negativna (sicer bomo sklepali, da enačba nima pravih korenin), nato pa nadaljujemo z izračunom vrednost korenin.

Zgornje sklepanje omogoča oblikovanje algoritma za reševanje kvadratne enačbe.

Opredelitev 10

Rešiti kvadratno enačbo a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• po formuli D = b 2 − 4 a c poiščite diskriminantno vrednost;
• pri D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0 poiščite edini koren enačbe s formulo x = - b 2 · a;
• za D > 0 določi dva realna korena kvadratne enačbe s formulo x = - b ± D 2 · a.

Upoštevajte, da ko je diskriminant nič, lahko uporabite formulo x = - b ± D 2 · a, dala bo enak rezultat kot formula x = - b 2 · a.

Poglejmo si primere.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Naj podamo rešitev za primere za različne pomene diskriminator.

Primer 6

Najti moramo korenine enačbe x 2 + 2 x − 6 = 0.

rešitev

Zapišimo numerične koeficiente kvadratne enačbe: a = 1, b = 2 in c = − 6. Nato nadaljujemo po algoritmu, tj. Začnimo izračunati diskriminanco, za katero nadomestimo koeficiente a, b in c v diskriminantno formulo: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Tako dobimo D > 0, kar pomeni, da bo izvirna enačba imela dva realna korena.
Da jih najdemo, uporabimo korensko formulo x = - b ± D 2 · a in z nadomestitvijo ustreznih vrednosti dobimo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Poenostavimo dobljeni izraz tako, da faktor vzamemo iz predznaka korena in nato zmanjšamo ulomek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ali x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ali x = - 1 - 7

odgovor: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Primer 7

Rešiti je treba kvadratno enačbo − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

rešitev

Določimo diskriminanco: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. S to vrednostjo diskriminanta bo izvirna enačba imela samo en koren, določen s formulo x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odgovor: x = 3,5.

Primer 8

Enačbo je treba rešiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

rešitev

Številčni koeficienti te enačbe bodo: a = 5, b = 6 in c = 2. Te vrednosti uporabimo za iskanje diskriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunana diskriminanta je negativna, zato izvirna kvadratna enačba nima pravih korenin.

V primeru, ko je naloga navesti kompleksne korenine, uporabimo korensko formulo, ki izvaja dejanja s kompleksnimi števili:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ali x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ali x = - 3 5 - 1 5 · i.

odgovor: ni pravih korenin; kompleksni koreni so naslednji: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V šolskem kurikulumu ni standardne zahteve po iskanju kompleksnih korenin, zato, če se med reševanjem ugotovi, da je diskriminant negativen, se takoj zapiše odgovor, da pravih korenin ni.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Korenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogoča pridobitev druge, bolj kompaktne formule, ki omogoča iskanje rešitev kvadratnih enačb s sodim koeficientom za x ( ali s koeficientom oblike 2 · n, na primer 2 3 ali 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo, kako je ta formula izpeljana.

Soočimo se z nalogo iskanja rešitve kvadratne enačbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nadaljujemo po algoritmu: določimo diskriminanco D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), nato pa uporabimo korensko formulo:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Naj bo izraz n 2 − a · c označen kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem bo formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 · n imela obliko:

x = - n ± D 1 a, kjer je D 1 = n 2 − a · c.

Lahko vidimo, da je D = 4 · D 1 ali D 1 = D 4. Z drugimi besedami, D 1 je četrtina diskriminante. Očitno je predznak D 1 enak predznaku D, kar pomeni, da lahko predznak D 1 služi tudi kot indikator prisotnosti ali odsotnosti korenov kvadratne enačbe.

Opredelitev 11

Tako je za iskanje rešitve kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n potrebno:

• poišči D 1 = n 2 − a · c ;
• pri D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• ko je D 1 = 0, določite edini koren enačbe s formulo x = - n a;
• za D 1 > 0 določite dva realna korena z uporabo formule x = - n ± D 1 a.

Primer 9

Rešiti je treba kvadratno enačbo 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

rešitev

Drugi koeficient dane enačbe lahko predstavimo kot 2 · (− 3) . Nato dano kvadratno enačbo prepišemo kot 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kjer je a = 5, n = − 3 in c = − 32.

Izračunajmo četrti del diskriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Dobljena vrednost je pozitivna, kar pomeni, da ima enačba dva realna korena. Določimo jih z ustrezno korensko formulo:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ali x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ali x = - 2

Izračune bi bilo mogoče izvesti z običajno formulo za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bila v tem primeru rešitev bolj okorna.

odgovor: x = 3 1 5 ali x = - 2 .

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih je možno optimizirati obliko izvirne enačbe, kar bo poenostavilo postopek izračunavanja korenin.

Na primer, kvadratno enačbo 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je očitno bolj priročno rešiti kot 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Pogosteje se poenostavitev oblike kvadratne enačbe izvede z množenjem ali deljenjem njenih obeh strani z določenim številom. Zgoraj smo na primer prikazali poenostavljeno predstavitev enačbe 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, ki jo dobimo tako, da obe strani delimo s 100.

Takšna transformacija je možna, kadar koeficienti kvadratne enačbe niso medsebojni praštevila. Potem običajno obe strani enačbe delimo z največjim skupnim deliteljem absolutne vrednosti njegove koeficiente.

Kot primer uporabimo kvadratno enačbo 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Določimo GCD absolutnih vrednosti njegovih koeficientov: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podelimo obe strani prvotne kvadratne enačbe s 6 in dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Z množenjem obeh strani kvadratne enačbe se običajno znebite delnih koeficientov. V tem primeru se pomnožijo z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev njegovih koeficientov. Na primer, če vsak del kvadratne enačbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnožimo z LCM (6, 3, 1) = 6, potem bo zapisan z več v preprosti obliki x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na koncu omenimo, da se skoraj vedno znebimo minusa pri prvem koeficientu kvadratne enačbe s spremembo predznaka vsakega člena enačbe, kar dosežemo tako, da obe strani pomnožimo (ali delimo) z −1. Na primer, iz kvadratne enačbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 lahko preidete na njeno poenostavljeno različico 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Razmerje med koreni in koeficienti

Formula za korene kvadratnih enačb, ki nam je že znana, x = - b ± D 2 · a, izraža korene enačbe skozi njene numerične koeficiente. Na podlagi te formule imamo možnost določiti druge odvisnosti med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule so Vietin izrek:

x 1 + x 2 = - b a in x 2 = c a.

Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin drugi koeficient z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Na primer, če pogledamo obliko kvadratne enačbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, je mogoče takoj ugotoviti, da je vsota njenih korenin 7 3 in produkt korenin 22 3.

Najdete lahko tudi številne druge povezave med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazimo s koeficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0.
Uporabimo za kvadratni trinom ax 2 + bx + c iste transformacije, kot smo jih izvedli v § 13, ko smo dokazovali izrek, da je graf funkcije y = ax 2 + bx + c parabola.
Imamo

Običajno je izraz b 2 - 4ac označen s črko D in se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe ax 2 + bx + c = 0 (ali diskriminanta kvadratnega trinoma ax + bx + c).

torej

To pomeni, da lahko kvadratno enačbo ax 2 + them + c = O prepišemo v obliki

Vsako kvadratno enačbo je mogoče preoblikovati v obliko (1), kar je priročno, kot bomo zdaj videli, za določitev števila korenin kvadratne enačbe in iskanje teh korenin.

Dokaz. Če D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Primer 1. Rešite enačbo 2x 2 + 4x + 7 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Ker je D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dokaz. Če je D = 0, ima enačba (1) obliko

je edini koren enačbe.

Opomba 1. Ali se spomnite, da je x = - abscisa oglišča parabole, ki služi kot graf funkcije y = ax 2 + them + c? Zakaj to
vrednost se je izkazala za edino korenino kvadratne enačbe ax 2 + njih + c - 0? "Skrinjica" se preprosto odpre: če je D 0, potem, kot smo ugotovili prej,

Graf iste funkcije je parabola z vrhom v točki (glej npr. sliko 98). To pomeni, da sta abscisa vrha parabole in edini koren kvadratne enačbe za D = 0 enako število.

Primer 2. Rešite enačbo 4x 2 - 20x + 25 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Ker je D = 0, ima po izreku 2 ta kvadratna enačba en koren. Ta koren najdemo s formulo

Odgovor: 2,5.

Opomba 2. Upoštevajte, da je 4x 2 - 20x +25 popoln kvadrat: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Če bi to takoj opazili, bi enačbo rešili takole: (2x - 5) 2 = 0, kar pomeni 2x - 5 = 0, iz česar dobimo x = 2,5. Na splošno, če je D = 0, potem

ax 2 + bx + c = - to smo opazili prej v opombi 1.
Če je D > 0, ima kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0 dva korena, ki ju najdemo po formulah

Dokaz. Zapišimo kvadratno enačbo ax 2 + b x + c = 0 v obliki (1)

Postavimo
Po pogoju je D > 0, kar pomeni, da je desna stran enačbe pozitivno število. Nato iz enačbe (2) dobimo to

Torej ima podana kvadratna enačba dva korena:

Opomba 3. V matematiki se le redkokdaj zgodi, da vpeljan izraz nima, figurativno rečeno, vsakdanjega ozadja. Vzemimo nekaj novega
koncept - diskriminant. Ne pozabite na besedo "diskriminacija". Kaj to pomeni? Pomeni ponižanje enih in povzdigovanje drugih, tj. drugačen odnos
različnim ljudem. Obe besedi (diskriminator in diskriminacija) izhajata iz latinskega discriminans - "diskriminira". Diskriminant razlikuje kvadratne enačbe po številu korenin.

Primer 3. Rešite enačbo 3x 2 + 8x - 11 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Ker je D > 0, ima ta kvadratna enačba po izreku 3 dva korena. Te korenine najdemo po formulah (3)

Pravzaprav smo razvili naslednje pravilo:

Pravilo za rešitev enačbe
ax 2 + bx + c = 0

To pravilo je univerzalno; velja za popolne in nepopolne kvadratne enačbe. Vendar se nepopolne kvadratne enačbe običajno ne rešujejo s tem pravilom; bolj priročno jih je reševati, kot smo storili v prejšnjem odstavku.

Primer 4. Reši enačbe:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rešitev. a) Tukaj je a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1. (- 5) = 9 + 20 = 29.

Ker je D > 0, ima ta kvadratna enačba dva korena. Te korene najdemo z uporabo formul (3)

B) Kot kažejo izkušnje, je primerneje obravnavati kvadratne enačbe, v katerih je vodilni koeficient pozitiven. Zato najprej pomnožimo obe strani enačbe z -1, dobimo

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tukaj je a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Ker je D = 0, ima ta kvadratna enačba en koren. Ta koren najdemo s formulo x = -. pomeni,

To enačbo bi lahko rešili drugače: saj
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, potem dobimo enačbo (Зх - I) 2 = 0, od koder najdemo Зх - 1 = 0, tj. x = .

c) Tukaj je a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Ker je D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematiki so praktični, gospodarni ljudje. Zakaj, pravijo, uporabljati to? dolgo pravilo pri reševanju kvadratne enačbe je bolje takoj napisati splošno formulo:

Če se izkaže, da je diskriminant D = b 2 - 4ac negativno število, potem zapisana formula nima smisla (pod znakom kvadratnega korena je negativno število), kar pomeni, da korenin ni. Če se izkaže, da je diskriminanta enaka nič, potem dobimo

To je en koren (pravijo tudi, da ima kvadratna enačba v tem primeru dva enaka korena:

Nazadnje, če se izkaže, da je b 2 - 4ac > 0, potem dobimo dva korena x 1 in x 2, ki ju izračunamo po enakih formulah (3), kot je navedeno zgoraj.

Samo število je v tem primeru pozitivno (kot vsak kvadratni koren pozitivnega števila), dvojni znak pred njim pa pomeni, da se v enem primeru (pri iskanju x 1) to pozitivno število doda številu - b in v drugem primeru (pri iskanju x 2) je to pozitivno število
prebrati iz številke - b.

Imate svobodo izbire. Ali želite podrobno rešiti kvadratno enačbo z uporabo zgoraj oblikovanega pravila; Če želite, si takoj zapišite formulo (4) in jo uporabite za potrebne zaključke.

Primer 5. Reši enačbe:

Rešitev, a) Seveda lahko uporabite formuli (4) ali (3), ob upoštevanju, da v tem primeru Toda zakaj bi delali stvari z ulomki, ko pa je lažje in, kar je najpomembneje, bolj prijetno ukvarjati se s celimi števili? Znebimo se imenovalcev. Če želite to narediti, morate obe strani enačbe pomnožiti z 12, to je z najmanjšim skupnim imenovalcem ulomkov, ki služijo kot koeficienti enačbe. Dobimo

od koder je 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Zdaj pa uporabimo formulo (4)

B) Ponovno imamo enačbo z delne kvote: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Pomnožimo obe strani enačbe s 100, potem dobimo enačbo s celimi koeficienti:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Nato uporabimo formulo (4):

Preprost izračun pokaže, da je diskriminanta (radikalni izraz) negativno število. To pomeni, da enačba nima korenin.

Primer 6. Reši enačbo
rešitev. Tu je za razliko od prejšnjega primera bolje delovati po pravilu kot po skrajšani formuli (4).

Imamo a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Ker je D > 0, ima kvadratna enačba dva korena, ki ju bomo iskali s formulami (3)

Primer 7. Reši enačbo
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

rešitev. Ta kvadratna enačba se od vseh do sedaj obravnavanih kvadratnih enačb razlikuje po tem, da koeficienti niso določene številke, temveč črkovni izrazi. Take enačbe imenujemo enačbe s črkovnimi koeficienti ali enačbe s parametri. V tem primeru je parameter (črka) p vključen v drugi koeficient in prosti člen enačbe.
Poiščimo diskriminanco:

Primer 8. Rešite enačbo px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
rešitev. Tudi to je enačba s parametrom p, vendar je za razliko od prejšnjega primera ni mogoče takoj rešiti s formulama (4) ali (3). Dejstvo je, da navedene formule uporabna za kvadratne enačbe, ampak približno podana enačba Tega še ne moremo reči. Kaj pa, če je p = 0? Potem
enačba bo imela obliko 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, tj. x - 1 = 0, iz česar dobimo x = 1. Zdaj, če zagotovo veste, da , potem lahko uporabite formule za korenine kvadrata enačba:

Diskriminant se, tako kot kvadratne enačbe, začne preučevati v tečaju algebre v 8. razredu. Kvadratno enačbo lahko rešite z diskriminanto in uporabo Vietovega izreka. Metoda preučevanja kvadratnih enačb, pa tudi diskriminantnih formul, se šolarje precej neuspešno poučuje, kot marsikaj v pravem izobraževanju. Zato šolska leta minejo, izobraževanje v 9.-11. razredu nadomešča " višja izobrazba"in vsi spet iščejo - "Kako rešiti kvadratno enačbo?", "Kako najti korenine enačbe?", "Kako najti diskriminanco?" in...

Diskriminantna formula

Diskriminanta D kvadratne enačbe a*x^2+bx+c=0 je enaka D=b^2–4*a*c.
Koreni (rešitve) kvadratne enačbe so odvisni od predznaka diskriminante (D):
D>0 – enačba ima 2 različna realna korena;
D=0 - enačba ima 1 koren (2 ujemajoča se korena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminante je precej preprosta, zato mnoga spletna mesta ponujajo spletni kalkulator diskriminacije. Tovrstnih skriptov še nismo pogruntali, zato če kdo ve, kako to implementirati, naj nam piše na mail Ta e-poštni naslov je zaščiten proti smetenju. Za ogled morate imeti omogočen JavaScript. .

Splošna formula za iskanje korenin kvadratne enačbe:

Korene enačbe poiščemo s formulo
Če je koeficient kvadratne spremenljivke seznanjen, je priporočljivo izračunati ne diskriminanco, temveč njen četrti del
V takšnih primerih se koreni enačbe najdejo s formulo

Drugi način za iskanje korenin je Vietov izrek.

Izrek ni formuliran le za kvadratne enačbe, ampak tudi za polinome. To lahko preberete na Wikipediji ali drugih elektronskih virih. Vendar za poenostavitev razmislimo o delu, ki zadeva zgornje kvadratne enačbe, to je enačbe oblike (a=1)
Bistvo Vietovih formul je, da je vsota korenin enačbe enaka koeficientu spremenljivke, vzetega z nasprotnim predznakom. Produkt korenin enačbe je enak prostemu členu. Vietov izrek lahko zapišemo v formulah.
Izpeljava Vietove formule je precej preprosta. Zapišimo kvadratno enačbo s preprostimi faktorji
Kot lahko vidite, je vse genialno hkrati preprosto. Vietovo formulo je učinkovito uporabiti, kadar je razlika v modulih korenin ali razlika v modulih korenin 1, 2. Naslednje enačbe imajo na primer v skladu z Vietovim izrekom korenine




Do enačbe 4 bi morala analiza izgledati takole. Produkt korenin enačbe je 6, zato so lahko korenine vrednosti (1, 6) in (2, 3) ali pari z nasprotnimi predznaki. Vsota korenov je 7 (koeficient spremenljivke z nasprotnim predznakom). Od tod sklepamo, da so rešitve kvadratne enačbe x=2; x=3.
Lažje je izbrati korenine enačbe med delitelji prostega člena, prilagoditi njihov predznak, da bi izpolnili formule Vieta. Sprva se zdi, da je to težko izvedljivo, a z vajo na številnih kvadratnih enačbah se bo ta tehnika izkazala za učinkovitejšo od izračuna diskriminante in iskanja korenin kvadratne enačbe na klasičen način.
Kot lahko vidite, je šolska teorija preučevanja diskriminant in metod iskanja rešitev enačbe brez praktičnega pomena - "Zakaj šolarji potrebujejo kvadratno enačbo?", "Kakšen je fizični pomen diskriminante?"

Poskusimo ugotoviti Kaj opisuje diskriminant?

Pri predmetu algebra preučujejo funkcije, sheme za preučevanje funkcij in sestavljanje grafov funkcij. Med vsemi funkcijami pomembno mesto zavzema parabola, katere enačbo lahko zapišemo v obliki
Fizični pomen kvadratne enačbe so torej ničle parabole, to je točke presečišča grafa funkcije z osjo abscise Ox
Prosim vas, da si zapomnite lastnosti parabol, ki so opisane spodaj. Prišel bo čas opravljanja izpitov, testov ali sprejemnih izpitov in hvaležni boste za referenčno gradivo. Predznak spremenljivke na kvadrat ustreza temu, ali bodo veje parabole na grafu šle navzgor (a>0),

ali parabolo z vejami navzdol (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini med koreninama

Fizični pomen diskriminanta:

Če je diskriminanta večja od nič (D>0), ima parabola dve presečni točki z osjo Ox.
Če je diskriminanta nič (D=0), se parabola na oglišču dotika osi x.
In zadnji primer, ko diskriminator manj kot nič(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepopolne kvadratne enačbe

V sodobni družbi je sposobnost izvajanja operacij z enačbami, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, lahko uporabna na številnih področjih dejavnosti in se v praksi pogosto uporablja v znanstvenem in tehničnem razvoju. Dokaz za to je mogoče najti v načrtovanju morskih in rečnih plovil, letal in raket. S takšnimi izračuni se določijo poti gibanja najrazličnejših teles, vključno z vesoljskimi predmeti. Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb se uporabljajo ne le pri ekonomskem napovedovanju, pri načrtovanju in gradnji stavb, ampak tudi v najbolj običajnih vsakdanjih okoliščinah. Morda jih boste potrebovali na pohodniških izletih, na športnih dogodkih, v trgovinah pri nakupih in v drugih zelo pogostih situacijah.

Razčlenimo izraz na sestavne faktorje

Stopnja enačbe je določena z največjo vrednostjo stopnje spremenljivke, ki jo vsebuje izraz. Če je enako 2, se taka enačba imenuje kvadratna.

Če govorimo v jeziku formul, potem lahko navedene izraze, ne glede na to, kako izgledajo, vedno pripeljemo do oblike, ko je leva stran izraza sestavljena iz treh izrazov. Med njimi: ax 2 (to je spremenljivka na kvadrat s svojim koeficientom), bx (neznanka brez kvadrata s svojim koeficientom) in c (prosta komponenta, to je navadno število). Vse to na desni strani je enako 0. V primeru, da takemu polinomu manjka eden od sestavnih členov, z izjemo osi 2, se imenuje nepopolna kvadratna enačba. Najprej je treba upoštevati primere z rešitvijo takšnih problemov, vrednosti spremenljivk, v katerih je enostavno najti.

Če je izraz videti, kot da ima dva izraza na desni strani, natančneje ax 2 in bx, je najlažji način, da najdete x tako, da spremenljivko postavite izven oklepaja. Zdaj bo naša enačba videti takole: x(ax+b). Nato postane očitno, da bodisi x=0 ali pa se težava zmanjša na iskanje spremenljivke iz naslednjega izraza: ax+b=0. To narekuje ena od lastnosti množenja. Pravilo pravi, da zmnožek dveh faktorjev daje 0 le, če je eden od njiju enak nič.

Primer

x=0 ali 8x - 3 = 0

Kot rezultat dobimo dva korena enačbe: 0 in 0,375.

S tovrstnimi enačbami je mogoče opisati gibanje teles pod vplivom gravitacije, ki so se začela premikati iz določene točke, ki je vzeta za izhodišče koordinat. Tu ima matematični zapis naslednjo obliko: y = v 0 t + gt 2 /2. Z zamenjavo potrebnih vrednosti, enačenjem desne strani z 0 in iskanjem možnih neznank lahko ugotovite čas, ki preteče od trenutka, ko se telo dvigne do trenutka, ko pade, pa tudi številne druge količine. Toda o tem bomo govorili kasneje.

Faktoriziranje izraza

Zgoraj opisano pravilo omogoča reševanje teh težav v bolj zapletenih primerih. Oglejmo si primere reševanja tovrstnih kvadratnih enačb.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ta kvadratni trinom je popoln. Najprej transformirajmo izraz in ga faktorizirajmo. Dva sta: (x-8) in (x-25) = 0. Posledično imamo dva korena 8 in 25.

Primeri z reševanjem kvadratnih enačb v 9. razredu omogočajo, da ta metoda najde spremenljivko v izrazih ne le drugega, ampak celo tretjega in četrtega reda.

Na primer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri faktoriziranju desne strani na faktorje s spremenljivko so trije, to so (x+1), (x-3) in (x+ 3).

Posledično postane očitno, da ima ta enačba tri korenine: -3; -1; 3.

Kvadratni koren

Drug primer nepopolne enačbe drugega reda je izraz, predstavljen v jeziku črk tako, da je desna stran sestavljena iz komponent ax 2 in c. Tu se za pridobitev vrednosti spremenljivke prosti člen prenese na desno stran, nato pa se iz obeh strani enakosti izvleče kvadratni koren. Upoštevati je treba, da sta v tem primeru običajno dva korena enačbe. Izjema so lahko le enakosti, ki sploh ne vsebujejo člena z, kjer je spremenljivka enaka nič, pa tudi različice izrazov, ko je desna stran negativna. V slednjem primeru sploh ni rešitev, saj zgornjih dejanj ni mogoče izvesti s koreninami. Upoštevati je treba primere rešitev tovrstnih kvadratnih enačb.

V tem primeru bosta korena enačbe števili -4 in 4.

Izračun površine zemljišča

Potreba po tovrstnih izračunih se je pojavila že v starih časih, saj je razvoj matematike v tistih daljnih časih v veliki meri določala potreba po čim natančnejši določitvi površin in obodov zemljišč.

Upoštevati bi morali tudi primere reševanja kvadratnih enačb, ki temeljijo na tovrstnih problemih.

Recimo, da obstaja pravokotno zemljišče, katerega dolžina je 16 metrov večja od širine. Morali bi ugotoviti dolžino, širino in obseg mesta, če veste, da je njegova površina 612 m2.

Za začetek najprej sestavimo potrebno enačbo. Označimo z x širino območja, potem bo njegova dolžina (x+16). Iz zapisanega sledi, da je ploščina določena z izrazom x(x+16), ki je glede na pogoje našega problema 612. To pomeni, da je x(x+16) = 612.

Reševanja popolnih kvadratnih enačb, in ta izraz je točno to, ni mogoče narediti na enak način. Zakaj? Čeprav leva stran še vedno vsebuje dva faktorja, njun produkt sploh ni enak 0, zato se tu uporabljajo različne metode.

Diskriminator

Najprej bomo naredili potrebne transformacije, nato pa bo videz tega izraza videti tako: x 2 + 16x - 612 = 0. To pomeni, da smo prejeli izraz v obliki, ki ustreza predhodno določenemu standardu, kjer a=1, b=16, c= -612.

To bi lahko bil primer reševanja kvadratnih enačb z uporabo diskriminante. Tu se izvedejo potrebni izračuni po shemi: D = b 2 - 4ac. Ta pomožna količina ne omogoča le iskanja zahtevanih količin v enačbi drugega reda, temveč določa število možnih možnosti. Če je D>0, sta dva; za D=0 je en koren. V primeru D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreninah in njihovi formuli

V našem primeru je diskriminanta enaka: 256 - 4(-612) = 2704. To nakazuje, da ima naša težava odgovor. Če poznate k, je treba reševanje kvadratnih enačb nadaljevati z uporabo spodnje formule. Omogoča vam izračun korenin.

To pomeni, da je v predstavljenem primeru: x 1 =18, x 2 =-34. Druga možnost v tej dilemi ne more biti rešitev, saj dimenzij parcele ni mogoče meriti v negativnih količinah, kar pomeni, da je x (to je širina parcele) 18 m. Od tu izračunamo dolžino: 18 +16=34, obseg pa 2(34+ 18)=104(m2).

Primeri in problemi

Nadaljujemo s preučevanjem kvadratnih enačb. Primeri in podrobne rešitve nekaterih od njih bodo podani spodaj.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premaknimo vse na levo stran enakosti, naredimo transformacijo, to pomeni, da bomo dobili vrsto enačbe, ki se običajno imenuje standardna, in jo enačimo z nič.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Če seštejemo podobne, določimo diskriminanco: D = 49 - 48 = 1. To pomeni, da bo naša enačba imela dva korena. Izračunajmo jih po zgornji formuli, kar pomeni, da bo prvi enak 4/3, drugi pa 1.

2) Zdaj pa razrešimo drugačne skrivnosti.

Ugotovimo, ali so tu kakšne korenine x 2 - 4x + 5 = 1? Za izčrpen odgovor zreducirajmo polinom na ustrezno običajno obliko in izračunajmo diskriminanco. V zgornjem primeru ni treba reševati kvadratne enačbe, ker to sploh ni bistvo problema. V tem primeru je D = 16 - 20 = -4, kar pomeni, da korenin res ni.

Vietov izrek

Kvadratne enačbe je priročno reševati z uporabo zgornjih formul in diskriminante, ko je kvadratni koren vzet iz vrednosti slednje. Vendar se to ne zgodi vedno. Vendar pa obstaja veliko načinov za pridobitev vrednosti spremenljivk v tem primeru. Primer: reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka. Ime je dobila po tistem, ki je živel v 16. stoletju v Franciji in si ustvaril sijajno kariero zahvaljujoč svojemu matematičnemu talentu in povezavam na dvoru. Njegov portret si lahko ogledate v članku.

Vzorec, ki ga je slavni Francoz opazil, je bil naslednji. Dokazal je, da se koreni enačbe numerično seštejejo na -p=b/a, njihov produkt pa ustreza q=c/a.

Zdaj pa poglejmo konkretne naloge.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Zaradi poenostavitve transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Uporabimo Vietov izrek, to nam bo dalo naslednje: vsota korenin je -7, njihov produkt pa -18. Od tu dobimo, da sta korena enačbe števili -9 in 2. Po preverjanju se bomo prepričali, da te vrednosti spremenljivke res ustrezajo izrazu.

Graf parabole in enačba

Koncepti kvadratne funkcije in kvadratnih enačb so tesno povezani. Primeri tega so bili že navedeni prej. Zdaj pa si poglejmo nekaj matematičnih ugank nekoliko podrobneje. Vsako enačbo opisane vrste je mogoče vizualno predstaviti. Takšno razmerje, narisano kot graf, imenujemo parabola. Njegove različne vrste so predstavljene na spodnji sliki.

Vsaka parabola ima vrh, to je točko, iz katere izhajajo njene veje. Če je a>0, gredo visoko do neskončnosti, pri a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualne predstavitve funkcij pomagajo rešiti vse enačbe, vključno s kvadratnimi. Ta metoda se imenuje grafična. In vrednost spremenljivke x je koordinata abscise v točkah, kjer se premica grafa seka z 0x. Koordinate oglišča je mogoče najti s pravkar podano formulo x 0 = -b/2a. In z nadomestitvijo nastale vrednosti v prvotno enačbo funkcije lahko ugotovite y 0, to je drugo koordinato vrha parabole, ki pripada ordinatni osi.

Presečišče vej parabole z abscisno osjo

Primerov reševanja kvadratnih enačb je veliko, obstajajo pa tudi splošni vzorci. Poglejmo jih. Jasno je, da je presečišče grafa z osjo 0x za a>0 možno le, če ima 0 negativne vrednosti. In za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sicer pa D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole lahko določite tudi korenine. Velja tudi obratno. Če torej ni enostavno pridobiti vizualne predstavitve kvadratne funkcije, lahko desno stran izraza enačite z 0 in rešite nastalo enačbo. In če poznamo točke presečišča z osjo 0x, je lažje sestaviti graf.

Iz zgodovine

Z uporabo enačb, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, v starih časih niso samo delali matematičnih izračunov in določali ploščin geometrijskih likov. Starodavni so takšne izračune potrebovali za velika odkritja na področju fizike in astronomije, pa tudi za izdelavo astroloških napovedi.

Kot kažejo sodobni znanstveniki, so bili prebivalci Babilona med prvimi, ki so rešili kvadratne enačbe. To se je zgodilo štiri stoletja pred našim štetjem. Seveda so bili njihovi izračuni radikalno drugačni od trenutno sprejetih in so se izkazali za veliko bolj primitivne. Na primer, mezopotamski matematiki niso imeli pojma o obstoju negativnih števil. Prav tako niso bili seznanjeni z drugimi tankostmi, ki jih pozna vsak sodoben šolar.

Morda celo prej kot babilonski znanstveniki je modrec iz Indije Baudhayama začel reševati kvadratne enačbe. To se je zgodilo približno osem stoletij pred Kristusovo dobo. Res je, da so bile enačbe drugega reda, metode za reševanje katerih je dal, najpreprostejše. Poleg njega so se za podobna vprašanja v starih časih zanimali tudi kitajski matematiki. V Evropi so kvadratne enačbe začeli reševati šele v začetku 13. stoletja, kasneje pa so jih v svojih delih uporabljali tako veliki znanstveniki, kot so Newton, Descartes in mnogi drugi.