සරල ලඝුගණක උදාහරණ. ගැටළුව B7 - ලඝුගණක සහ ඝාතීය ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම

ලඝුගණක සමඟ ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේදී, ලැයිස්තුගත සමානතා දකුණේ සිට වමට සහ වමේ සිට දකුණට භාවිතා වේ.

ගුණාංගවල ප්‍රතිවිපාක මතක තබා ගැනීම අවශ්‍ය නොවන බව සඳහන් කිරීම වටී: පරිවර්තනයන් සිදු කරන විට, ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග සහ වෙනත් කරුණු (උදාහරණයක් ලෙස, b≥0 සඳහා) ඔබට ලබා ගත හැකිය. අනුරූප ප්රතිවිපාක අනුගමනය කරයි. " අතුරු ඵලය“මෙම ප්‍රවේශය ප්‍රකාශ වන්නේ විසඳුම තව ටිකක් දිගු වනු ඇති බවට පමණි. නිදසුනක් ලෙස, සූත්රය මගින් ප්රකාශිත ප්රතිවිපාක නොමැතිව සිදු කිරීම සඳහා , සහ ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග වලින් පමණක් ආරම්භ කිරීමෙන්, ඔබට පරිවර්තන දාමයක් සිදු කිරීමට සිදුවනු ඇත. පහත වර්ගය: .

සූත්‍රයෙන් පිළිතුරු සපයන ඉහත ලැයිස්තුවෙන් අවසාන දේපල ගැන ද එයම කිව හැකිය , එය ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග වලින් ද අනුගමනය කරන බැවිනි. තේරුම් ගත යුතු ප්‍රධානම දෙය නම්, ඝාතකයේ ලඝුගණකයක් සහිත ධන සංඛ්‍යාවක බලයට බලයේ පාදය සහ ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති සංඛ්‍යාව මාරු කිරීම සැමවිටම කළ හැකි බවයි. සාධාරණ වීමට නම්, මේ ආකාරයේ පරිවර්තනයන් ක්‍රියාත්මක කිරීම ඇඟවුම් කරන උදාහරණ ප්‍රායෝගිකව දුර්ලභ බව අපි සටහන් කරමු. අපි පහත පෙළෙහි උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නෙමු.

ලඝුගණක සමඟ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම

ලඝුගණකවල ගුණාංග අපට මතකයි, දැන් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම සඳහා ඒවා ප්‍රායෝගිකව යෙදිය යුතු ආකාරය ඉගෙන ගැනීමට කාලයයි. විචල්‍ය සහිත ප්‍රකාශනවලට වඩා සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමෙන් ආරම්භ කිරීම ස්වාභාවිකය, මන්ද ඒවා මූලික කරුණු ඉගෙන ගැනීමට වඩාත් පහසු සහ පහසු බැවිනි. අපි කරන්නම් එයයි, අපි ඉතා සමඟ ආරම්භ කරමු සරල උදාහරණ, ලඝුගණකයේ අපේක්ෂිත ගුණාංගය තෝරා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමට, නමුත් අපි ක්‍රමයෙන් උදාහරණ සංකීර්ණ කරනු ඇත, අවසාන ප්‍රති result ලය ලබා ගන්නා විට පේළියක ගුණාංග කිහිපයක් යෙදීමට අවශ්‍ය වනු ඇත.

ලඝුගණකවල අපේක්ෂිත ගුණාංගය තෝරාගැනීම

ලඝුගණකවල බොහෝ ගුණාංග ඇති අතර, ඒවායින් සුදුසු එකක් තෝරා ගැනීමට ඔබට හැකි විය යුතු බව පැහැදිලිය, මෙම විශේෂිත අවස්ථාවෙහිදී අවශ්ය ප්රතිඵලය කරා ගෙන යනු ඇත. සාමාන්‍යයෙන් ලඝුගණකවල ගුණ ප්‍රකාශ කරන සූත්‍රවල වම් සහ දකුණු කොටස් වර්ග සමඟ පරිවර්තනය කරන ලද ලඝුගණක හෝ ප්‍රකාශන වර්ගය සංසන්දනය කිරීමෙන් මෙය සිදු කිරීම අපහසු නැත. එක් සූත්‍රයක වම් හෝ දකුණු පැත්ත දී ඇති ලඝුගණකයක් හෝ ප්‍රකාශනයක් සමඟ සමපාත වන්නේ නම්, බොහෝ විට, පරිවර්තනයේදී භාවිතා කළ යුත්තේ මෙම ගුණාංගයයි. පහත උදාහරණමෙය පැහැදිලිව පෙන්නුම් කරයි.

a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 යන සූත්‍රයට අනුරූප වන ලඝුගණකයේ නිර්වචනය භාවිතා කරමින් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේ උදාහරණ සමඟින් ආරම්භ කරමු.

උදාහරණයක්.

හැකි නම් ගණනය කරන්න: a) 5 ලොග් 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , ඈ) 2 ලොග් 2 (-7) , ඉ) .

විසඳුමක්.

අක්ෂරය යටතේ ඇති උදාහරණයේ a) a log a b ව්‍යුහය පැහැදිලිව දැකගත හැකිය, එහිදී a=5, b=4. මෙම අංක a>0, a≠1, b>0 කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින් ඔබට සමානාත්මතාවය a log a b =b භාවිතා කළ හැක. අප සතුව ලොග් 5 ක් ඇත 5 4=4 .

b) මෙහි a=10, b=1+2·π, a>0, a≠1, b>0 යන කොන්දේසි සපුරා ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, සමානාත්මතාවය 10 ලඝු (1+2·π) =1+2·π සිදුවේ.

ඇ) තවද මෙම උදාහරණයේ දී අපි a log a b ආකෘතියේ උපාධියක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු, එහිදී සහ b=ln15. ඒ නිසා .

log a b වර්ගයට අයත් වුවද (මෙහි a=2, b=−7), g අකුර යටතේ ඇති ප්‍රකාශනය a log a b =b සූත්‍රය භාවිතයෙන් පරිවර්තනය කළ නොහැක. එයට හේතුව ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සෘණ සංඛ්‍යාවක් අඩංගු වීම නිසා එය අර්ථ විරහිත වීමයි. එපමනක් නොව, b=−7 අංකය b>0 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි, එය a>0, a≠1, b> යන කොන්දේසි සපුරාලීම අවශ්‍ය වන බැවින් a log a b =b සූත්‍රය වෙත යොමු වීමට නොහැකි වේ. 0. එබැවින්, 2 log 2 (-7) අගය ගණනය කිරීම ගැන කතා කළ නොහැක. මෙම අවස්ථාවේදී, 2 ලොග් 2 (−7) =-7 ලිවීම දෝෂයක් වනු ඇත.

ඒ හා සමානව, ලිපිය යටතේ ඇති උදාහරණයේ e) පෝරමයේ විසඳුමක් ලබා දිය නොහැක , මුල් ප්‍රකාශනය තේරුමක් නැති නිසා.

පිළිතුර:

a) 5 ලොග් 5 4 =4, b) 10 log (1+2·π) =1+2·π, c) , ඈ), ඉ) ප්‍රකාශන අර්ථවත් නොවේ.

බොහෝ විට ප්‍රයෝජනවත් පරිවර්තනයක් වන්නේ ඝාතකයේ ලඝුගණකය සමඟ යම් ධනාත්මක ඒකීය නොවන සංඛ්‍යාවක බලයක් ලෙස ධන සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීමයි. එය ලඝුගණකයේ එකම නිර්වචනය මත පදනම් වේ a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, නමුත් සූත්‍රය දකුණේ සිට වමට, එනම් b=a log a b ආකාරයෙන් යොදනු ලැබේ. . උදාහරණයක් ලෙස, 3=e ln3 හෝ 5=5 log 5 5 .

ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම සඳහා ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතා කිරීමට අපි ඉදිරියට යමු.

උදාහරණයක්.

ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

විසඳුමක්.

a), b) සහ c) අකුරු යටතේ ඇති උදාහරණවල log -2 1, log 1 1, log 0 1 යන ප්‍රකාශන ලබා දී ඇත, ඒවා අර්ථවත් නොවේ, මන්ද ලඝුගණකයේ පාදයේ සෘණ සංඛ්‍යාවක් අඩංගු නොවිය යුතුය, ශුන්‍ය හෝ එකක්, මන්ද අප ලඝුගණකය නිර්වචනය කර ඇත්තේ ධනාත්මක සහ එකමුතුවෙන් වෙනස් පදනමක් සඳහා පමණි. එබැවින්, උදාහරණ වලදී a) - c) ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයා ගැනීමේ ප්රශ්නයක් තිබිය නොහැක.

අනෙකුත් සියලුම කාර්යයන් වලදී, පැහැදිලිවම, ලඝුගණකවල පාදවල ධනාත්මක සහ ඒකීය නොවන අංක 7, e, 10, 3.75 සහ 5·π 7 අඩංගු වන අතර, ලඝුගණකවල සලකුණු යටතේ සෑම තැනකම ඒකක ඇත. තවද අපි ඒකීය ලඝුගණකයේ ගුණය දනිමු: ඕනෑම a>0, a≠1 සඳහා 1=0 ලොග් කරන්න. මේ අනුව, ප්‍රකාශනවල අගයන් b) - e) ශුන්‍යයට සමාන වේ.

පිළිතුර:

a), b), c) ප්‍රකාශන අර්ථවත් නොවේ, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

උදාහරණයක්.

ගණනය කරන්න: a) , b) lne , c) lg10 , d) ලඝු-සටහන 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log -3 (-3) , f) log 1 1 .

විසඳුමක්.

a>0, a≠1 සඳහා log a=1 යන සූත්‍රයට අනුරූප වන පාදයේ ලඝුගණකයේ ගුණය අප භාවිත කළ යුතු බව පැහැදිලිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලුම අකුරු යටතේ ඇති කාර්යයන් වලදී, ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති අංකය එහි පදනම සමඟ සමපාත වේ. මේ අනුව, ලබා දී ඇති එක් එක් ප්‍රකාශනයේ අගය 1 බව මම වහාම පැවසීමට කැමැත්තෙමි. කෙසේ වෙතත්, ඔබ නිගමනවලට ඉක්මන් නොවිය යුතුය: අ) - ඈ) අකුරු යටතේ ඇති කාර්යයන් වලදී, ප්‍රකාශනවල අගයන් ඇත්ත වශයෙන්ම එකකට සමාන වන අතර, ඉ) සහ එෆ් කර්තව්‍යවලදී, මුල් ප්‍රකාශන අර්ථවත් නොවේ, එබැවින් එය මෙම ප්‍රකාශනවල අගයන් 1 ට සමාන බව පැවසිය නොහැක.

පිළිතුර:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) ලඝු-සටහන 5 π 3 -2 (5 π 3 -2)=1, e), f) ප්රකාශනයන් අර්ථවත් නොවේ.

උදාහරණයක්.

අගය සොයන්න: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log -10 (-10) 6 .

විසඳුමක්.

පැහැදිලිවම, ලඝුගණක සලකුණු යටතේ පාදයේ සමහර බලයන් ඇත. මෙය මත පදනම්ව, මෙහිදී අපට පාදයේ උපාධියේ ගුණය අවශ්‍ය වනු ඇති බව අපට වැටහේ: log a a p =p, එහිදී a>0, a≠1 සහ p යනු ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ. මෙය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට පහත ප්‍රතිඵල ඇත: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . ලොග් −10 (-10) 6 =6 හි d) අකුර යටතේ ඇති උදාහරණයට සමාන සමානතාවයක් ලිවිය හැකිද? නැත, ඔබට බැහැ, ලොග් ලොගය -10 (-10) 6 තේරුමක් නැති නිසා.

පිළිතුර:

a) ලඝු-සටහන 3 3 11 =11, b) , V) , ඈ) ප්රකාශය අර්ථවත් නොවේ.

උදාහරණයක්.

ප්‍රකාශනය එකම පදනමක් භාවිතා කරමින් ලඝුගණකවල එකතුවක් හෝ වෙනසක් ලෙස ඉදිරිපත් කරන්න: a) , b) , c) log((-5)·(-12)) .

විසඳුමක්.

a) ලඝුගණකයේ ලකුණ යටතේ නිෂ්පාදනයක් ඇති අතර, නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ ගුණය අපි දනිමු a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. අපගේ නඩුවේදී, ලඝුගණකයේ පාදයේ අංකය සහ නිෂ්පාදනයේ සංඛ්යා ධනාත්මක වේ, එනම්, ඔවුන් තෝරාගත් දේපලෙහි කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින්, අපට එය ආරක්ෂිතව යෙදිය හැකිය: .

b) මෙහිදී අපි a>0, a≠1, x>0, y>0 යන කොටස් ලඝුගණකයේ ගුණය භාවිතා කරමු. අපගේ නඩුවේදී, ලඝුගණකයේ පාදය ධන අංකයකි e, numerator සහ denominator π ධනාත්මක වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔවුන් දේපලෙහි කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින් තෝරාගත් සූත්රය භාවිතා කිරීමට අපට අයිතියක් ඇත: .

c) පළමුව, log((-5)·(-12)) යන ප්‍රකාශනය අර්ථවත් බව සලකන්න. නමුත් ඒ සමඟම, ඒ සඳහා නිෂ්පාදන ලොගයේ ලඝුගණකය සඳහා සූත්‍රය යෙදීමට අපට අයිතියක් නැත a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, අංක −5 සහ −12 - සෘණ වන අතර x>0, y>0 කොන්දේසි තෘප්තිමත් නොකරන බැවින්. එනම්, ඔබට එවැනි පරිවර්තනයක් සිදු කළ නොහැක: log((-5)·(−12))=log(-5)+log(−12). එසේනම් අප කළ යුත්තේ කුමක්ද? එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, සෘණ සංඛ්යා මඟහරවා ගැනීම සඳහා මුල් ප්රකාශනයට මූලික පරිවර්තනයක් අවශ්ය වේ. එක් ලිපියක ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සෘණ සංඛ්‍යා සහිත ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේ සමාන අවස්ථා ගැන අපි විස්තරාත්මකව කතා කරමු, නමුත් දැනට අපි මෙම උදාහරණයට විසඳුමක් දෙන්නෙමු, එය කල්තියා සහ පැහැදිලි කිරීමකින් තොරව පැහැදිලිය: log((-5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

පිළිතුර:

ඒ) , බී) , c) log((-5)·(-12))=log5+lg12.

උදාහරණයක්.

ප්‍රකාශනය සරල කරන්න: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

විසඳුමක්.

මෙහිදී අපට නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ එකම ගුණාංග සහ අප පෙර උදාහරණවල භාවිතා කළ කෝටන්ට් හි ලඝුගණකය මගින් අපට උපකාර කරනු ඇත, දැන් අපි ඒවා දකුණේ සිට වමට යොදන්නෙමු. එනම්, අපි ලඝුගණක එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකය බවටත්, ලඝුගණකවල වෙනස කෝෂනයේ ලඝුගණකයටත් පරිවර්තනය කරමු. අපිට තියෙනවා
ඒ) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
බී) .

පිළිතුර:

ඒ) ලඝු-සටහන 3 0.25+ලොග් 3 16+ලොග් 3 0.5=ලොග් 3 2, බී) .

උදාහරණයක්.

ලඝුගණක ලකුණ යටතේ උපාධිය ඉවත් කරන්න: a) log 0.7 5 11, b) , ඇ) ලඝු-සටහන 3 (-5) 6 .

විසඳුමක්.

log a b p පෝරමයේ ප්‍රකාශන සමඟ අප කටයුතු කරන බව දැකීම පහසුය. ලඝුගණකයේ අනුරූප ගුණයට log a b p =p·log a b පෝරමය ඇත, මෙහි a>0, a≠1, b>0, p යනු ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ. එනම්, a>0, a≠1, b>0 කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම්, a b p බල ලොගයේ ලඝුගණකයෙන් අපට p·log a b නිෂ්පාදනයට යා හැක. දී ඇති ප්‍රකාශන සමඟ මෙම පරිවර්තනය සිදු කරමු.

a) මෙම අවස්ථාවේදී a=0.7, b=5 සහ p=11. එබැවින් 0.7 5 11 =11·log 0.7 5 ලොග් කරන්න.

b) මෙහි a>0, a≠1, b>0 යන කොන්දේසි තෘප්තිමත් වේ. ඒක තමයි

c) ප්‍රකාශන ලොගය 3 (-5) 6 හි එකම ව්‍යුහය log a b p , a=3 , b=-5 , p=6 . නමුත් b සඳහා b>0 කොන්දේසිය සෑහීමකට පත් නොවේ, එමඟින් log a b p =p·log a b සූත්‍රය භාවිතා කිරීමට නොහැකි වේ. ඉතින් මොකක්ද, ඔබට කාර්යය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු කළ නොහැකිද? එය හැකි ය, නමුත් ප්‍රකාශනයේ මූලික පරිවර්තනයක් අවශ්‍ය වේ, එය මාතෘකාව යටතේ ඇති ඡේදයේ අපි විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කරමු. විසඳුම මේ වගේ වනු ඇත: ලඝු-සටහන 3 (-5) 6 =ලොග් 3 5 6 =6 ලඝු-සටහන 3 5.

පිළිතුර:

a) ලඝු-සටහන 0.7 5 11 =11 ලඝු-සටහන 0.7 5 ,
බී)
ඇ) ලොග් 3 (−5) 6 =6·ලොග් 3 5.

බොහෝ විට, පරිවර්තන සිදු කරන විට, බලයක ලඝුගණකයේ සූත්‍රය p·log a b=log a b p ආකාරයෙන් දකුණේ සිට වමට යෙදිය යුතුය (a, b සහ p සඳහාද එම කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය). උදාහරණයක් ලෙස, 3·ln5=ln5 3 සහ log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

උදාහරණයක්.

a) log2≈0.3010 සහ log5≈0.6990 බව දන්නේ නම් ලොග් 2 5 හි අගය ගණනය කරන්න. b) 3 පාදයට භාගය ලඝුගණකයක් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්න.

විසඳුමක්.

අ) නව ලඝුගණක පදනමකට සංක්‍රමණය කිරීමේ සූත්‍රය මඟින් මෙම ලඝුගණකය දශම ලඝුගණක අනුපාතයක් ලෙස ඉදිරිපත් කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි, එහි අගයන් අප දන්නා පරිදි: . ඉතිරිව ඇත්තේ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම පමණි, අප සතුව ඇත .

ආ) මෙන්න එය නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කිරීම ප්‍රමාණවත් වන අතර එය දකුණේ සිට වමට, එනම් පෝරමයේ යෙදීම . අපිට ලැබෙනවා .

පිළිතුර:

a) ලඝු-සටහන 2 5≈2.3223, b) .

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපි වඩාත් පරිණාමනය කිරීම ඉතා ප්රවේශමෙන් සලකා බලමු සරල ප්රකාශනලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග සහ ලඝුගණකයේ නිර්වචනය භාවිතා කිරීම. මෙම උදාහරණ වලදී, අපට එක් දේපලක් යෙදිය යුතු අතර තවත් කිසිවක් නැත. දැන්, පැහැදිලි හෘද සාක්ෂියක් සහිතව, ඔබට උදාහරණ වෙත යා හැකිය, එහි පරිවර්තනය සඳහා ලඝුගණකවල ගුණාංග කිහිපයක් සහ වෙනත් අමතර පරිවර්තනයන් භාවිතා කිරීම අවශ්ය වේ. අපි ඔවුන් සමඟ ඊළඟ ඡේදයෙන් කටයුතු කරන්නෙමු. නමුත් ඊට පෙර, ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග වලින් ප්රතිවිපාක යෙදීම පිළිබඳ උදාහරණ කෙටියෙන් බලමු.

උදාහරණයක්.

a) ලඝුගණක ලකුණ යටතේ මූල ඉවත් කරන්න. b) භාග 5 ලඝුගණකයට පරිවර්තනය කරන්න. ඇ) ලඝුගණකයේ ලකුණ යටතේ සහ එහි පාදයේ බලයෙන් ඔබ නිදහස් වන්න. ඈ) ප්‍රකාශනයේ අගය ගණනය කරන්න . e) ප්‍රකාශනය පාදම 3 සමඟ බලයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න.

විසඳුමක්.

a) අපි උපාධියේ ලඝුගණකයේ ගුණයෙන් සහසම්බන්ධය සිහිපත් කරන්නේ නම් , එවිට ඔබට වහාම පිළිතුර ලබා දිය හැකිය: .

b) මෙහිදී අපි සූත්රය භාවිතා කරමු දකුණේ සිට වමට, අපට තිබේ .

ඇ) මෙම අවස්ථාවේදී, සූත්රය ප්රතිඵලය වෙත යොමු කරයි . අපිට ලැබෙනවා .

d) තවද මෙහි සූත්‍රය අනුරූප වන සහසම්බන්ධය යෙදීම ප්‍රමාණවත් වේ . ඒ නිසා .

e) ලඝුගණකයේ දේපල අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි: .

පිළිතුර:

ඒ) . බී) . V) . G) . ඈ) .

ගුණාංග කිහිපයක් අඛණ්ඩව යෙදීම

ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතයෙන් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේ සැබෑ කර්තව්‍යයන් සාමාන්‍යයෙන් අප පෙර ඡේදයේ කටයුතු කළ ඒවාට වඩා සංකීර්ණ වේ. ඒවා තුළ, රීතියක් ලෙස, ප්‍රති result ලය එක් පියවරකින් ලබා නොගනී, නමුත් විසඳුම දැනටමත් සමන්විත වන්නේ වරහන් විවෘත කිරීම, සමාන පද ගෙන ඒම, භාග අඩු කිරීම වැනි අතිරේක සමාන පරිවර්තනයන් සමඟ එක් දේපලක් අනුක්‍රමිකව යෙදීමෙනි. . එබැවින් අපි එවැනි උදාහරණ වෙත සමීප වෙමු. මේ සම්බන්ධයෙන් සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත, ප්රධාන දෙය වන්නේ ක්රියාවන්ගේ අනුපිළිවෙල නිරීක්ෂණය කරමින් ප්රවේශමෙන් හා ස්ථාවර ලෙස ක්රියා කිරීමයි.

උදාහරණයක්.

ප්රකාශනයක අගය ගණනය කරන්න (ලග 3 15−log 3 5) 7 ලඝු 7 5.

විසඳුමක්.

ලඝුගණක ලඝුගණකයේ ගුණයට අනුව වරහන් තුළ ඇති ලඝුගණක අතර වෙනස ලඝුගණක ලඝු 3 (15:5) මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක, ඉන්පසු එහි අගය ලොගය 3 (15:5)=log 3 3=1 ගණනය කරන්න. ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීම අනුව 7 ලොග් 7 5 ප්‍රකාශනයේ අගය 5 ට සමාන වේ. මෙම ප්රතිඵල මුල් ප්රකාශනයට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු (ලග 3 15−log 3 5) 7 ලොග් 7 5 =1 5=5.

පැහැදිලි කිරීමකින් තොරව විසඳුමක් මෙන්න:
(ලඝු-සටහන 3 15−log 3 5) 7 ලොග් 7 5 =ලොග් 3 (15:5) 5=
=ලොග් 3 3·5=1·5=5 .

පිළිතුර:

(ලග 3 15−log 3 5) 7 ලොගය 7 5 =5.

උදාහරණයක්.

ලොග් 3 ලොග් 2 2 3 −1 සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයේ අගය කොපමණද?

විසඳුමක්.

අපි මුලින්ම බලයේ ලඝුගණකය සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමින් ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ලඝුගණකය පරිවර්තනය කරමු: log 2 2 3 =3. මේ අනුව, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 සහ log 3 3=1. එබැවින් ලොග් 3 ලොගය 2 2 3 -1=1−1=0 .

පිළිතුර:

ලඝු-සටහන 3 ලොගය 2 2 3 -1=0 .

උදාහරණයක්.

ප්රකාශනය සරල කරන්න.

විසඳුමක්.

නව ලඝුගණක පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා වූ සූත්‍රය මඟින් ලඝුගණක එක් පාදයකට අනුපාතය ලඝු 3 5 ලෙස නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි. මෙම අවස්ථාවේදී, මුල් ප්රකාශනය ස්වරූපය ගනී. ලඝුගණක 3 ලොගයේ නිර්වචනය අනුව 3 5 =5, එනම් , සහ ලඝුගණකයේ එකම නිර්වචනය අනුව ලැබෙන ප්‍රකාශනයේ අගය දෙකට සමාන වේ.

මෙතන කෙටි අනුවාදයසාමාන්යයෙන් ලබා දෙන විසඳුම්: .

පිළිතුර:

.

ඊළඟ ඡේදයේ තොරතුරු වෙත සුමටව සංක්‍රමණය වීමට, අපි 5 2+log 5 3, සහ log0.01 යන ප්‍රකාශන දෙස බලමු. ඒවායේ ව්‍යුහය ලඝුගණකවල කිසිදු ගුණයකට නොගැලපේ. ඉතින් මොකද වෙන්නේ, ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතයෙන් ඒවා පරිවර්තනය කළ නොහැකිද? ලඝුගණකවල ගුණාංග යෙදීම සඳහා මෙම ප්‍රකාශන සකස් කරන මූලික පරිවර්තනයන් සිදු කරන්නේ නම් එය කළ හැකිය. ඒ නිසා 5 2+ලොග් 5 3 =5 2 5 ලඝු 5 3 =25 3=75, සහ log0.01=log10 -2 =-2. ඊළඟට අපි එවැනි ප්රකාශන සකස් කිරීම සිදු කරන ආකාරය විස්තරාත්මකව බලමු.

ලඝුගණකවල ගුණ භාවිතා කිරීමට ප්‍රකාශන සකස් කිරීම

පරිවර්තනය කරන ප්‍රකාශනයේ ලඝුගණක බොහෝ විට ලඝුගණකවල ගුණවලට අනුරූප වන සූත්‍රවල වම් සහ දකුණු කොටස් වලින් අංකනයේ ව්‍යුහය වෙනස් වේ. නමුත් අඩු වාර ගණනක්, මෙම ප්‍රකාශනවල පරිවර්තනයට ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතා කිරීම ඇතුළත් වේ: ඒවායේ භාවිතය සඳහා අවශ්‍ය වන්නේ මූලික සූදානම පමණි. තවද මෙම සූදානම සමන්විත වන්නේ ගුණාංග යෙදීම සඳහා පහසු ආකෘතියකට ලඝුගණක ගෙන එන ඇතැම් සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමෙනි.

සාධාරණ වීමට නම්, ප්‍රකාශනයේ ඕනෑම පරිවර්තනයක් පාහේ සමාන පද අඩු කිරීමේ සිට ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතය දක්වා මූලික පරිවර්තනයන් ලෙස ක්‍රියා කළ හැකි බව අපි සටහන් කරමු. පරිවර්තනය කරන ප්‍රකාශනවල ඕනෑම ගණිතමය වස්තු අඩංගු විය හැකි බැවින් මෙය තේරුම් ගත හැකිය: වරහන්, මොඩියුල, භාග, මූලයන්, බලතල ආදිය. මේ අනුව, ලඝුගණකවල ගුණ වලින් තවදුරටත් ප්‍රයෝජන ගැනීමට හැකිවීම සඳහා අවශ්‍ය ඕනෑම පරිවර්තනයක් සිදු කිරීමට යමෙකු සූදානම් විය යුතුය.

ලඝුගණකවල ගුණාංග හෝ ලඝුගණකයේ නිර්වචනය පසුව යෙදීමට අපට ඉඩ සලසන සියලුම සිතාගත හැකි මූලික පරිවර්තනයන් වර්ගීකරණය කිරීමේ සහ විශ්ලේෂණය කිරීමේ කාර්යය මේ අවස්ථාවේදී අප විසින්ම සකසා නැති බව අපි වහාම කියමු. මෙහිදී අපි අවධානය යොමු කරන්නේ ඒවායින් හතරක් පමණක් වන අතර ඒවා වඩාත් සාමාන්‍ය හා බොහෝ විට ප්‍රායෝගිකව හමු වේ.

දැන් ඒ සෑම එකක් ගැනම විස්තරාත්මකව, අපගේ මාතෘකාවේ රාමුව තුළ ඉතිරිව ඇත්තේ ලඝුගණක සලකුණු යටතේ විචල්‍යයන් සමඟ ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම තේරුම් ගැනීමයි.

ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සහ එහි පාදයේ බලතල හඳුනා ගැනීම

අපි වහාම උදාහරණයක් සමඟ ආරම්භ කරමු. අපි ලඝුගණකයක් කරමු. පැහැදිලිවම, මෙම ආකෘතියේ එහි ව්යුහය ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතයට හිතකර නොවේ. එය සරල කිරීම සඳහා මෙම ප්රකාශනය කෙසේ හෝ පරිවර්තනය කළ හැකිද, එහි අගය ගණනය කිරීම වඩා හොඳද? මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා, අපගේ උදාහරණයේ සන්දර්භය තුළ අංක 81 සහ 1/9 දෙස සමීපව බලමු. මෙහිදී මෙම සංඛ්‍යා 3 බලයක් ලෙස නිරූපනය කළ හැකි බව වටහා ගැනීම පහසුය, ඇත්ත වශයෙන්ම, 81 = 3 4 සහ 1/9 = 3 -2. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මුල් ලඝුගණකය පෝරමයේ ඉදිරිපත් කර ඇති අතර එය සූත්රය යෙදීමට හැකි වේ . ඒ නිසා, .

විශ්ලේෂණය කරන ලද උදාහරණයේ විශ්ලේෂණය පහත සිතුවිල්ලට හේතු වේ: හැකි නම්, ඔබට උපාධියේ ලඝුගණකයේ ගුණය හෝ එහි ප්‍රතිවිපාක යෙදීම සඳහා ලඝුගණකයේ ලකුණ යටතේ සහ එහි පාදයේ උපාධිය හුදකලා කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය. මෙම උපාධි වෙන්කර හඳුනා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා ගැනීමට පමණක් ඉතිරිව ඇත. මෙම ගැටළුව සම්බන්ධයෙන් නිර්දේශ කිහිපයක් ලබා දෙමු.

සමහර විට ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සහ/හෝ එහි පාදයේ ඇති සංඛ්‍යාව ඉහත සාකච්ඡා කළ උදාහරණයේ මෙන් යම් පූර්ණ සංඛ්‍යා බලයක් නියෝජනය කරන බව ඉතා පැහැදිලිය. නිතරම පාහේ අපට හොඳින් හුරුපුරුදු දෙදෙනෙකුගේ බලතල සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. තුනක බලතල ගැන ද එයම කිව හැකිය: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... පොදුවේ, ඔබේ ඇස් ඉදිරිපිට තිබේ නම් එය හානියක් නොවේ. ස්වාභාවික සංඛ්යා වල බල වගුවදුසිමක් ඇතුළත. දහය, සියය, දහස ආදී පූර්ණ සංඛ්‍යා බලවලින් වැඩ කිරීම ද අපහසු නැත.

උදාහරණයක්.

අගය ගණනය කරන්න හෝ ප්‍රකාශනය සරල කරන්න: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

විසඳුමක්.

a) පැහැදිලිවම, 216=6 3, ඒ නිසා ලොග් 6 216=log 6 6 3 =3.

b) ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල බල වගුව මඟින් ඔබට අංක 343 සහ 1/243 බලය 7 3 සහ 3 -4 ලෙස නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි. එබැවින්, දී ඇති ලඝුගණකයේ පහත පරිවර්තනය කළ හැකිය:

ඇ) 0.000001=10 -6 සහ 0.001=10 -3 සිට, පසුව ලඝු-සටහන 0.000001 0.001=ලොග් 10 -6 10 -3 =(-3)/(-6)=1/2.

පිළිතුර:

a) ලඝු-සටහන 6 216=3, b) , ඇ) ලොගය 0.000001 0.001=1/2.

තව දුරටත් දුෂ්කර අවස්ථාඉලක්කම්වල බලයන් වෙන්කර හඳුනා ගැනීමට කෙනෙකුට පිහිට විය යුතුය.

උදාහරණයක්.

ප්‍රකාශනය තවත් බවට පරිවර්තනය කරන්න සරල දසුනක්ලඝු-සටහන 3 648 ලඝු-සටහන 2 3 .

විසඳුමක්.

648 හි සාධකකරණය යනු කුමක්දැයි බලමු:

එනම්, 648=2 3 ·3 4. මේ අනුව, ලඝු-සටහන 3 648 ලඝු-සටහන 2 3=ලොග් 3 (2 3 3 4) ලඝු-සටහන 2 3.

දැන් අපි නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකය ලඝුගණක එකතුවට පරිවර්තනය කරමු, ඉන්පසු අපි බලයේ ලඝුගණකයේ ගුණාංග යොදන්නෙමු:
ලඝු-සටහන 3 (2 3 3 4) ලඝු-සටහන 2 3=(ලොග් 3 2 3 +ලොග් 3 3 4) ලඝු-සටහන 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

සූත්‍රයට අනුරූප වන බලයේ ලඝුගණකයේ ගුණයෙන් අනුපූරකයක් මගින් , නිෂ්පාදන log32·log23 යනු ඵලය වන අතර, දන්නා පරිදි, එය එකකට සමාන වේ. මෙය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගනිමු 3 ලොගය 3 2 ලොගය 2 3+4 ලොගය 2 3=3 1+4 ලොගය 2 3=3+4 ලොගය 2 3.

පිළිතුර:

ලඝු-සටහන 3 648 ලඝු-සටහන 2 3=3+4 ලඝු-සටහන 2 3.

බොහෝ විට, ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සහ එහි පාදයේ ඇති ප්‍රකාශන සමහර සංඛ්‍යාවල මූලයන් සහ/හෝ බලවල නිෂ්පාදන හෝ අනුපාත නියෝජනය කරයි, උදාහරණයක් ලෙස, , . එවැනි ප්රකාශන බලයන් ලෙස ප්රකාශ කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, මූලයන් සිට බලය දක්වා සංක්රමණයක් සිදු කරනු ලබන අතර, ඒවා භාවිතා කරනු ලැබේ. මෙම පරිවර්තන මගින් ලඝුගණකයේ ලකුණ යටතේ සහ එහි පාදයේ බලයන් හුදකලා කිරීමට හැකි වන අතර පසුව ලඝුගණකවල ගුණාංග යොදන්න.

උදාහරණයක්.

ගණනය කරන්න: a) , බී) .

විසඳුමක්.

a) ලඝුගණකයේ පාදයේ ප්‍රකාශනය එකම පාද සහිත බලවල ප්‍රතිඵලයකි; අපට ඇති බලවල අනුරූප ගුණය අනුව 5 2 ·5 -0.5 ·5 -1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

දැන් අපි ලඝුගණක ලකුණ යටතේ කොටස පරිවර්තනය කරමු: අපි මූලයේ සිට බලයට යන්නෙමු, ඉන්පසු අපි බල අනුපාතයේ දේපල එකම පදනමක් සමඟ භාවිතා කරමු: .

ලබාගත් ප්රතිඵල මුල් ප්රකාශනයට ආදේශ කිරීමට ඉතිරිව ඇත, සූත්රය භාවිතා කරන්න සහ පරිවර්තනය අවසන් කරන්න:

b) 729 = 3 6 සහ 1/9 = 3 -2 නිසා, මුල් ප්‍රකාශනය ලෙස නැවත ලිවිය හැක.

ඊළඟට, අපි බලයක මූලයේ ගුණය යොදන්නෙමු, මූලයේ සිට බලයට මාරු කරමු, සහ ලඝුගණකයේ පාදය බලයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා බල අනුපාතයේ ගුණය භාවිතා කරමු: .

අවසාන ප්රතිඵලය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට තිබේ .

පිළිතුර:

ඒ) , බී) .

තුළ බව පැහැදිලිය සාමාන්ය නඩුවලඝුගණකයේ ලකුණ යටතේ සහ එහි පදනම යටතේ බලතල ලබා ගැනීම සඳහා, විවිධ ප්රකාශනවල විවිධ පරිවර්තනයන් අවශ්ය විය හැකිය. අපි උදාහරණ කිහිපයක් දෙමු.

උදාහරණයක්.

ප්රකාශනයේ තේරුම කුමක්ද: a) , බී) .

විසඳුමක්.

දී ඇති ප්‍රකාශනයෙහි A B p , A=2, B=x+1 සහ p=4 යන පෝරමය ඇති බව අපි තවදුරටත් සටහන් කරමු. අපි මෙම වර්ගයේ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශන බල ලොගයේ ලඝුගණකයේ ගුණයට අනුව පරිවර්තනය කළෙමු a b p =p·log a b , එබැවින්, දී ඇති ප්‍රකාශනය සමඟ මට එයම කිරීමට අවශ්‍ය වන අතර, ලොග් 2 (x+1) 4 සිට 4 දක්වා 4·ලොග් 2 (x+1) . දැන් අපි මුල් ප්‍රකාශනයේ අගය සහ පරිවර්තනයෙන් පසුව ලබාගත් ප්‍රකාශනයේ අගය ගණනය කරමු, උදාහරණයක් ලෙස, x=−2 විට. අප සතුව ලොග් 2 (-2+1) 4 =ලොග් 2 1=0 , සහ 4 ලොග් 2 (-2+1)=4 ලඝු 2 (-1)- තේරුමක් නැති ප්රකාශනයක්. මෙය තාර්කික ප්‍රශ්නයක් මතු කරයි: “අපි කළ වරද කුමක්ද?”

හේතුව මෙයයි: අපි පරිවර්තන ලඝු-සටහන 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , ලඝු-සටහන a b p =p·log a b සූත්‍රය මත පදනම්ව සිදු කළෙමු, නමුත් මෙම සූත්‍රය යෙදීමට අපට අයිතිය ඇත. කොන්දේසි a >0, a≠1, b>0, p - ඕනෑම සැබෑ සංඛ්‍යාවක් නම් පමණි. එනම්, අප විසින් සිදු කරන ලද පරිවර්තනය සිදු වන්නේ x+1>0 නම්, එය x>−1 ට සමාන වේ (A සහ p සඳහා කොන්දේසි සපුරා ඇත). කෙසේ වෙතත්, අපගේ නඩුවේදී, මුල් ප්‍රකාශනය සඳහා විචල්‍ය x හි ODZ සමන්විත වන්නේ x>−1 අන්තරයෙන් පමණක් නොව, x අන්තරයෙන් ද වේ.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL සැලකිල්ලට ගැනීමේ අවශ්යතාව

අපි ලොග් 2 (x+1) 4 තෝරාගෙන ඇති ප්‍රකාශනයේ පරිවර්තනය දිගටම විශ්ලේෂණය කරමු, දැන් අපි බලමු 4 · log 2 (x+1) ප්‍රකාශනය වෙත යන විට ODZ ට කුමක් සිදුවේදැයි බලමු. පෙර ඡේදයේ, අපි මුල් ප්‍රකාශනයේ ODZ සොයා ගත්තෙමු - මෙය කට්ටලය (−∞, -1)∪(−1, +∞) . දැන් අපි 4·log 2 (x+1) ප්‍රකාශනය සඳහා x විචල්‍යයේ පිළිගත හැකි අගයන් පරාසය සොයා ගනිමු. එය කුලකයට (−1, +∞) අනුරූප වන x+1>0 කොන්දේසිය මගින් තීරණය වේ. ලඝු-සටහන 2 (x+1) 4 සිට 4·log 2 (x+1) දක්වා ගමන් කරන විට, අවසර ලත් අගයන් පරාසය පටු වන බව පැහැදිලිය. මෙය විවිධ ඍණාත්මක ප්රතිවිපාකවලට තුඩු දිය හැකි බැවින්, DL හි පටු වීමකට තුඩු දෙන පරිවර්තන වළක්වා ගැනීමට අපි එකඟ විය.

පරිවර්තනයේ සෑම පියවරකදීම OA පාලනය කිරීම සහ එහි පටු වීම වැළැක්වීම ප්‍රයෝජනවත් බව මෙහිදී සඳහන් කිරීම වටී. පරිවර්තනයේ යම් අවධියක හදිසියේම ඩීඑල් පටු වීමක් සිදුවුවහොත්, මෙම පරිවර්තනයට අවසර තිබේද සහ එය සිදු කිරීමට අපට අයිතියක් තිබේද යන්න පිළිබඳව ඉතා ප්‍රවේශමෙන් බැලීම වටී.

සාධාරණ වීමට නම්, ප්‍රායෝගිකව අපට සාමාන්‍යයෙන් විචල්‍යවල විචල්‍ය අගය වන ප්‍රකාශන සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවේ යැයි කියමු, පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමේදී, අපට දැනටමත් දන්නා ස්වරූපයෙන් සීමාවකින් තොරව ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතා කළ හැකිය. වමේ සිට දකුණට සහ දකුණේ සිට වමට. ඔබ ඉක්මනින් මෙයට පුරුදු වන අතර, ඒවා සිදු කළ හැකිද යන්න ගැන නොසිතා ඔබ යාන්ත්‍රිකව පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමට පටන් ගනී. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, වාසනාවන්ත ලෙස, ලඝුගණකවල ගුණාංග නොසැලකිලිමත් ලෙස යෙදීම දෝෂ වලට තුඩු දෙන වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණ ලිස්සා යයි. එබැවින් ඔබ සැමවිටම විමසිල්ලෙන් සිටිය යුතු අතර ODZ හි පටු වීමක් නොමැති බවට වග බලා ගන්න.

ලඝුගණකවල ගුණාංග මත පදනම්ව ප්‍රධාන පරිවර්තනයන් වෙන වෙනම ඉස්මතු කිරීමට හානියක් නොවනු ඇත, එය ඉතා ප්‍රවේශමෙන් සිදු කළ යුතු අතර, එය OD පටු වීමට හේතු විය හැකි අතර එහි ප්‍රති result ලයක් ලෙස - දෝෂ වලට:

ලඝුගණකවල ගුණාංග මත පදනම් වූ ප්‍රකාශනවල සමහර පරිවර්තනයන් ද ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙයට හේතු විය හැක - ODZ ප්‍රසාරණය වීම. උදාහරණයක් ලෙස, 4·log 2 (x+1) සිට log 2 (x+1) 4 දක්වා සංක්‍රමණය වීම ODZ කට්ටලය (−1, +∞) සිට (-−∞, −1)∪(−1, +∞) . මුල් ප්රකාශනය සඳහා අප ODZ රාමුව තුළ රැඳී සිටියහොත් එවැනි පරිවර්තනයන් සිදු වේ. එබැවින් දැන් සඳහන් කළ පරිවර්තනය 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 මුල් ප්‍රකාශනය 4·log 2 (x+1) සඳහා x විචල්‍යයේ ODZ මත සිදු වේ, එනම් x+1> 0, එය (−1, +∞) ට සමාන වේ.

ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතා කරමින් විචල්‍යයන් සමඟ ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේදී ඔබ අවධානය යොමු කළ යුතු සූක්ෂ්ම කරුණු අපි දැන් සාකච්ඡා කර ඇති අතර, මෙම පරිවර්තනයන් නිවැරදිව සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත.

X+2>0 . එය අපගේ නඩුවේ ක්‍රියාත්මක වේද? මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට, අපි x විචල්‍යයේ ODZ දෙස බලමු. එය අසමානතා පද්ධතිය මගින් තීරණය වේ , එය x+2>0 කොන්දේසියට සමාන වේ (අවශ්‍ය නම්, ලිපිය බලන්න අසමානතා විසඳීමේ පද්ධති) මේ අනුව, අපට බලයේ ලඝුගණකයේ ගුණය ආරක්ෂිතව යෙදිය හැකිය.

අපිට තියෙනවා
3 ලොග්(x+2) 7 -ලොග්(x+2)−5 ලඝු(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 ලොගය(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

ODZ ඔබට මෙය කිරීමට ඉඩ දෙන බැවින් ඔබට වෙනස් ලෙස ක්‍රියා කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස මේ වගේ:

පිළිතුර:

3 ලොග්(x+2) 7 -ලොග්(x+2)−5 ලඝු(x+2) 4 =0.

නමුත් ලඝුගණකවල ගුණාංග සමඟ ඇති කොන්දේසි ODZ හි සපුරා නොමැති විට කුමක් කළ යුතුද? අපි මෙය උදාහරණ සමඟ තේරුම් ගනිමු.

log(x+2) 4 - log(x+2) 2 යන ප්‍රකාශනය සරල කිරීමට අපට අවශ්‍ය වේ. මෙම ප්‍රකාශනයේ පරිවර්තනය, පෙර උදාහරණයේ ප්‍රකාශනය මෙන් නොව, බලයේ ලඝුගණකයේ ගුණය නොමිලේ භාවිතා කිරීමට ඉඩ නොදේ. ඇයි? මෙම අවස්ථාවෙහිදී x විචල්‍යයේ ODZ යනු x>−2 සහ x අන්තරයන් දෙකක එකතුවයි.<−2 . При x>−2 අපට බලයක ලඝුගණකයේ ගුණය පහසුවෙන් යෙදිය හැකි අතර ඉහත උදාහරණයේ මෙන් ක්‍රියා කළ හැක. log(x+2) 4 -ලොග්(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). නමුත් ODZ හි තවත් එක් අන්තරයක් x+2 අඩංගු වේ<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к ලඝු-සටහන(-|x+2|) 4 -ලොග්(-|x+2|) 2සහ තවදුරටත් k lg|x+2| උපාධියේ ගුණ නිසා 4 −lg|x+2| 2. විචල්‍යයේ ඕනෑම අගයක් සඳහා |x+2|>0 සිට, බලයක ලඝුගණකයේ ගුණය භාවිතයෙන් ලැබෙන ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කළ හැක. අපිට තියෙනවා ලඝු-සටහන|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. දැන් ඔබට මොඩියුලයෙන් නිදහස් විය හැකිය, මන්ද එය එහි කාර්යය ඉටු කර ඇත. අපි x+2 හි පරිවර්තනය සිදු කරන බැවින්<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

මොඩියුල සමඟ වැඩ කිරීම හුරුපුරුදු වන පරිදි තවත් එක් උදාහරණයක් බලමු. අපි ප්‍රකාශනයෙන් පිළිසිඳ ගනිමු x−1, x−2 සහ x−3 යන රේඛීය ද්විපදවල ලඝුගණකවල එකතුව සහ වෙනස වෙත යන්න. මුලින්ම අපි ODZ සොයා ගනිමු:

අන්තරය මත (3, +∞) x−1, x−2 සහ x−3 යන ප්‍රකාශනවල අගයන් ධන වේ, එබැවින් අපට එකතුවේ සහ වෙනසෙහි ලඝුගණකයේ ගුණාංග පහසුවෙන් යෙදිය හැක:

සහ අන්තරය (1, 2) මත x−1 ප්‍රකාශනයේ අගයන් ධන වන අතර x−2 සහ x−3 ප්‍රකාශනවල අගයන් සෘණ වේ. එබැවින්, සලකා බලන කාල පරතරය මත අපි x−2 සහ x−3 නිරූපණය කරන්නේ -|x−2| ලෙස මාපාංකය භාවිතා කරමිනි. සහ -|x−3| පිළිවෙලින්. එහි

සලකා බලන කාල අන්තරයේ (1, 2) x−1 , |x−2| ප්‍රකාශනවල අගයන් නිසා දැන් අපට නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ ගුණ සහ ප්‍රාග්ධනය යෙදිය හැක. සහ |x−3| - ධනාත්මක.

අපිට තියෙනවා

ලබාගත් ප්රතිඵල ඒකාබද්ධ කළ හැකිය:

පොදුවේ ගත් කල, සමාන තර්කනය මඟින් නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකය, අනුපාතය සහ උපාධිය සඳහා වන සූත්‍ර මත පදනම්ව, ප්‍රායෝගිකව ප්‍රයෝජනවත් ප්‍රතිඵල තුනක් ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, ඒවා භාවිතා කිරීමට බෙහෙවින් පහසුය:

• log a (X·Y) පෝරමයේ X සහ Y අත්තනෝමතික ප්‍රකාශන දෙකක ගුණිතයේ ලඝුගණකය log a |X|+log a |Y| ලඝුගණක එකතුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක. , a>0 , a≠1 .
• යම් ආකාරයක log a හි ලඝුගණකය (X:Y) ලඝුගණක log a |X|-log a |Y| හි වෙනස මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක. , a>0, a≠1, X සහ Y අත්තනෝමතික ප්‍රකාශන වේ.
• සමහර ප්‍රකාශන B හි ලඝුගණකයේ සිට log a B p ආකෘතියේ p ඉරට්ටේ බලය දක්වා අපට p·log a |B| ප්‍රකාශනය වෙත යා හැක. , මෙහි a>0, a≠1, p ඉරට්ටේ අංකයක් වන අතර B යනු අත්තනෝමතික ප්‍රකාශනයකි.

සමාන ප්රතිඵල ලබා දී ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, ඝාතීය විසඳීම සඳහා උපදෙස් සහ ලඝුගණක සමීකරණ M. I. Skanavi විසින් සංස්කරණය කරන ලද විශ්ව විද්‍යාලවලට ඇතුළත් වන අය සඳහා ගණිතය පිළිබඳ ගැටලු එකතුවක.

උදාහරණයක්.

ප්රකාශනය සරල කරන්න .

විසඳුමක්.

බලය, එකතුව සහ වෙනස යන ලඝුගණකයේ ගුණාංග යෙදීම හොඳයි. නමුත් අපට මෙය මෙහි කළ හැකිද? මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුරු දීමට අපි DZ දැන සිටිය යුතුය.

අපි එය නිර්වචනය කරමු:

x විචල්‍යයේ අවසර ලත් අගයන් පරාසයේ ඇති x+4, x−2 සහ (x+4) 13 යන ප්‍රකාශන ධන සහ ඍණ අගයන් දෙකම ගත හැකි බව පැහැදිලිය. එබැවින්, අපට මොඩියුල හරහා ක්රියා කිරීමට සිදුවනු ඇත.

මොඩියුලයේ ගුණාංග ඔබට එය නැවත ලිවීමට ඉඩ සලසයි, එසේ

එසේම, බලයක ලඝුගණකයේ ගුණය භාවිතා කිරීමෙන් සහ පසුව සමාන නියමයන් ගෙන ඒමෙන් කිසිවක් ඔබව වළක්වන්නේ නැත:

වෙනත් පරිවර්තන අනුපිළිවෙලක් එකම ප්‍රති result ලයට මග පාදයි:

සහ ODZ මත x−2 ප්‍රකාශනයට ධන සහ සෘණ අගයන් දෙකම ගත හැකි බැවින්, ඉරට්ටේ ඝාතය 14ක් ගන්නා විට

උපදෙස්

දී ඇති දේ ලියන්න ලඝුගණක ප්රකාශනය. ප්‍රකාශනය 10 හි ලඝුගණකය භාවිතා කරන්නේ නම්, එහි අංකනය කෙටි කර මෙලෙස දිස්වේ: lg b යනු දශම ලඝුගණකය වේ. ලඝුගණකයේ අංකය e එහි පදනම ලෙස තිබේ නම්, ප්රකාශනය ලියන්න: ln b - ස්වභාවික ලඝුගණකය. ඕනෑම එකක ප්‍රතිඵලය b අංකය ලබා ගැනීම සඳහා පාදක අංකය ඉහළ නැංවිය යුතු බලය බව අවබෝධ වේ.

ශ්‍රිත දෙකක එකතුව සොයා ගැනීමේදී, ඔබට ඒවා එකින් එක වෙන්කර ප්‍රතිඵල එකතු කිරීම අවශ්‍ය වේ: (u+v)" = u"+v";

ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගැනීමේදී, පළමු ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය දෙවැන්නෙන් ගුණ කළ යුතු අතර දෙවන ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය පළමු ශ්‍රිතයෙන් ගුණ කළ යුතුය: (u*v)" = u"*v +v"*u;

ශ්‍රිත දෙකක ප්‍රමාණයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගැනීම සඳහා, ලාභාංශයේ ව්‍යුත්පන්නයේ ගුණිතයෙන් බෙදුම්කාර ශ්‍රිතයෙන් ගුණ කරන ලද ලාභාංශයේ ව්‍යුත්පන්නයේ ගුණිතයෙන් අඩු කිරීම අවශ්‍ය වේ. මේ සියල්ල භාජක ශ්‍රිතය වර්ග කර ඇත. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක් ලබා දෙන්නේ නම්, අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සහ බාහිර එකෙහි ව්‍යුත්පන්නය ගුණ කිරීම අවශ්‍ය වේ. y=u(v(x)), ඉන්පසු y"(x)=y"(u)*v"(x) යන්න.

ඉහත ලබා ගත් ප්‍රතිඵල භාවිතයෙන්, ඔබට ඕනෑම කාර්යයක් පාහේ වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. එබැවින් අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ලක්ෂ්‍යයක ව්‍යුත්පන්නය ගණනය කිරීම සම්බන්ධ ගැටළු ද ඇත. y=e^(x^2+6x+5) ශ්‍රිතය ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, ඔබට ශ්‍රිතයේ අගය x=1 ලක්ෂ්‍යයෙන් සෙවිය යුතුය.
1) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය සොයන්න: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයේ අගය ගණනය කරන්න y"(1)=8*e^0=8

මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව

ප්රයෝජනවත් උපදෙස්

මූලික ව්‍යුත්පන්න වගුව ඉගෙන ගන්න. මෙය සැලකිය යුතු ලෙස කාලය ඉතිරි කරයි.

මූලාශ්‍ර:

• නියතයක ව්‍යුත්පන්නය

එසේනම් අතාර්කික සමීකරණයක් සහ තාර්කික සමීකරණයක් අතර වෙනස කුමක්ද? නොදන්නා විචල්‍යය වර්ග මූල ලකුණ යටතේ තිබේ නම්, සමීකරණය අතාර්කික ලෙස සැලකේ.

උපදෙස්

එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා ප්රධාන ක්රමය වන්නේ දෙපැත්තේ ගොඩනැගීමේ ක්රමයයි සමීකරණචතුරස්රයක් බවට. කෙසේ වුවද. මෙය ස්වාභාවිකය, ඔබ කළ යුතු පළමු දෙය නම් ලකුණ ඉවත් කිරීමයි. මෙම ක්රමය තාක්ෂණික වශයෙන් අපහසු නැත, නමුත් සමහර විට එය කරදර ඇති විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය v(2x-5)=v(4x-7) වේ. දෙපස වර්ග කිරීමෙන් ඔබට 2x-5=4x-7 ලැබේ. එවැනි සමීකරණයක් විසඳීම අපහසු නැත; x=1. නමුත් අංක 1 ලබා නොදෙනු ඇත සමීකරණ. ඇයි? x හි අගය වෙනුවට එකක් සමීකරණයට ආදේශ කරන්න. දකුණු සහ වම් පැතිවල තේරුමක් නැති ප්‍රකාශන අඩංගු වේ, එනම්. මෙම අගය වර්ග මූලයක් සඳහා වලංගු නොවේ. එබැවින්, 1 යනු බාහිර මූලයක් වන අතර, එබැවින් මෙම සමීකරණයට මූලයන් නොමැත.

ඉතින්, අතාර්කික සමීකරණයක් විසඳනු ලබන්නේ එහි දෙපැත්තේ වර්ග කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමිනි. සමීකරණය විසඳා ගැනීමෙන් බාහිර මූලයන් කපා දැමීම අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සොයාගත් මූලයන් මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරන්න.

තවත් එකක් සලකා බලන්න.
2х+vx-3=0
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සමීකරණය පෙර පැවති සමාන සමීකරණය භාවිතයෙන් විසඳා ගත හැකිය. සංයුති චලනය කරන්න සමීකරණ, වර්ගමූලයක් නොමැති, දකුණු පැත්තට ගොස් පසුව වර්ග කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් තාර්කික සමීකරණය සහ මූලයන් විසඳන්න. නමුත් තවත්, වඩා අලංකාර එකක්. නව විචල්‍යයක් ඇතුළත් කරන්න; vх=y. ඒ අනුව, ඔබට 2y2+y-3=0 පෝරමයේ සමීකරණයක් ලැබෙනු ඇත. එනම් සාමාන්‍ය චතුරස්‍ර සමීකරණයකි. එහි මූලයන් සොයා ගන්න; y1=1 සහ y2=-3/2. ඊළඟට, දෙකක් විසඳන්න සමීකරණ vх=1; vх=-3/2. දෙවන සමීකරණයට මූලයන් නොමැත; පළමු සමීකරණයෙන් අපි සොයා ගන්නේ x=1 බවයි. මූලයන් පරීක්ෂා කිරීමට අමතක නොකරන්න.

අනන්යතා විසඳීම තරමක් සරල ය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, නියමිත ඉලක්කය සපුරා ගන්නා තෙක් සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. මේ අනුව, සරල ගණිතමය මෙහෙයුම් ආධාරයෙන්, මතු වූ ගැටළුව විසඳනු ඇත.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• - කඩදාසි;
• - පෑන.

උපදෙස්

එවැනි පරිවර්තනයන්ගෙන් සරලම වන්නේ වීජීය සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීම් (එනම් එකතුවේ වර්ග (වෙනස), වර්ගවල වෙනස, එකතුව (වෙනස), එකතුවේ ඝනකය (වෙනස) ය. මීට අමතරව, බොහෝ ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර ඇත, ඒවා අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම එකම අනන්‍යතා වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, පද දෙකක එකතුවෙහි වර්ගය සමාන වේ පළමු ප්ලස් වර්ගයට දෙවන ගුණිතයෙන් දෙගුණයක් සහ දෙවන වර්ගය එකතු කරන්න, එනම් (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

දෙකම සරල කරන්න

විසඳුමේ පොදු මූලධර්ම

නිශ්චිත අනුකලනයක් යනු කුමක්දැයි ගණිතමය විශ්ලේෂණය හෝ උසස් ගණිතය පිළිබඳ පෙළපොතකින් නැවත නැවත කරන්න. දන්නා පරිදි, නිශ්චිත අනුකලනයක විසඳුම ශ්‍රිතයක් වන අතර එහි ව්‍යුත්පන්නය අනුකලනයක් ලබා දෙයි. මෙම ශ්රිතය ප්රතිව්යුත්පන්න ලෙස හැඳින්වේ. මෙම මූලධර්මය මත පදනම්ව, ප්රධාන අනුකලනය ගොඩනගා ඇත.
මෙම අවස්ථාවේ දී සුදුසු වගුවේ අනුකලිත අනුකලිත වර්ගය අනුව තීරණය කරන්න. මෙය වහාම තීරණය කිරීම සැමවිටම කළ නොහැකිය. බොහෝ විට, වගු ආකෘතිය කැපී පෙනෙන්නේ අනුකලනය සරල කිරීම සඳහා පරිවර්තනයන් කිහිපයකින් පසුව පමණි.

විචල්ය ප්රතිස්ථාපන ක්රමය

අනුකලනය බහුපදයක් වන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් නම්, විචල්‍ය වෙනස් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, integrand හි තර්කයේ බහුපද වෙනුවට නව විචල්‍යයක් යොදන්න. නව සහ පැරණි විචල්යයන් අතර සම්බන්ධතාවය මත පදනම්ව, ඒකාබද්ධ කිරීමේ නව සීමාවන් තීරණය කරන්න. මෙම ප්‍රකාශනය අවකලනය කිරීමෙන්, හි නව අවකලනය සොයා ගන්න. මේ අනුව, ඔබට පෙර අනුකලනයේ නව ආකාරයක් ලැබෙනු ඇත, සමීප හෝ සමහර වගු එකකට අනුරූප වේ.

දෙවන ආකාරයේ අනුකලනය විසඳීම

අනුකලනය යනු දෙවන ආකාරයේ අනුකලනයක් නම්, අනුකලනයේ දෛශික ආකාරයක් නම්, ඔබට මෙම අනුකලනයේ සිට පරිමාණය දක්වා සංක්‍රමණය වීම සඳහා නීති භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය වනු ඇත. එවැනි එක් රීතියක් වන්නේ Ostrogradsky-Gauss සම්බන්ධතාවයයි. මෙම නියමය අපට යම් දෛශික ශ්‍රිතයක රොටර් ප්‍රවාහයේ සිට දී ඇති දෛශික ක්ෂේත්‍රයක අපසරනය මත ත්‍රිත්ව අනුකලනය දක්වා ගමන් කිරීමට ඉඩ සලසයි.

ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ආදේශ කිරීම

ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගැනීමෙන් පසුව, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ආදේශ කිරීම අවශ්ය වේ. පළමුව, ඉහළ සීමාවේ අගය ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න සඳහා ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න. ඔබට යම් අංකයක් ලැබෙනු ඇත. ඊළඟට, ලැබෙන සංඛ්‍යාවෙන් පහළ සීමාවෙන් ලබාගත් තවත් සංඛ්‍යාවක් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයට අඩු කරන්න. අනුකලනයේ එක් සීමාවක් අනන්තය නම්, එය ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතයට ආදේශ කරන විට, සීමාවට ගොස් ප්‍රකාශනය නැඹුරු වන්නේ කුමක් දැයි සොයා බැලීම අවශ්‍ය වේ.
අනුකලය ද්විමාන හෝ ත්‍රිමාණ නම්, අනුකලනය ඇගයීමට ලක් කරන ආකාරය තේරුම් ගැනීමට ඔබට ජ්‍යාමිතිකව අනුකලනයේ සීමාවන් නිරූපණය කිරීමට සිදුවේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ත්‍රිමාණ අනුකලනයක් සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ඒකාබද්ධ වන පරිමාව සීමා කරන සම්පූර්ණ තලයන් විය හැකිය.

එහි අර්ථ දැක්වීමෙන් පහත දැක්වේ. එබැවින් අංකයේ ලඝුගණකය බීමත පදනම්ව ඒසංඛ්‍යාවක් ඉහළ නැංවිය යුතු ඝාතකය ලෙස අර්ථ දැක්වේ ඒඅංකය ලබා ගැනීමට බී(ලඝුගණකය පවතින්නේ ධන සංඛ්‍යා සඳහා පමණි).

මෙම සූත්රගතකරණයෙන් එය ගණනය කිරීම අනුගමනය කරයි x=log a b, සමීකරණය විසඳීමට සමාන වේ a x = b.උදාහරණ වශයෙන්, ලඝු-සටහන 2 8 = 3නිසා 8 = 2 3 . ලඝුගණකයේ සූත්‍රගත කිරීම මගින් එය සාධාරණීකරණය කිරීමට හැකි වේ b = a c, පසුව අංකයේ ලඝුගණකය බීමත පදනම්ව ඒසමාන සමග. ලඝුගණක මාතෘකාව සංඛ්‍යාවක බල මාතෘකාවට සමීපව සම්බන්ධ වන බව ද පැහැදිලිය.

ලඝුගණක සමඟ, ඕනෑම අංකයක් මෙන්, ඔබට කළ හැකිය එකතු කිරීමේ, අඩු කිරීමේ මෙහෙයුම්සහ හැකි සෑම ආකාරයකින්ම පරිවර්තනය කරන්න. නමුත් ලඝුගණක සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා නොවන නිසා, ඔවුන්ගේම විශේෂ නීති මෙහි අදාළ වේ, ඒවා ලෙස හැඳින්වේ. ප්රධාන ගුණාංග.

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම.

අපි එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් ගනිමු: x ලොග් කරන්නසහ log a y. එවිට එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ මෙහෙයුම් සිදු කළ හැකිය:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ලඝු-සටහන a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = x ලොග් කරන්න 1 + x ලොග් කරන්න 2 + x ලොග් කරන්න 3 + ... + ලොග් a x k.

සිට ලඝුගණක ප්‍රමේයයලඝුගණකයේ තවත් එක් දේපලක් ලබා ගත හැක. ලඝු කරන බව සාමාන්‍ය දැනුමකි ඒ 1= 0, එබැවින්

ලඝු ඒ 1 /බී= ලඝු-සටහන ඒ 1 - ලඝු-සටහන a b= -ලොග් a b.

මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමානාත්මතාවයක් ඇති බවයි.

log a 1 / b = - log a b.

පරස්පර සංඛ්‍යා දෙකක ලඝුගණකඑකම හේතුව නිසා එකිනෙකාගෙන් වෙනස් වන්නේ ලකුණෙන් පමණි. ඒ නිසා:

ලොගය 3 9= - ලොගය 3 1 / 9 ; ලොග් 5 1 / 125 = -ලොග් 5 125.

අපි දැන් සාමාන්‍ය දෘෂ්ටිකෝණයකින් ලඝුගණක අඩංගු ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම දෙස බලමු. මෙහිදී අපි ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතා කරමින් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම පමණක් නොව, ලඝුගණක පමණක් නොව බලයන්, භාග, මූලයන් යනාදිය අඩංගු සාමාන්‍ය ලඝුගණක සමඟ ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම ද සලකා බලමු. සුපුරුදු පරිදි, අපි විසඳුම් පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක විස්තර සහිත සාමාන්ය උදාහරණ සමඟ සියලු ද්රව්ය ලබා දෙන්නෙමු.

පිටු සංචලනය.

ලඝුගණක සහ ලඝුගණක ප්‍රකාශන සහිත ප්‍රකාශන

කොටස් සමඟ දේවල් කිරීම

පෙර ඡේදයේ, අපි ලඝුගණක අඩංගු තනි භාග සමඟ සිදු කරන මූලික පරිවර්තනයන් පරීක්ෂා කළෙමු. මෙම පරිවර්තන, ඇත්ත වශයෙන්ම, වඩාත් සංකීර්ණ ප්‍රකාශනයක කොටසක් වන එක් එක් කොටස් සමඟ සිදු කළ හැකිය, නිදසුනක් ලෙස, සමාන භාගවල එකතුව, වෙනස, නිෂ්පාදිතය සහ ප්‍රමාණය නියෝජනය කරයි. නමුත් තනි භාග සමඟ වැඩ කිරීමට අමතරව, මෙම වර්ගයේ ප්රකාශන පරිවර්තනය කිරීම බොහෝ විට භාග සමඟ අනුරූප මෙහෙයුම් සිදු කිරීම ඇතුළත් වේ. ඊළඟට අපි මෙම ක්රියාවන් සිදු කරන නීති රීති දෙස බලමු.

5-6 ශ්‍රේණිවල සිට ඒවා ක්‍රියාත්මක කරන නීති අපි දනිමු. ලිපියේ භාග සහිත මෙහෙයුම් පිළිබඳ සාමාන්‍ය බැල්මක්අපි මෙම රීති සාමාන්‍ය භාගවල සිට A/B සාමාන්‍ය ආකාරයේ භාග දක්වා දීර්ඝ කර ඇත, A සහ ​​B යනු සංඛ්‍යාත්මක, වචනාර්ථ හෝ විචල්‍ය ප්‍රකාශන කිහිපයක් වන අතර B යනු ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. ලඝුගණක සහිත භාග සාමාන්‍ය භාගවල විශේෂ අවස්ථා බව පැහැදිලිය. මේ සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, ඒවායේ අංකනයන්හි ලඝුගණක අඩංගු භාග සහිත මෙහෙයුම් එකම නීතිරීතිවලට අනුව සිදු කරන බව පැහැදිලිය. එනම්:

• එකම හර සහිත කොටස් දෙකක් එකතු කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට, ඔබ ඒ අනුව සංඛ්‍යා එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම කළ යුතුය, නමුත් හරය එලෙසම තබන්න.
• විවිධ හරයන් සහිත භාග දෙකක් එකතු කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට, ඔබ ඒවා පොදු හරයකට ගෙන ඒම සහ පෙර රීතියට අනුව සුදුසු ක්‍රියා සිදු කළ යුතුය.
• භාග දෙකක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ භාගයක් ලිවීමට අවශ්‍ය වන්නේ එහි සංඛ්‍යාව මුල් භාගවල සංඛ්‍යාවල ගුණිතය වන අතර හරය යනු හරවල ගුණිතයයි.
• භාගයක් කොටසකට බෙදීමට, ඔබ බෙදීමේ ප්‍රතිලෝම භාගයෙන් බෙදෙන භාගය, එනම්, සංඛ්‍යා සහ හරය මාරු කළ භාගයකින් ගුණ කළ යුතුය.

ලඝුගණක අඩංගු භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයක් මෙන්න.

උදාහරණයක්.

ලඝුගණක අඩංගු භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කරන්න: a) , b) , V) , G) .

විසඳුමක්.

a) එකතු කරන භාගවල හරයන් පැහැදිලිවම සමාන වේ. එබැවින්, එකම හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේ රීතියට අනුව, අපි සංඛ්‍යා එකතු කර හරය එලෙසම තබමු: .

b) මෙහි හරයන් වෙනස් වේ. එමනිසා, මුලින්ම ඔබට අවශ්යයි භාග එකම හරයට පරිවර්තනය කරන්න. අපගේ නඩුවේදී, හරයන් දැනටමත් නිෂ්පාදන ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කර ඇති අතර, අප කළ යුත්තේ පළමු භාගයේ හරය ගෙන දෙවන භාගයේ හරයෙන් නැතිවූ සාධක එයට එකතු කිරීමයි. මේ ආකාරයෙන් අපට පෝරමයේ පොදු හරයක් ලැබේ . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අඩු කරන ලද කොටස් පිළිවෙළින් ලඝුගණක ආකාරයෙන් සහ x 2 ·(x+1) ප්‍රකාශනයේ අතිරේක සාධක භාවිතා කරමින් පොදු හරයකට ගෙන එනු ලැබේ. මෙයින් පසු, ඉතිරිව ඇත්තේ එකම හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම පමණි, එය අපහසු නොවේ.

එබැවින් විසඳුම වන්නේ:

ඇ) භාග ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය භාග වන බවත්, එහි සංඛ්‍යාව සංඛ්‍යාවල ගුණිතය බවත්, හරය හරයන්ගේ ගුණිතය බවත් දනී.

ඔබට හැකි බව දැකීම පහසුය කොටසක් අඩු කිරීමදෙකකින් සහ දශම ලඝුගණකයෙන්, ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට ඇත .

d) අපි බෙදීමේ භාගයේ සිට ගුණ කිරීම දක්වා ගමන් කරමු, භාජක භාගය එහි ප්රතිලෝම භාගය සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරමු. ඒ නිසා

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය ලෙස දැක්විය හැක , සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයේ පොදු සාධකය පැහැදිලිව පෙනෙන - සාධකය x, ඔබට එයින් භාගය අඩු කළ හැක:

පිළිතුර:

a) , b) , V) , G) .

ක්‍රියාවන් සිදු කරන අනුපිළිවෙල සැලකිල්ලට ගනිමින් භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කරන බව මතක තබා ගත යුතුය: පළමුව, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම, පසුව එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම, සහ වරහන් තිබේ නම්, වරහන් තුළ ක්‍රියා පළමුව සිදු කරනු ලැබේ.

උදාහරණයක්.

භාග සමඟ දේවල් කරන්න .

විසඳුමක්.

පළමුව, අපි වරහන් තුළ භාග එකතු කරමු, ඉන්පසු අපි ගුණ කරමු:

පිළිතුර:

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තරමක් පැහැදිලි, නමුත් ඒ සමඟම වැදගත් කරුණු තුනක් ශබ්ද නඟා පැවසීමට ඉතිරිව ඇත:

ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතයෙන් ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම

බොහෝ විට, ලඝුගණක සමඟ ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම ලඝුගණකයේ නිර්වචනය ප්‍රකාශ කරන අනන්‍යතා භාවිතා කිරීම සහ

ප්රධාන ගුණාංග.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

සමාන බිම්

ලොග් 6 4 + ලොග් 6 9.

දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු.

ලඝුගණක විසඳීමේ උදාහරණ

ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:

ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම සියලු නීති අර්ථවත් වේ: a > 0, a ≠ 1, x >

කාර්ය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

නව පදනමකට මාරුවීම

ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

කාර්ය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

මෙයද බලන්න:

ලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ඝාතකය 2.718281828 වේ. ඝාතකය මතක තබා ගැනීම සඳහා, ඔබට රීතිය අධ්යයනය කළ හැකිය: ඝාතකය 2.7 ට සමාන වන අතර ලියෝ නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් වර්ෂය මෙන් දෙගුණයක් වේ.

ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග

මෙම රීතිය දැන ගැනීමෙන්, ඔබ දැන ගනු ඇත නියම අගයප්රදර්ශකයින්, සහ ලියෝ ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් දිනය.

ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ

ලඝුගණක ප්‍රකාශන

උදාහරණ 1.
ඒ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි ගණනය කරමු

2.

3.

4. කොහෙද .

උදාහරණය 2. x if සොයන්න

උදාහරණ 3. ලඝුගණකවල අගය ලබා දෙන්න

ලොගය (x) නම් ගණනය කරන්න

ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග

ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.

ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: logax සහ logay. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙහි ප්රධාන කාරණය සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!

මෙම සූත්‍ර මඟින් ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:

ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log2 48 - log2 3.

පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log3 135 - log3 5.

නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ අය මෙම කරුණ මත ගොඩනගා ඇත පරීක්ෂණ පත්රිකා. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්‍රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.

ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම

අවසාන රීතිය පළමු දෙක අනුගමනය කරන බව දැකීම පහසුය. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ල අර්ථවත් කරයි: a > 0, a ≠ 1, x > 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද සියලු සූත්‍ර යෙදීමට ඉගෙන ගන්න. , i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක. බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log7 496.

පළමු සූත්‍රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

කාර්ය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 24; 49 = 72. අපට ඇත්තේ:

මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයපැහැදිලි කිරීම අවශ්ය වේ. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? අවසාන මොහොත දක්වා අපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි.

ලඝුගණක සූත්‍ර. ලඝුගණක උදාහරණ විසඳුම්.

අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.

දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. සංඛ්‍යාංකය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: log2 7. log2 7 ≠ 0 නිසා, අපට කොටස අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.

නව පදනමකට මාරුවීම

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?

නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්‍ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:

ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

විශේෂයෙන්, අපි c = x සකසන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:

දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.

මෙම සූත්‍ර සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳන විට පමණක් ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැකිය.

කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log5 16 log2 25.

ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:

සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log9 100 lg 3.

පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:

දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:

මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය

බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේ දී දී ඇති පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:

පළමු අවස්ථාවේ දී, n අංකය තර්කයේ ඝාතකය බවට පත්වේ. එය ලඝුගණක අගයක් වන නිසා n අංකය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.

දෙවන සූත්‍රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. ඒකට තමයි කියන්නේ: .

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම බලයට b අංකයෙන් a අංකය ලබා දෙන තරමට b අංකය එවැනි බලයකට ඔසවා තැබුවහොත් කුමක් සිදුවේද? ඒක හරි: ප්‍රතිඵලය එකම අංකය a. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.

නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්‍ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.

කාර්ය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

log25 64 = log5 8 - හුදෙක් ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)

ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය

අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.

1. logaa = 1 වේ. වරක් සහ සියල්ල මතක තබා ගන්න: එම පාදයේම a පාදයේ ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ.
2. loga 1 = 0 වේ. a පදනම ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! a0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයක් වන බැවිනි.

දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.

මෙයද බලන්න:

a පාදක කිරීමට b හි ලඝුගණකය ප්‍රකාශනය දක්වයි. ලඝුගණකය ගණනය කිරීම යනු සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් වන x () බලයක් සොයා ගැනීමයි

ලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග

ලඝුගණක සම්බන්ධ ගැටළු සහ උදාහරණ සියල්ලම පාහේ ඒවායේ පදනම මත විසඳා ඇති බැවින්, ඉහත ගුණාංග දැනගැනීම අවශ්ය වේ. ඉතිරි විදේශීය ගුණාංග මෙම සූත්‍ර සමඟ ගණිතමය උපාමාරු හරහා ව්‍යුත්පන්න කළ හැක

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ලඝුගණකවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සූත්‍රය ගණනය කිරීමේදී (3.4) ඔබට බොහෝ විට හමු වේ. ඉතිරිය තරමක් සංකීර්ණ ය, නමුත් කාර්යයන් ගණනාවක දී ඒවා සංකීර්ණ ප්‍රකාශන සරල කිරීම සහ ඒවායේ අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා අත්‍යවශ්‍ය වේ.

ලඝුගණකවල පොදු අවස්ථා

සමහර පොදු ලඝුගණක යනු පාදය දහය, ඝාතීය හෝ දෙක වන ඒවා වේ.
දහයේ පාදයේ ලඝුගණකය සාමාන්‍යයෙන් දශම ලඝුගණකය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය හුදෙක් lg(x) මගින් දැක්වේ.

පටිගත කිරීමේදී මූලික කරුණු ලියා නොමැති බව පටිගත කිරීමෙන් පැහැදිලි වේ. උදාහරණ වශයෙන්

ස්වාභාවික ලඝුගණකයක් යනු ලඝුගණකයක් වන අතර එහි පාදම ඝාතීය (ln(x) මගින් දක්වනු ලැබේ).

ඝාතකය 2.718281828 වේ. ඝාතකය මතක තබා ගැනීම සඳහා, ඔබට රීතිය අධ්යයනය කළ හැකිය: ඝාතකය 2.7 ට සමාන වන අතර ලියෝ නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් වර්ෂය මෙන් දෙගුණයක් වේ. මෙම රීතිය දැන ගැනීමෙන්, ඝාතකයේ නියම අගය සහ ලියෝ ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් දිනය යන දෙකම ඔබ දැන ගනු ඇත.

සහ පාද දෙක සඳහා තවත් වැදගත් ලඝුගණකයක් දක්වා ඇත

ශ්‍රිතයක ලඝුගණකයේ ව්‍යුත්පන්නය විචල්‍යයෙන් බෙදූ එකකට සමාන වේ

අනුකලිත හෝ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ලඝුගණකය තීරණය වන්නේ සම්බන්ධතාවය මගිනි

ලඝුගණක සහ ලඝුගණක සම්බන්ධ ගැටළු රාශියක් විසඳීමට ලබා දී ඇති ද්‍රව්‍ය ඔබට ප්‍රමාණවත් වේ. ද්රව්යය තේරුම් ගැනීමට ඔබට උපකාර කිරීම සඳහා, මම පොදු උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නෙමි පාසල් විෂය මාලාවසහ විශ්ව විද්යාල.

ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ

ලඝුගණක ප්‍රකාශන

උදාහරණ 1.
ඒ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි ගණනය කරමු

2.
අපට ඇති ලඝුගණකවල වෙනසෙහි ගුණය අනුව

3.
ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි සොයා ගනිමු

4. කොහෙද .

බැලූ බැල්මට සංකීර්ණ ප්‍රකාශනයක් නීති කිහිපයක් භාවිතා කරමින් සරල කර ඇත

ලඝුගණක අගයන් සොයා ගැනීම

උදාහරණය 2. x if සොයන්න

විසඳුමක්. ගණනය කිරීම සඳහා, අපි අවසාන පදය 5 සහ 13 ගුණාංගවලට අදාළ වේ

අපි එය වාර්තාගත කර වැලපෙමු

පදනම් සමාන බැවින්, අපි ප්රකාශන සමාන කරමු

ලඝුගණක. පළමු මට්ටම.

ලඝුගණකවල අගය දෙන්න

ලොගය (x) නම් ගණනය කරන්න

විසඳුම: ලඝුගණකය ලිවීමට විචල්‍යයේ ලඝුගණකයක් ගනිමු.

මෙය ලඝුගණක සහ ඒවායේ ගුණාංග පිළිබඳ අපගේ දැනුමේ ආරම්භය පමණි. ගණනය කිරීම් පුහුණු කරන්න, ඔබේ ප්‍රායෝගික කුසලතා පොහොසත් කරන්න - ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඔබ ලබා ගන්නා දැනුම ඔබට ඉක්මනින් අවශ්‍ය වනු ඇත. එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, අපි ඔබේ දැනුම තවත් සමාන වැදගත් මාතෘකාවකට පුළුල් කරන්නෙමු - ලඝුගණක අසමානතා ...

ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග

ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.

ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: logax සහ logay. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙහි ප්රධාන කාරණය සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!

මෙම සූත්‍ර මඟින් ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log6 4 + log6 9.

ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log2 48 - log2 3.

පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log3 135 - log3 5.

නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ පරීක්ෂණ මෙම කරුණ මත පදනම් වේ. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්‍රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.

ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම

දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු. ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:

අවසාන රීතිය පළමු දෙක අනුගමනය කරන බව දැකීම පහසුය. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ල අර්ථවත් කරයි: a > 0, a ≠ 1, x > 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද සියලු සූත්‍ර යෙදීමට ඉගෙන ගන්න. , i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක.

ලඝුගණක විසඳන ආකාරය

බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log7 496.

පළමු සූත්‍රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

කාර්ය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 24; 49 = 72. අපට ඇත්තේ:

මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයට යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්‍යයි. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? අවසාන මොහොත දක්වා අපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි. අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.

දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. සංඛ්‍යාංකය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: log2 7. log2 7 ≠ 0 නිසා, අපට කොටස අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.

නව පදනමකට මාරුවීම

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?

නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්‍ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:

ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

විශේෂයෙන්, අපි c = x සකසන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:

දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.

මෙම සූත්‍ර සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳන විට පමණක් ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැකිය.

කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log5 16 log2 25.

ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:

සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log9 100 lg 3.

පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:

දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:

මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය

බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේ දී දී ඇති පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:

පළමු අවස්ථාවේ දී, n අංකය තර්කයේ ඝාතකය බවට පත්වේ. එය ලඝුගණක අගයක් වන නිසා n අංකය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.

දෙවන සූත්‍රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. ඒකට තමයි කියන්නේ: .

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම බලයට b අංකයෙන් a අංකය ලබා දෙන තරමට b අංකය එවැනි බලයකට ඔසවා තැබුවහොත් කුමක් සිදුවේද? ඒක හරි: ප්‍රතිඵලය එකම අංකය a. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.

නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්‍ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.

කාර්ය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

log25 64 = log5 8 - හුදෙක් ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)

ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය

අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.

1. logaa = 1 වේ. වරක් සහ සියල්ල මතක තබා ගන්න: එම පාදයේම a පාදයේ ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ.
2. loga 1 = 0 වේ. a පදනම ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! a0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයක් වන බැවිනි.

දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.