සබැඳි රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපය. රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

මෙම ලිපියෙන් ඔබ අනුකලිත ගණනය කිරීම් භාවිතයෙන් රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනු ඇත. ප්‍රථම වරට උසස් පාසලේදී එවැනි ගැටලුවක් සැකසීමට අපට මුණගැසෙන්නේ, අපි නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ අධ්‍යයනය සම්පූර්ණ කර ඇති අතර ප්‍රායෝගිකව ලබාගත් දැනුමේ ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය ආරම්භ කිරීමට කාලය පැමිණ ඇති විටය.

එබැවින්, අනුකලනය භාවිතයෙන් රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව සාර්ථකව විසඳීමට අවශ්ය වන්නේ කුමක්ද:

• දක්ෂ චිත්ර ඇඳීමේ හැකියාව;
• සුප්‍රසිද්ධ Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමේ හැකියාව;
• වඩා ලාභදායී විසඳුම් විකල්පයක් "දැකීමේ" හැකියාව - i.e. එක් අවස්ථාවක හෝ වෙනත් අවස්ථාවක ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කිරීම වඩාත් පහසු වන්නේ කෙසේදැයි තේරුම් ගන්න. x-අක්ෂය (OX) හෝ y-අක්ෂය (OY) දිගේ?
• හොඳයි, නිවැරදි ගණනය කිරීම් නොමැතිව අප සිටින්නේ කොතැනද?) වෙනත් ආකාරයේ අනුකලනය සහ නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක ගණනය කිරීම් විසඳන ආකාරය අවබෝධ කර ගැනීම මෙයට ඇතුළත් වේ.

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:

1. අපි චිත්රයක් ගොඩනඟමු. මෙය විශාල පරිමාණයෙන් පිරික්සුම් කඩදාසි කැබැල්ලක සිදු කිරීම සුදුසුය. අපි එක් එක් ප්‍රස්ථාරයට ඉහළින් පැන්සලකින් මෙම ශ්‍රිතයේ නම අත්සන් කරමු. ප්‍රස්ථාර අත්සන් කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ වැඩිදුර ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා පමණි. අපේක්ෂිත රූපයේ ප්‍රස්ථාරයක් ලැබීමෙන් පසු, බොහෝ අවස්ථාවන්හිදී ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් භාවිතා කරන්නේද යන්න වහාම පැහැදිලි වේ. මේ අනුව, අපි ගැටලුව චිත්රක ලෙස විසඳන්නෙමු. කෙසේ වෙතත්, සීමාවන්ගේ අගයන් භාගික හෝ අතාර්කික බව සිදු වේ. එමනිසා, ඔබට අතිරේක ගණනය කිරීම් කළ හැකිය, දෙවන පියවර වෙත යන්න.

2. ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් පැහැදිලිව දක්වා නොමැති නම්, අපි ප්‍රස්ථාර එකිනෙක ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය සොයාගෙන අපගේ චිත්‍රක විසඳුම විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම සමඟ සමපාත වේදැයි බලමු.

3. ඊළඟට, ඔබ චිත්රය විශ්ලේෂණය කළ යුතුය. ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාර සකසා ඇති ආකාරය අනුව, රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට විවිධ ප්‍රවේශයන් ඇත. අපි සලකා බලමු විවිධ උදාහරණඅනුකලනය භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේදී.

3.1 ගැටලුවේ වඩාත්ම සම්භාව්‍ය හා සරලම අනුවාදය වන්නේ ඔබට වක්‍ර trapezoid ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වූ විටය. වක්‍ර trapezoid යනු කුමක්ද? මෙය x-අක්ෂයෙන් (y = 0), සරල රේඛා x = a, x = b සහ a සිට b දක්වා පරතරයේ අඛණ්ඩ ඕනෑම වක්‍රයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයකි. එපමණක් නොව, මෙම අගය ඍණාත්මක නොවන අතර x-අක්ෂයට පහළින් පිහිටා නොමැත. මෙම අවස්ථාවේ දී, වක්‍ර රේඛීය ට්‍රැපෙසොයිඩ් ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව නිශ්චිත අනුකලනයකට සමාන වේ, එය නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:

උදාහරණ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

රූපය මායිම් කර ඇති රේඛා මොනවාද? අප සතුව පැරබෝලා y = x2 - 3x + 3 ඇත, එය OX අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එය ඍණාත්මක නොවේ, මන්ද මෙම පැරබෝලාවේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය ධනාත්මක අගයන් ඇත. ඊළඟට, සරල රේඛා x = 1 සහ x = 3 ලබා දී ඇති අතර, එය op-amp හි අක්ෂයට සමාන්තරව දිවෙන අතර වම් සහ දකුණෙහි රූපයේ මායිම් රේඛා වේ. හොඳයි, y = 0, එය x-අක්ෂය ද වන අතර, එය රූපය පහතින් සීමා කරයි. වම් පැත්තේ රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් රූපය සෙවනැලි වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට වහාම ගැටළුව විසඳීම ආරම්භ කළ හැකිය. අපට පෙර වක්‍ර trapezoid සඳහා සරල උදාහරණයක් වන අතර, පසුව අපි Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳන්නෙමු.

3.2 පෙර ඡේදයේ 3.1 හි, වක්‍රාකාර trapezoid x-අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති විට අපි නඩුව පරීක්ෂා කළෙමු. කාර්යය x-අක්ෂය යටතේ පවතිනවා හැර, ගැටලුවේ කොන්දේසි සමාන වන විට දැන් සලකා බලන්න. සම්මත Newton-Leibniz සූත්‍රයට අඩුවක් එකතු වේ. එවැනි ගැටළුවක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි අපි පහත සලකා බලමු.

උදාහරණ 2. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 රේඛාවලින් සීමා වූ රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කරන්න.

තුල මෙම උදාහරණයේඅපට පැරබෝලා y = x2 + 6x + 2 ඇත, එය OX අක්ෂය යටතේ ආරම්භ වේ, සරල රේඛා x = -4, x = -1, y = 0. මෙහිදී y = 0 මගින් අපේක්ෂිත අගය ඉහලින් සීමා කරයි. සරල රේඛා x = -4 සහ x = -1 යනු නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරනු ලබන මායිම් වේ. රූපයක ප්‍රදේශය සෙවීමේ ගැටලුව විසඳීමේ මූලධර්මය උදාහරණ අංක 1 සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම පාහේ සමපාත වේ. එකම වෙනස වන්නේ දී ඇති ශ්‍රිතය ධනාත්මක නොවන අතර පරතරය [-4; -1] . ධනාත්මක නොවන බව ඔබ අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, ලබා දී ඇති x හි ඇති රූපයට තනිකරම “සෘණ” ඛණ්ඩාංක ඇත, ගැටලුව විසඳීමේදී අප දැකීමට සහ මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ එයයි. අපි රූපයේ ප්‍රදේශය සොයන්නේ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා කර, ආරම්භයේ අඩු ලකුණක් සමඟ පමණි.

ලිපිය සම්පූර්ණ කර නැත.

නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද

අනුකලිත කලනයේ යෙදීම් සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු. මෙම පාඩමේදී අපි සාමාන්‍ය හා වඩාත් පොදු ගැටළුව විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු - නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් තල රූපයක ප්‍රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද. අන්තිමට තේරුම හොයනවා උසස් ගණිතය- ඔවුන් ඔහුව සොයා ගනීවා. ඔබ කවදාවත් දන්නේ නැහැ. අපි එය ජීවිතයට සමීප කළ යුතුයි රටේ ගෘහ ප්රදේශයප්රාථමික ශ්රිතයන් සහ නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් එහි ප්රදේශය සොයා ගන්න.

ද්රව්යය සාර්ථකව ප්රගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ කළ යුත්තේ:

1) අවිනිශ්චිත අනුකලනය අවම වශයෙන් අතරමැදි මට්ටමකින් තේරුම් ගන්න. මේ අනුව, dummies පළමුව නොවේ පාඩම පිළිබඳව හුරුපුරුදු විය යුතුය.

2) Newton-Leibniz සූත්‍රය යෙදීමට සහ නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමට හැකි වීම. Definite Integral පිටුවෙහි නිශ්චිත අනුකලනය සමඟ ඔබට උණුසුම් මිත්‍ර සබඳතා ඇති කර ගත හැක. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට අවිනිශ්චිත හා නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ එතරම් දැනුමක් අවශ්ය නොවේ. “නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතයෙන් ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම” කාර්යයට සෑම විටම චිත්‍රයක් තැනීම ඇතුළත් වේ, එබැවින් එය තවත් බොහෝ වේ මාතෘකා ප්රශ්නයචිත්ර ඇඳීමේ ඔබේ දැනුම හා කුසලතා වනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, මූලික ප්‍රාථමික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර පිළිබඳ ඔබේ මතකය නැවුම් කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වන අතර, අවම වශයෙන්, සරල රේඛාවක්, පැරබෝලා සහ හයිපර්බෝලා තැනීමට හැකි වේ. මෙය භාවිතා කළ හැකිය (බොහෝ දෙනෙකුට, එය අවශ්ය වේ). ක්රමවේදය ද්රව්යසහ ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනයන් පිළිබඳ ලිපි.

ඇත්ත වශයෙන්ම, පාසලේ සිටම නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්‍රදේශය සෙවීමේ කාර්යය සෑම කෙනෙකුටම හුරුපුරුදු වන අතර අපි වැඩි දුරක් නොයන්නෙමු. පාසල් විෂය මාලාව. මෙම ලිපිය කිසිසේත්ම නොතිබෙන්නට ඇත, නමුත් කාරණය නම්, ශිෂ්‍යයෙකු වෛරයට පාත්‍ර වූ පාසලකින් පීඩා විඳිමින් සහ උසස් ගණිතය පිළිබඳ පා course මාලාවක් උද්යෝගයෙන් ප්‍රගුණ කරන විට, 100 න් 99 කම ගැටලුව ඇති වේ.

මෙම වැඩමුළුවේ ද්‍රව්‍ය සරලව, විස්තරාත්මකව සහ අවම න්‍යායකින් ඉදිරිපත් කෙරේ.

වක්‍ර trapezoid එකකින් පටන් ගනිමු.

වක්‍ර trapezoid යනු මෙම අන්තරයේ ලකුණ වෙනස් නොවන කොටසක අක්ෂයක්, සරල රේඛා සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයකි. මෙම රූපය ස්ථානගත කිරීමට ඉඩ දෙන්න අඩු නොවේ x අක්ෂය:

එවිට curvilinear trapezoid ප්රදේශය සංඛ්යාත්මකව නිශ්චිත අනුකලනයට සමාන වේ. ඕනෑම නිශ්චිත අනුකලනයකට (පවතින) ඉතා හොඳ ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත. පාඩමෙහි නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ මම කීවේ නිශ්චිත අනුකලනයක් යනු සංඛ්‍යාවක් බවයි. දැන් තවත් එකක් ප්‍රකාශ කිරීමට කාලයයි ප්රයෝජනවත් කරුණක්. ජ්‍යාමිතියේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, නිශ්චිත අනුකලනය AREA වේ.

එනම්, යම් අනුකලනයක් (එය පවතී නම්) ජ්යාමිතිකව යම් රූපයක ප්රදේශයට අනුරූප වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න. අනුකලනය අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටා ඇති තලයේ වක්‍රයක් නිර්වචනය කරයි (කැමති අයට චිත්‍රයක් සෑදිය හැක), සහ නිශ්චිත අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මක වේ ප්රදේශයට සමාන වේඅනුරූප වක්ර trapezoid.

උදාහරණ 1

මෙය සාමාන්‍ය පැවරුම් ප්‍රකාශයකි. පළමුව සහ වැදගත්ම මොහොතවිසඳුම් - ඇඳීම. එපමණක් නොව, ඇඳීම නිවැරදිව ගොඩනගා ගත යුතුය.

චිත්රයක් ගොඩනඟන විට, මම පහත දැක්වෙන අනුපිළිවෙල නිර්දේශ කරමි: පළමුව, සියලු සරල රේඛා (ඇත්නම්) ඉදි කිරීම වඩා හොඳය - පැරබෝලා, හයිපර්බෝලා සහ අනෙකුත් කාර්යයන් වල ප්රස්තාර. ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ලක්ෂ්‍යයෙන් තැනීම වඩා ලාභදායී වේ; ලක්ෂ්‍යමය වශයෙන් ඉදිකිරීම් තාක්ෂණය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සහ ගුණ සමුද්දේශ ද්‍රව්‍යවලින් සොයාගත හැකිය. එහිදී ඔබට අපගේ පාඩම සඳහා ඉතා ප්‍රයෝජනවත් ද්‍රව්‍ය ද සොයාගත හැකිය - ඉක්මනින් පැරබෝලාවක් සාදා ගන්නේ කෙසේද.

මෙම ගැටළුව තුළ, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.
අපි චිත්‍රය අඳිමු (සමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව සලකන්න):

මම වක්‍රාකාර trapezoid එකක් බිහි නොකරමි, ප්‍රදේශය කුමක්ද යන්න මෙහි පැහැදිලිය අපි කතා කරන්නේ. විසඳුම මේ ආකාරයෙන් දිගටම පවතී:

කොටසෙහි, ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එබැවින්:

පිළිතුර:

නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී සහ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය යෙදීමේදී දුෂ්කරතා ඇති අය , Definite Integral දේශනය වෙත යොමු වන්න. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ.

කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි “ඇසෙන්” චිත්‍රයේ ඇති සෛල ගණන ගණනය කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ වනු ඇත, එය සත්‍ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර ලැබුනේ නම්, වර්ග ඒකක 20 ක් නම්, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇති බව පැහැදිලිය - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම ප්‍රශ්නගත රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක නම්, කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

උදාහරණ 2

රේඛා, , සහ අක්ෂ වලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

වක්ර trapezoid අක්ෂය යටතේ පිහිටා තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද?

උදාහරණය 3

රේඛා සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුම: අපි චිත්රයක් සාදන්න:

වක්‍ර trapezoid අක්ෂය යටතේ පිහිටා තිබේ නම් (හෝ අවම වශයෙන් උසස් නොවේලබා දී ඇති අක්ෂය), එවිට එහි ප්‍රදේශය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:
මේ අවස්ථාවේ දී:

අවධානය! කාර්යයන් වර්ග දෙක පටලවා නොගත යුතුය:

1) ජ්‍යාමිතික අර්ථයකින් තොරව සරලව නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එය සෘණාත්මක විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සාකච්ඡා කළ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ තලයෙහි පිහිටා ඇති අතර, එම නිසා, සරලම පාසල් ගැටළු වලින් අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුම: පළමුව ඔබ චිත්රයක් සෑදිය යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා සහ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු. මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු ක්රමය විශ්ලේෂණාත්මක ය. අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ අනුකලනයේ පහළ සීමාව වන්නේ, ඒකාබද්ධයේ ඉහළ සීමාව බවයි.
හැකි නම්, මෙම ක්රමය භාවිතා නොකිරීමට වඩා හොඳය.

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛා තැනීම වඩා ලාභදායී සහ වේගවත් වන අතර ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් "තමන් විසින්ම" පැහැදිලි වේ. විවිධ ප්‍රස්ථාර සඳහා ලක්ෂ්‍යමය ඉදිකිරීමේ තාක්‍ෂණය උපකාරක ප්‍රස්ථාර සහ ප්‍රාථමික ශ්‍රිතවල ගුණාංගවල විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ. කෙසේ වෙතත්, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම් හෝ සවිස්තරාත්මක ඉදිකිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය) සීමාවන් සෙවීමේ විශ්ලේෂණ ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කිරීමට සිදු වේ. තවද අපි එවැනි උදාහරණයක් සලකා බලමු.

අපි අපගේ කාර්යයට ආපසු යමු: පළමුව සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් තාර්කික වන අතර පසුව පමණක් පරාබෝලයක්. අපි ඇඳීම සකස් කරමු:

ලක්ෂ්‍යමය වශයෙන් ගොඩනඟන විට, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් බොහෝ විට “ස්වයංක්‍රීයව” සොයා ගන්නා බව මම නැවත කියමි.

දැන් වැඩ කරන සූත්‍රය: කොටසක යම් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් සමහරකට වඩා විශාල හෝ සමාන වේ නම් අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය, එවිට මෙම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සහ රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය , සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

මෙහිදී ඔබට තවදුරටත් රූපය පිහිටා ඇත්තේ කොතැනද යන්න ගැන සිතීමට අවශ්‍ය නැත - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, සහ දළ වශයෙන් කිවහොත්, කුමන ප්‍රස්ථාරය ඉහළද (වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහතින්ද යන්න වැදගත් වේ.

සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩයේ පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

සම්පුර්ණ කරන ලද විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:

අපේක්ෂිත රූපය ඉහළින් පරාවලයකින් සහ පහළ සරල රේඛාවකින් සීමා වේ.
අනුරූප සූත්‍රය අනුව කොටසෙහි:

පිළිතුර:

ඇත්ත වශයෙන්ම, පහළ අර්ධ තලයේ curvilinear trapezoid ප්රදේශය සඳහා වන පාසල් සූත්රය (සරල උදාහරණ අංක 3 බලන්න) සූත්රයේ විශේෂ අවස්ථාවකි. . අක්ෂය සමීකරණය මගින් නියම කර ඇති අතර, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පිහිටා ඇත උසස් නොවේඅක්ෂ, පසුව

දැන් ඔබේම විසඳුම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක්

උදාහරණ 5

උදාහරණය 6

රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න.

නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීමේදී, සමහර විට හාස්යජනක සිදුවීමක් සිදු වේ. චිත්‍රය නිවැරදිව සිදු කර ඇත, ගණනය කිරීම් නිවැරදි විය, නමුත් නොසැලකිලිමත්කම නිසා ... වැරදි රූපයේ ප්‍රදේශය හමු විය, ඔබේ නිහතමානී සේවකයාට කිහිප වතාවක්ම වැරදුණේ එලෙස ය. මෙන්න සැබෑ ජීවිතයේ නඩුවක්:

උදාහරණ 7

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, , , .

විසඳුම: පළමුව, අපි චිත්රයක් සාදන්න:

...ඔහ්, චිත්‍රය ජරාවක් වුනා, නමුත් හැම දෙයක්ම පැහැදිලිව පෙනෙනවා වගේ.

අපට සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය ප්‍රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත (තත්වය දෙස හොඳින් බලන්න - රූපය සීමිත වන්නේ කෙසේද!). නමුත් ප්‍රායෝගිකව, නොසැලකිලිමත්කම නිසා, සෙවනැලි ඇති රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය “දෝෂයක්” බොහෝ විට පැන නගී. කොළ!

මෙම උදාහරණය නිශ්චිත අනුකලන දෙකක් භාවිතා කරමින් රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම සඳහා ද ප්‍රයෝජනවත් වේ. ඇත්තටම:

1) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි සරල රේඛාවක ප්රස්ථාරයක් ඇත;

2) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි හයිපර්බෝලා ප්‍රස්ථාරයක් ඇත.

ප්‍රදේශ එකතු කළ හැකි (සහ කළ යුතු) බව ඉතා පැහැදිලිය, එබැවින්:

පිළිතුර:

අපි තවත් අර්ථවත් කාර්යයකට යමු.

උදාහරණ 8

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න,
අපි "පාසල්" ආකාරයෙන් සමීකරණ ඉදිරිපත් කර ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඇඳීමක් කරමු:

චිත්රයෙන් අපගේ ඉහළ සීමාව "හොඳ" බව පැහැදිලිය: .
නමුත් අඩු සීමාව කුමක්ද?! මෙය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පැහැදිලිය, නමුත් එය කුමක්ද? සමහර විට ? නමුත් චිත්‍රය පරිපූර්ණ නිරවද්‍යතාවයකින් සාදා ඇති බවට සහතිකයක් කොහිද, එය එසේ විය හැකිය ... නැත්නම් මුල. අපි ප්‍රස්ථාරය වැරදි ලෙස ගොඩනඟා ඇත්නම් කුමක් කළ යුතුද?

එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඔබට අමතර කාලයක් ගත කිරීමට සහ විශ්ලේෂණාත්මකව ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් පැහැදිලි කිරීමට සිදු වේ.

සරල රේඛාවක සහ පරාවලයක ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:


,

ඇත්තටම, .

වැඩිදුර විසඳුම සුළුපටු ය, ප්රධාන දෙය වන්නේ ආදේශන සහ සංඥා තුළ ව්යාකූල නොවීමයි; මෙහි ගණනය කිරීම් සරලම නොවේ.

කොටස මත , අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර:

හොඳයි, පාඩම අවසන් කිරීමට, අපි තවත් දුෂ්කර කාර්යයන් දෙකක් දෙස බලමු.

උදාහරණ 9

රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, ,

විසඳුම: අපි මෙම රූපය චිත්‍රයේ නිරූපණය කරමු.

අපොයි, මට කාලසටහන අත්සන් කිරීමට අමතක වූ අතර, සමාවන්න, මට පින්තූරය නැවත කිරීමට අවශ්‍ය නොවීය. චිත්‍ර අඳින දිනයක් නොවේ, කෙටියෙන් කිවහොත්, අද දිනයයි =)

ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඉදිකිරීම සඳහා ඔබ දැනගත යුතුය පෙනුම sinusoids (සහ සාමාන්‍යයෙන් සියලුම ප්‍රාථමික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර දැන ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ), මෙන්ම සමහර සයින් අගයන්, ඒවා ත්‍රිකෝණමිතික වගුවෙන් සොයාගත හැකිය. සමහර අවස්ථාවලදී (මෙම අවස්ථාවෙහිදී මෙන්), ක්රමානුරූප චිත්රයක් තැනීමට හැකි වන අතර, ප්රස්තාර සහ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් මූලික වශයෙන් නිවැරදිව ප්රදර්ශනය කළ යුතුය.

මෙහි ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සමඟ ගැටළු නොමැත; ඔවුන් කොන්දේසියෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරයි: "x" ශුන්ය සිට "pi" දක්වා වෙනස් වේ. අපි තවත් තීරණයක් ගනිමු:

කොටසෙහි, ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එබැවින්:

වෙබ් අඩවියකට ගණිතමය සූත්‍ර ඇතුළත් කරන්නේ කෙසේද?

ඔබට කවදා හෝ වෙබ් පිටුවකට ගණිතමය සූත්‍ර එකක් හෝ දෙකක් එකතු කිරීමට අවශ්‍ය නම්, මෙය කිරීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය ලිපියේ විස්තර කර ඇති පරිදි වේ: ගණිතමය සූත්‍ර පහසුවෙන් වෙබ් අඩවියට ඇතුළු කරනු ලබන්නේ Wolfram Alpha විසින් ස්වයංක්‍රීයව ජනනය කරන පින්තූර ආකාරයෙන්ය. . සරලත්වයට අමතරව, මෙය විශ්වීය ක්රමයවෙබ් අඩවියේ දෘශ්‍යතාව වැඩි දියුණු කිරීමට උපකාරී වනු ඇත සෙවුම් යන්ත්ර. එය දිගු කාලයක් තිස්සේ වැඩ කර ඇත (සහ, මම හිතන්නේ, සදහටම වැඩ කරනු ඇත), නමුත් දැනටමත් සදාචාරාත්මකව යල්පැන ඇත.

ඔබ ඔබේ වෙබ් අඩවියේ නිරන්තරයෙන් ගණිතමය සූත්‍ර භාවිතා කරන්නේ නම්, ඔබ විසින් ප්‍රදර්ශනය කරන විශේෂ JavaScript පුස්තකාලයක් වන MathJax භාවිතා කරන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි. ගණිතමය අංකනය MathML, LaTeX හෝ ASCIIMathML සලකුණු භාවිතා කරන වෙබ් බ්‍රව්සර් වල.

MathJax භාවිතා කිරීම ආරම්භ කිරීමට ක්‍රම දෙකක් තිබේ: (1) සරල කේතයක් භාවිතයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එකක් ඔබේ වෙබ් අඩවියට සම්බන්ධ කළ හැක, එය ස්වයංක්‍රීයව පූරණය වේ. දුරස්ථ සේවාදායකය(සේවාදායක ලැයිස්තුව); (2) MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ඔබගේ සේවාදායකයට බාගත කර එය ඔබගේ අඩවියේ සියලුම පිටු වෙත සම්බන්ධ කරන්න. දෙවන ක්‍රමය - වඩාත් සංකීර්ණ සහ කාලය ගතවන - ඔබගේ වෙබ් අඩවියේ පිටු පූරණය වීම වේගවත් කරනු ඇති අතර, යම් හේතුවක් නිසා මව් MathJax සේවාදායකය තාවකාලිකව ලබා ගත නොහැකි වුවහොත්, මෙය ඔබගේම වෙබ් අඩවියට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත. මෙම වාසි තිබියදීත්, මම පළමු ක්රමය තෝරා ගත්තේ එය සරල, වේගවත් හා තාක්ෂණික කුසලතා අවශ්ය නොවන බැවිනි. මගේ ආදර්ශය අනුගමනය කරන්න, මිනිත්තු 5 කින් ඔබට ඔබේ වෙබ් අඩවියේ MathJax හි සියලුම විශේෂාංග භාවිතා කිරීමට හැකි වනු ඇත.

ප්‍රධාන MathJax වෙබ් අඩවියෙන් හෝ ලේඛන පිටුවෙන් ලබාගත් කේත විකල්ප දෙකක් භාවිතයෙන් ඔබට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් MathJax පුස්තකාල ස්ක්‍රිප්ට් සම්බන්ධ කළ හැක:

මෙම කේත විකල්පයන්ගෙන් එකක් ඔබේ වෙබ් පිටුවේ කේතයට පිටපත් කර ඇලවීම අවශ්‍ය වේ, වඩාත් සුදුසු වන්නේ ටැග් අතර සහ හෝ ටැගයට පසුව වහාම. පළමු විකල්පයට අනුව, MathJax වේගයෙන් පූරණය වන අතර පිටුව අඩුවෙන් මන්දගාමී වේ. නමුත් දෙවන විකල්පය මගින් MathJax හි නවතම අනුවාද ස්වයංක්‍රීයව නිරීක්ෂණය කර පූරණය කරයි. ඔබ පළමු කේතය ඇතුල් කරන්නේ නම්, එය වරින් වර යාවත්කාලීන කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ දෙවන කේතය ඇතුළත් කළහොත්, පිටු වඩාත් සෙමින් පූරණය වනු ඇත, නමුත් ඔබට MathJax යාවත්කාලීනයන් නිරන්තරයෙන් නිරීක්ෂණය කිරීමට අවශ්‍ය නොවනු ඇත.

MathJax සම්බන්ධ කිරීමට පහසුම ක්‍රමය වන්නේ Blogger හෝ WordPress: අඩවි පාලන පැනලය තුළ, තුන්වන පාර්ශ්ව ජාවාස්ක්‍රිප්ට් කේතය ඇතුළු කිරීමට නිර්මාණය කර ඇති විජට් එකක් එක් කරන්න, ඉහත ඉදිරිපත් කර ඇති බාගැනීම් කේතයේ පළමු හෝ දෙවන අනුවාදය එයට පිටපත් කර විජට් එක සමීප කරන්න. අච්චුවේ ආරම්භයට (මාර්ගය වන විට, මෙය කිසිසේත්ම අවශ්‍ය නොවේ , MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක අසමමුහුර්තව පටවා ඇති බැවින්). එච්චරයි. දැන් MathML, LaTeX, සහ ASCIIMathML හි සලකුණු වාක්‍ය ඛණ්ඩය ඉගෙන ගන්න, ඔබ ඔබේ වෙබ් අඩවියේ වෙබ් පිටුවලට ගණිතමය සූත්‍ර ඇතුළු කිරීමට සූදානම්.

ඕනෑම ඛණ්ඩනය නිශ්චිත රීතියකට අනුව ගොඩනගා ඇති අතර එය අසීමිත වාර ගණනක් අඛණ්ඩව යොදනු ලැබේ. එවැනි සෑම වේලාවක්ම පුනරාවර්තනයක් ලෙස හැඳින්වේ.

මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් තැනීම සඳහා පුනරාවර්තන ඇල්ගොරිතම තරමක් සරල ය: 1 පැත්ත සහිත මුල් ඝනකයක් එහි මුහුණුවලට සමාන්තරව ගුවන් යානා මගින් සමාන ඝනක 27 කට බෙදා ඇත. එක් මධ්යම ඝනකයක් සහ මුහුණු දිගේ එයට යාබදව ඇති ඝනක 6 ක් එයින් ඉවත් කරනු ලැබේ. ප්රතිඵලය වන්නේ ඉතිරි කුඩා කැට 20 කින් සමන්විත කට්ටලයකි. මෙම එක් එක් ඝනකයක් සමඟම එසේ කිරීමෙන්, අපට කුඩා කැට 400 කින් සමන්විත කට්ටලයක් ලැබේ. මෙම ක්රියාවලිය නිමක් නැතිව දිගටම කරගෙන යාම, අපි මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් ලබා ගනිමු.

ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට අවිනිශ්චිත හා නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ එතරම් දැනුමක් අවශ්ය නොවේ. “නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතයෙන් ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම” යන කාර්යයට සෑම විටම චිත්‍රයක් තැනීම ඇතුළත් වේ, එබැවින් චිත්‍ර තැනීමේදී ඔබේ දැනුම සහ කුසලතා වඩාත් වැදගත් ප්‍රශ්නයක් වනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, මූලික මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර පිළිබඳ ඔබේ මතකය නැවුම් කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වන අතර, අවම වශයෙන් සරල රේඛාවක් සහ හයිපර්බෝලාවක් තැනීමට හැකි වේ.

වක්‍ර trapezoid යනු මෙම අන්තරයේ ලකුණ වෙනස් නොවන කොටසක අක්ෂයක්, සරල රේඛා සහ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයකි. මෙම රූපය ස්ථානගත කිරීමට ඉඩ දෙන්න අඩු නොවේ x අක්ෂය:

එවිට curvilinear trapezoid ප්රදේශය සංඛ්යාත්මකව නිශ්චිත අනුකලනයට සමාන වේ. ඕනෑම නිශ්චිත අනුකලනයකට (පවතින) ඉතා හොඳ ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත.

ජ්‍යාමිතික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, නිශ්චිත අනුකලනය AREA වේ.

එනම්, යම් අනුකලනයක් (එය පවතී නම්) ජ්යාමිතිකව යම් රූපයක ප්රදේශයට අනුරූප වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න. අනුකලනය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති තලයේ වක්‍රයක් නිර්වචනය කරයි (අවශ්‍ය අයට චිත්‍රයක් සෑදිය හැකිය), සහ නිශ්චිත අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මකව අනුරූප වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයට සමාන වේ.

උදාහරණ 1

මෙය සාමාන්‍ය පැවරුම් ප්‍රකාශයකි. තීරණයේ පළමු හා වැදගත්ම කරුණ වන්නේ ඇඳීමයි. එපමණක් නොව, ඇඳීම නිවැරදිව ගොඩනගා ගත යුතුය.

චිත්රයක් ගොඩනඟන විට, මම පහත දැක්වෙන අනුපිළිවෙල නිර්දේශ කරමි: පළමුව, සියලු සරල රේඛා (ඇත්නම්) ඉදි කිරීම වඩා හොඳය - පැරබෝලා, හයිපර්බෝලා සහ අනෙකුත් කාර්යයන් වල ප්රස්තාර. ලක්ෂ්‍යයෙන් ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර තැනීම වඩා ලාභදායී වේ.

මෙම ගැටළුව තුළ, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.
අපි චිත්‍රය අඳිමු (සමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව සලකන්න):

කොටසෙහි, ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එබැවින්:

පිළිතුර:

කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, “ඇසෙන්” අපි චිත්‍රයේ ඇති සෛල ගණන ගණන් කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ වනු ඇත, එය සත්‍ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර ලැබුනේ නම්, වර්ග ඒකක 20 ක් නම්, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇති බව පැහැදිලිය - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම ප්‍රශ්නගත රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක නම්, කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

උදාහරණය 3

රේඛා සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුම: අපි චිත්රයක් සාදන්න:

වක්‍ර trapezoid අක්ෂය යටතේ පිහිටා තිබේ නම් (හෝ අවම වශයෙන් උසස් නොවේලබා දී ඇති අක්ෂය), එවිට එහි ප්‍රදේශය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

මේ අවස්ථාවේ දී:

අවධානය! කාර්යයන් වර්ග දෙක පටලවා නොගත යුතුය:

1) ජ්‍යාමිතික අර්ථයකින් තොරව සරලව නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එය සෘණාත්මක විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සාකච්ඡා කළ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ තලයෙහි පිහිටා ඇති අතර, එම නිසා, සරලම පාසල් ගැටළු වලින් අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුම: පළමුව ඔබ චිත්රයක් සෑදිය යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා සහ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු. මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු ක්රමය විශ්ලේෂණාත්මක ය. අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ අනුකලනයේ පහළ සීමාව වන්නේ, ඒකාබද්ධයේ ඉහළ සීමාව බවයි.

හැකි නම්, මෙම ක්රමය භාවිතා නොකිරීමට වඩා හොඳය.

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛා තැනීම වඩා ලාභදායී සහ වේගවත් වන අතර, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් "තමන් විසින්ම" පැහැදිලි වේ. කෙසේ වෙතත්, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම් හෝ සවිස්තරාත්මක ඉදිකිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය) සීමාවන් සෙවීමේ විශ්ලේෂණ ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කිරීමට සිදු වේ. තවද අපි එවැනි උදාහරණයක් සලකා බලමු.

අපි අපගේ කාර්යයට ආපසු යමු: පළමුව සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් තාර්කික වන අතර පසුව පමණක් පරාබෝලයක්. අපි ඇඳීම සකස් කරමු:

දැන් ක්‍රියාකාරී සූත්‍රය: කොටසක කිසියම් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් යම් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකට වඩා වැඩි හෝ සමාන නම්, මෙම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සහ සරල රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

මෙහිදී ඔබට තවදුරටත් රූපය පිහිටා ඇත්තේ කොතැනද යන්න ගැන සිතීමට අවශ්‍ය නැත - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, සහ දළ වශයෙන් කිවහොත්, කුමන ප්‍රස්ථාරය ඉහළද (වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහතින්ද යන්න වැදගත් වේ.

සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩයේ පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

සම්පුර්ණ කරන ලද විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:

අපේක්ෂිත රූපය ඉහළින් පරාවලයකින් සහ පහළ සරල රේඛාවකින් සීමා වේ.
අනුරූප සූත්‍රය අනුව කොටසෙහි:

පිළිතුර:

උදාහරණය 4

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, , , .

විසඳුම: පළමුව, අපි චිත්රයක් සාදන්න:

අපට සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය ප්‍රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත (තත්වය දෙස හොඳින් බලන්න - රූපය සීමිත වන්නේ කෙසේද!). නමුත් ප්‍රායෝගිකව, නොසැලකිලිමත්කම හේතුවෙන්, කොළ පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇති රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය “ගැටළුවක්” බොහෝ විට සිදු වේ!

මෙම උදාහරණය නිශ්චිත අනුකලන දෙකක් භාවිතා කරමින් රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම සඳහා ද ප්‍රයෝජනවත් වේ.

ඇත්තටම :

1) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි සරල රේඛාවක ප්රස්ථාරයක් ඇත;

2) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි හයිපර්බෝලා ප්‍රස්ථාරයක් ඇත.

ප්‍රදේශ එකතු කළ හැකි (සහ කළ යුතු) බව ඉතා පැහැදිලිය, එබැවින්:

නිශ්චිත අනුකලනයක ජ්‍යාමිතික අර්ථය විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා කැප වූ පෙර කොටසේ, වක්‍ර රේඛීය ට්‍රැපෙසොයිඩ් ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා අපට සූත්‍ර ගණනාවක් ලැබුණි:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ සෘණ නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) පරතරය මත [ a ; බී ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ ධනාත්මක නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) පරතරය මත [ a ; බී ] .

සඳහා විසඳීමට මෙම සූත්‍ර අදාළ වේ සරල කාර්යයන්. යථාර්ථය නම්, අපට බොහෝ විට වඩාත් සංකීර්ණ රූප සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි මෙම කොටස පැහැදිලි ස්වරූපයෙන් ශ්‍රිත මගින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණයක් සඳහා කැප කරන්නෙමු, එනම්. y = f(x) හෝ x = g(y) වගේ.

ප්රමේයය

y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන ශ්‍රිතයන් [ a ; b ] , සහ f 1 (x) ≤ f 2 (x) ඕනෑම අගයක් සඳහා x [a ; බී ] . එවිට x = a, x = b, y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන රේඛා වලින් සීමා වූ G රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය S (G) = ∫ ලෙස පෙනෙනු ඇත. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

y = c, y = d, x = g 1 (y) සහ x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

සාක්ෂි

සූත්‍රය වලංගු වන අවස්ථා තුනක් බලමු.

පළමු අවස්ථාවේ දී, ප්‍රදේශයේ ආකලන ගුණය සැලකිල්ලට ගනිමින්, මුල් රූපයේ G සහ curvilinear trapezoid G 1 හි ප්‍රදේශ වල එකතුව G 2 රූපයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ. එහි තේරුම එයයි

එබැවින්, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

නිශ්චිත අනුකලනයේ තුන්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.

දෙවන අවස්ථාවෙහි, සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

ශ්‍රිත දෙකම ධනාත්මක නොවේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු සාමාන්ය නඩුව, y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) O x අක්ෂය ඡේදනය වන විට.

අපි ඡේදනය වන ලකුණු x i, i = 1, 2, ලෙස දක්වන්නෙමු. . . , n - 1 . මෙම ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩය [a; b ] n කොටස් වලට x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, මෙහි α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

එබැවින්,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

නිශ්චිත අනුකලනයේ පස්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.

අපි ප්‍රස්ථාරයේ සාමාන්‍ය නඩුව නිදර්ශනය කරමු.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x සූත්‍රය ඔප්පු කළ හැකි ය.

දැන් අපි y = f (x) සහ x = g (y) රේඛාවලින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කිරීමට ඉදිරියට යමු.

ප්‍රස්ථාරයක් තැනීමෙන් අපි ඕනෑම උදාහරණයක් සලකා බැලීම ආරම්භ කරමු. රූපය සරල හැඩතලවල සමිති ලෙස සංකීර්ණ හැඩතල නිරූපණය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි. ඒවා මත ප්‍රස්ථාර සහ සංඛ්‍යා තැනීම ඔබට දුෂ්කරතා ඇති කරන්නේ නම්, ඔබට මූලික කොටස අධ්‍යයනය කළ හැකිය මූලික කාර්යයන්, ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනය මෙන්ම ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමේදී ප්‍රස්ථාර තැනීම.

උදාහරණ 1

y = - x 2 + 6 x - 5 සහ සරල රේඛා y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා අඳිමු.

කොටසේ [1; 4 ] පැරබෝලා y = - x 2 + 6 x - 5 හි ප්‍රස්ථාරය y = - 1 3 x - 1 2 සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, පිළිතුර ලබා ගැනීම සඳහා අපි කලින් ලබාගත් සූත්‍රය මෙන්ම නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමු:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

පිළිතුර: S(G) = 13

අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපට ඇත්තේ x-අක්ෂයට සමාන්තරව පිහිටා ඇති එක් සරල රේඛාවක් පමණි. මෙය x = 7 වේ. මේ සඳහා අප විසින්ම ඒකාබද්ධ වීමේ දෙවන සීමාව සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

අපි ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනඟා එය මත ගැටලු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති රේඛා සැලසුම් කරමු.

අපගේ ඇස් ඉදිරිපිට ප්‍රස්ථාරය තිබීම, අනුකලනයේ පහළ සීමාව y = x සහ අර්ධ-පරාබෝල y = x + 2 යන සරල රේඛාවේ ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa බව අපට පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. abscissa සොයා ගැනීමට අපි සමානතා භාවිතා කරමු:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa x = 2 බව පෙනේ.

තුළ ඇති බව අපි ඔබේ අවධානයට යොමු කරමු සාමාන්ය උදාහරණයක්චිත්‍රයේ, රේඛා y = x + 2, y = x ලක්ෂ්‍යයේ (2; 2) ඡේදනය වේ, එබැවින් එවැනි සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීම් අනවශ්‍ය බව පෙනේ. අපි මේක මෙතනට ගෙනාවා සවිස්තරාත්මක විසඳුමතව තියෙන නිසා විතරයි දුෂ්කර අවස්ථාවිසඳුම එතරම් පැහැදිලි නොවිය හැකිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ රේඛා ඡේදනය වීමේ ඛණ්ඩාංක විශ්ලේෂණාත්මකව ගණනය කිරීම සැමවිටම වඩා හොඳ බවයි.

පරතරය මත [2; 7] y = x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = x + 2 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ඉහළින් පිහිටා ඇත. ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

පිළිතුර: S (G) = 59 6

උදාහරණය 3

y = 1 x සහ y = - x 2 + 4 x - 2 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

අපි ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා සැලසුම් කරමු.

ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් නිර්වචනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 1 x සහ - x 2 + 4 x - 2 යන ප්‍රකාශන සමාන කිරීමෙන් රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. x ශුන්‍ය නොවන බව සපයා ඇත්නම්, සමානාත්මතාවය 1 x = - x 2 + 4 x - 2 තුන්වන අංශක සමීකරණයට සමාන වේ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 පූර්ණ සංගුණක සමඟ. එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම පිළිබඳ ඔබේ මතකය අලුත් කිරීම සඳහා, අපට "ඝනක සමීකරණ විසඳීම" යන කොටස වෙත යොමු විය හැක.

මෙම සමීකරණයේ මූලය x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 වේ.

ප්‍රකාශනය - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ද්විපද x - 1 මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

අපට ඉතිරි මූලයන් x 2 - 3 x - 1 = 0 සමීකරණයෙන් සොයාගත හැකිය:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

අපි x ∈ 1 පරතරය සොයා ගත්තෙමු; 3 + 13 2, එහි G රූපය නිල් පැහැයට ඉහළින් සහ රතු රේඛාවට පහළින් අඩංගු වේ. රූපයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීමට මෙය අපට උපකාර කරයි:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

පිළිතුර: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

උදාහරණය 4

වක්‍ර y = x 3, y = - log 2 x + 1 සහ abscissa අක්ෂය මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

අපි ප්‍රස්ථාරයේ සියලුම රේඛා සැලසුම් කරමු. y = - log 2 x + 1 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = log 2 x ප්‍රස්ථාරයෙන් ලබා ගත හැක, අපි එය x-අක්ෂයේ සමමිතිකව ස්ථානගත කර එය එක ඒකකයක් ඉහළට ගෙන ගියහොත්. x අක්ෂයේ සමීකරණය y = 0 වේ.

අපි රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සලකුණු කරමු.

රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, y = x 3 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ලක්ෂ්‍යයේදී (0; 0) ඡේදනය වේ. මෙය සිදු වන්නේ x 3 = 0 සමීකරණයේ එකම සැබෑ මූලය x = 0 වන බැවිනි.

x = 2 සමීකරණයේ එකම මූලය - log 2 x + 1 = 0, එබැවින් y = - log 2 x + 1 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (2; 0) ඡේදනය වේ.

x = 1 යනු x 3 = - ලඝු 2 x + 1 සමීකරණයේ එකම මූලයයි. මේ සම්බන්ධයෙන්, y = x 3 සහ y = - log 2 x + 1 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (1; 1) ඡේදනය වේ. අවසාන ප්‍රකාශය පැහැදිලි නොවිය හැක, නමුත් x 3 = - log 2 x + 1 සමීකරණයට මූල එකකට වඩා තිබිය නොහැක, මන්ද y = x 3 ශ්‍රිතය දැඩි ලෙස වැඩි වන අතර ශ්‍රිතය y = - log 2 x + 1 වේ. දැඩි ලෙස අඩු කිරීම.

වැඩිදුර විසඳුම විකල්ප කිහිපයක් ඇතුළත් වේ.

විකල්ප 1

G රූපය x අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටන ලද curvilinear trapezoids දෙකක එකතුවක් ලෙස අපට සිතාගත හැක, ඉන් පළමුවැන්න x ∈ 0 කොටසේ මැද රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 1, සහ දෙවැන්න x ∈ 1 කොටසේ රතු රේඛාවට පහළින්; 2. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ප්‍රදේශය S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ට සමාන වන බවයි.

විකල්ප අංක 2

G රූපය රූප දෙකක වෙනස ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර, ඉන් පළමුවැන්න x-අක්ෂයට ඉහළින් සහ x ∈ 0 කොටසේ නිල් රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 2, සහ x ∈ 1 කොටසේ රතු සහ නිල් රේඛා අතර දෙවැන්න; 2. මෙය පහත පරිදි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

මෙම අවස්ථාවේදී, ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබට S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ආකාරයේ සූත්‍රයක් භාවිතා කිරීමට සිදුවේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපය බැඳ ඇති රේඛා y තර්කයේ කාර්යයන් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.

x සම්බන්ධයෙන් y = x 3 සහ - log 2 x + 1 සමීකරණ විසඳමු:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

අපට අවශ්‍ය ප්‍රදේශය ලැබේ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

පිළිතුර: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

උදාහරණ 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

රතු රේඛාවක් සමඟ අපි y = x ශ්රිතය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛාව සැලසුම් කරමු. අපි y = - 1 2 x + 4 රේඛාව නිල් පැහැයෙන් ද, y = 2 3 x - 3 රේඛාව කළු පැහැයෙන් ද අඳින්නෙමු.

ඡේදනය වන ස්ථාන සලකුණු කරමු.

y = x සහ y = - 1 2 x + 4 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 නොවේ x 2 = සමීකරණයට විසඳුම 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 සමීකරණයට විසඳුම ⇒ (4; 2) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය i y = x සහ y = - 1 2 x + 4

y = x සහ y = 2 3 x - 3 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 යනු සමීකරණයට විසඳුමයි = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 සමීකරණයට විසඳුමක් නැත

y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3 රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3

ක්රමය අංක 1

අපේක්ෂිත රූපයේ ප්‍රදේශය තනි රූපවල ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස සිතමු.

එවිට රූපයේ ප්රදේශය:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

ක්රමය අංක 2

මුල් රූපයේ ප්‍රදේශය වෙනත් රූප දෙකක එකතුවක් ලෙස දැක්විය හැක.

එවිට අපි x ට සාපේක්ෂව රේඛාවේ සමීකරණය විසඳා, පසුව පමණක් අපි රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය යොදන්නෙමු.

y = x ⇒ x = y 2 රතු රේඛාව y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 කළු රේඛාව y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

එබැවින් ප්රදේශය:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අගයන් සමාන වේ.

පිළිතුර: S (G) = 11 3

ප්රතිපල

ලබා දී ඇති රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි තලයක රේඛා තැනීම, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගැනීම සහ ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය යෙදිය යුතුය. මෙම කොටසේදී, අපි කාර්යයන්හි වඩාත් පොදු ප්රභේදයන් පරීක්ෂා කළෙමු.

ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න