Основные виды матриц. Матрицы

Матрица обозначается заглавными латинскими буквами (А , В , С,. ..).

Определение 1 . Прямоугольная таблица вида ,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей .

Элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Виды матриц:

элементов, стоящих на главной диагонали:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Определители 2, 3 и n-го порядка

Пусть даны две квадратные матрицы:

Определение 1 . Определителем второго порядка матрицы А 1 называется число, обозначаемое ∆ и равное , где

Пример . Вычислить определитель 2-го порядка:

Определение 2 . Определителем 3-го порядка квадратной матрицы А 2 называется число вида:

Это один из способов вычисления определителя.

Пример. Вычислить

Определение 3 . Если определитель состоит из n-строк и n-столбцов, то он называется определителем n-го порядка.

Свойства определителей:

Определитель не меняется при транспонировании (т.е. если в нем строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка следования).

Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два столбца, то определитель изменит только знак.

Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух строк равны или пропорциональны.

Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример.

Определение 4. Определитель, полученный из данного путем вычеркивания столбца и строки, называется минором соответствующего элемента. М ij элемента a ij .

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента а ij , называется выражение

§3. Действия над матрицами

Линейные операции

1)При сложении матриц складываются их одноименные элементы.

При вычитании матриц вычитаются их одноименные элементы.

При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число:

3.2.Умножение матриц.

Произведение матрицы А на матрицу В есть новая матрица , элементы которой равны сумме произведений элементовi-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В . Произведение матрицы А на матрицу В можно находить только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В противном случае, произведение невозможно.

Замечание:

(не подчиняется свойству коммутативности)

§ 4. Обратная матрица

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, причем матрица должна быть невырожденной.

Определение 1. Матрица А называется невырожденной , если определитель этой матрицы не равен нулю

Определение 2. А -1 называется обратной матрицей для данной невырожденной квадратной матрицы А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так слева получается единичная матрица.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1 способ (с помощью алгебраических дополнений)

Пример 1:

Опр . Прямоугольная таблица, состоящая из т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей размера т×п . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют круглыми или квадратными скобками.

Числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы и обозначаются малыми латинскими буквами с двойным индексом , гдеi – номер строки, j – номер столбца, на пресечении которых расположен элемент. В общем виде матрица записывается так:

Две матрицы считаются равными , если равны их соответствующие элементы.

Если число строк матрицы т равно числу ее столбцов п , то матрица называется квадратной (в противном случае – прямоугольной).

Матрица размера
называется матрицей-строкой. Матрица размера

называется матрицей-столбцом.

Элементы матрицы, имеющие равные индексы (
и т.д.), образуютглавную диагональ матрицы. Другая диагональ называется побочной.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и имеет стандартное обозначение Е:

Если все элементы матрицы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, говорят, что матрица имеет треугольный вид:

§2. Операции над матрицами

1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:

.

2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:

3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:

.

4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.

Следствие . Возведение матрицы в степень к >1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.

Пример .

Свойства операций над матрицами.

1. (А+В)+С=А+(В+С);

   к(А+В)=кА+кВ;

   А(В+С)=АВ+АС;

   (А+В)С=АС+ВС;

   к(АВ)=(кА)В=А(кВ);

   А(ВС)=(АВ)С;

2. (кА) Т =кА Т;

   (А+В) Т =А Т +В Т;

   (АВ) Т =В Т А Т;

Перечисленные выше свойства аналогичны свойствам операций над числами. Есть и специфические свойства матриц. К ним относится, например, отличительное свойство умножения матриц. Если произведение АВ существует, то произведение ВА

Может не существовать

Может отличаться от АВ.

Пример . Предприятие выпускает продукцию двух видов А и В и использует при этом сырье трех типов S 1 , S 2 , и S 3 . Нормы расхода сырья заданы матрицей N=
, гдеn ij – количество сырья j , расходуемого на производство единицы продукции i . План выпуска продукции задан матрицей С=(100 200), а стоимость единицы каждого вида сырья – матрицей . Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты сырья определим как произведение матриц С и N:

Общую стоимость сырья вычислим как произведение S и Р.

Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.

Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C,

Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и n - столбцов.

Равенство матриц:

Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.

Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.

Виды матриц:

Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.

Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов.

Матрица строка: матрица порядка 1*n (m=1) имеет вид a11,a12,a13 и называется матрицей строки.

Матрица столбец:………….

Диагональная: диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу, то есть состоящая из элементов а11,а22……-называется главной диагональю. (опред: квадратная матрица все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Единичная: диагональная матрица называется единичной, если все элементы расположены на главной диагонали и равны 1.

Верхняя треугольная: А=||aij|| называется верхней треугольной матрицей, если aij=0. При условии i>j.

Нижняя треугольная: aij=0. i

Нулевая: это матрица Эл-ты которой равны 0.

Операции над матрицами.

1.Транспонирование.

2.Умножение матрицы на число.

3.Сложение матриц.

4.Умножение матриц.

Основные св-ва действия над матрицами.

1.A+B=B+A (коммутативность)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативность)

3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивность)

4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)

6.AB≠BA (отсутствует комму.)

7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –выполняется, если опред. Произведений матриц выполняется.

8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.)

(B+C)A=BA+CA (дистриб.)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Определитель квадратной матрицы – определение и его свойства. Разложение определителя по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей.

Если матрица А имеет порядок m>1, то определитель этой матрицы – число.

Алгебраическим дополнением Aij эл-та aij матрицы А называется минор Mij, умноженный на число

ТЕОРЕМА1: Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменится при её транспонировании.

2. При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак, а абсолютная величина его не меняется.

3. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0.

4.При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

5. Если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из 0, то определитель этой матрицы равен 0.

6. Если все элементы i-ой строки (столбца) матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то её определитель можно представить в виде суммы определителей двух матриц.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответственно эл-ты другого столбца (строки) предварительно умнож. на одно и того же число.

8.Сумма произвольных элементов какого либо столбца (строки) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другого столбца (строки) равна 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Способы вычисления определителя:

1. По определению или теореме 1.

2. Приведение к треугольному виду.

Определение и свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения.

Определение: Квадратная матрица порядка n, называется обратной к матрице А того же порядка и обозначается

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от 0.

Свойства обратной матрицы:

1. Единственность: для данной матрицы А её обратная – единственная.

2. определитель матрицы

3. Операция взятия транспонирования и взятие матрицы обратной.

Матричные уравнения:

Пусть А и В две квадратные матрицы того же порядка.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Понятие линейной зависимости и независимости столбцов матрицы. Свойства линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов.

Столбцы А1,А2…Аn называются линейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.

Столбцы А1,А2…Аn называются линейно независимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты С(l) равны 0 и не тривиальной в противном случае.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2.для того чтобы столбцы были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь столбец являлся линейной комбинацией других столбцов.

Пусть 1 из столбцов https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">является линейной комбинацией других столбцов.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> линейно зависимы, то и все столбцы линейно зависимы.

4. Если система столбцов линейно независима, то любая её подсистема так же линейно независима.

(Всё что сказано относительно столбцов, справедливо и для строк).

Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А.

Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0.

Базисный минор.

Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора.

Метод окаймляющих миноров: - Выбираем не нулевой элемент матрицы А (Если такого элемента не существует, то ранг А =0)

Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1).

Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора.

Способы вычисления:

1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка..gif" width="40" height="22">r+1 Mr+1=0.

2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

Перестановка двух строк (столбцов).

Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0.

Прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число.

Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.

Теорема о базисном миноре:

Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя:

Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.

Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А.

Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения.

10 вопрос.

Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений.

A=a21 a22…..a2n

Метод базисного минора:

Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src=">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение.

Однородные системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

AX=0 – однородная система.

АХ =В – неоднородная система.

Однородные системы всегда совместны.

Х1 =х2 =..=хn =0

Теорема 1.

Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Теорема 2.

Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0)

Свойства решений однородных систем.

Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы.

α1C1 +α2C2 ; α1 и α2– некоторые числа.

А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(А C1) + α2(АC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (АC2) = 0

Для неоднородной системы это свойство не имеет места.

Фундаментальная система решений.

Теорема 3.

Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений.

Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0) <= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений.

Теорема 4.

Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы.

С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Если r

12 вопрос.

Общее решение неоднородной системы.

Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное)

АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0

(АСоо) +АСч = АСч = В, т. к. (АСоо) = 0

Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч

Метод Гаусса.

Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные.

Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого).

1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем:

Получаем систему равносильную исходной.

2)исключаем переменную х2

3) исключаем переменную х3 и т. д.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага.

Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn

Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю.

Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание.

Возможны два случая:

а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т. е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид).

б)r

Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса.

О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов.

13 вопрос.

Подобные матрицы.

Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/

Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS.

Свойства подобных матриц.

1)Матрица А подобна сама себе. (А~А)

Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А

2)Если А~В, то В~А

Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С

Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1

4)Определители подобных матриц равны.

Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB.

5)Ранги подобных матриц совпадают.

Собственные векторы и собственные значения матриц.

Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А.

Свойства собственных векторов.

1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением.

АХ= λ Х; Х≠0

α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ)

2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк.

Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг:

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А.

С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Умножаем на λn+1 и вычтем

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

Характеристическое уравнение.

А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А.

Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А - λЕ)Х = 0

Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А - XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение.

Утверждение!

Характеристические уравнения подобных матриц совпадают.

det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ)

Характеристический многочлен.

det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А.

Следствие:

1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают.

Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны.

Для матрицы А

Для матрицы В

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А.

Следствие.

Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема.

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений.

1)составляем характеристическое уравнение

2)находим корни уравнений

3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора.

λi (A-λi E)X = 0

4)находим фундаментальную систему решений

x1,x2..xn-r, где r - ранг характеристической матрицы.

r =Rg(A - λi E)

5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде:

X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, где С12 +С22 +… С2n ≠0

6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду.

7)находим Ag

Ag = S-1AS S=

15 вопрос.

Базис прямой, плоскости, пространства.

DIV_ADBLOCK371">

Модулем вектора называется его длина, то есть расстояние между А и В (││, ││). Модуль вектора равен нулю, тогда, когда этот вектор нулевой (│ō│=0)

4.Орт вектора.

Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице.

Равные вектора имеют равные орты.

5.Угол между двумя векторами.

Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами.

Сложение векторов. Умножение вектора на число.

1)Сложение двух векторов

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2)Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет:

а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра.

б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен.

λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Свойства линейных операций над векторами.

1.Закон коммунитативности.

2. Закон ассоциативности.

3. Сложение с нулем.

а(вектор)+ō= а(вектор)

4.Сложение с противоположным.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7.Закон дистрибутивности.

Выражение вектора через его модуль и орт.

Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом.

Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.

Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора.

Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов.

Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация.

Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов:

1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов.

3)если часть векторов из системы а1(вектор), а2(вектор)… ак(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы.

4)если все вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Линейные операции в координатах.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

Скалярное произведение 2-х векторов – это число равное произведению векторов на косинус угла между ними.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0.

4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

При выполнении условия () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям:

3. – правая

Свойства векторного произведения:

4. Векторное произведение координатных ортов

Ортонормированый базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Если - это ортонормированный базис, то

DIV_ADBLOCK375">

Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение 2-х прямых. Расстояние от точки до прямой линии. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

1. Часный случай расположения 2-х прямых на плоскости.

1)- уравнение прямой параллельной оси ОХ

2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ

2. Взамное расположение 2-х прямых.

Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых

А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид:

Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие:

B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие:

3. Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности.

Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Если , то прямые перпендикулярны.

24 вопрос.

Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

1. Условие комплонарности вектора и плоскости.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безымянный4.jpg" width="111" height="39">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безымянный5.jpg" width="88" height="57">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Если , то плоскости перпендикулярны.

25 вопрос.

Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторное уравнение прямой в пространстве.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Каноническое уравнение прямое.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безымянный3.jpg" width="56" height="51">

28 вопрос.

Эллипс. Вывод Канонического уравнения эллипса. Форма. Свойства

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных расстояний, называемых фокусами есть данное число 2a, большее чем расстояние 2c между фокусами.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=

на рис.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ур-е касательной к эллипсу

DIV_ADBLOCK378">

Каноническое уравнение гиперболы

Форма и св-ва

y=±b/a умножить на корень из (x2-a2)

Ось симметрии гиперболы - её оси

Отрезок 2a - действительная ось гиперболы

Эксентриситет e=2c/2a=c/a

Если b=a получается равнобокая гипербола

Ассимтотой - называется прямая, если при неограниченном удалении точки M1 по кривой расстояние от точки до прямой стремится к нулю.

lim d=0 при x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

касательная гиперболы

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

парабола - геометрическое место точек, равноудаленное от точки, названной фокусом и данной прямой, названной директриссой

Каноническое уравнение параболы

свойства

ось симметрии параболы проходит через её фокус и перпендиукулярна директрисе

если вращать параболу получится эллиптический параболоид

все параболы подобны

вопрос 30. Исследование уравнения общего вида кривой второго порядка.

Тип кривой опр. при старших членах A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->кривая параболического типа

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Если Е=0 => Ax2+2Dx+F=0

то x1=x2 - сливается в одну

x1≠x2 - прямые параллельны Оу

x1≠x2 и корни мнимые, не имеет геометричекого образа

С≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Вывод: кривая параболического типа это либо парабола, либо 2 параллельные прямые, или мнимые, или в одну сливаются.

2.AC>0 -> кривая эллиптического типа

Дополняя до полного квадрата исходное уравнение преобразуем к каноническому, тогда получим случаи

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - эллипс

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - мнимый эллипс

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка с координатой x0 y0

Вывод: кривая эл. типа ето либо эллипс, либо мнимый, либо точка

3. АС<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 гипербола, действительная ось параллельна Ох

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 гипербола, действительная ось параллельна Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ур-е двух прямых

Вывод: кривая гиперболического типа это либо гипербола, либо две прямые

Определение Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов

Элементами матрицы являются числа вида a ij , где i- номер строки j- номер столбца

Пример 1 i = 2 j = 3

Обозначение: А=

Виды матриц:

1. Если число строк не равно числу столбцов , то матрица называется прямоугольной:

2. Если число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной:

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком . В примере n = 2

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащая элементы a 11 , a 22 ……., a nn , называетсяглавной, а диагональ, содержащая элементы а 12 , а 2 n -1 , …….a n 1 – вспомогательная.

Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной :

Пример 4 n = 3

3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Пример 6 n = 3

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О

Пример 7

5. Треугольной матрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

Пример 8 n = 3

Действия над матрицами:

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka ij

Пример10

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матриц Что бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Пример 11

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

- произведение существует;

- произведение не существует

Примеры 12 последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует

Транспонирование матрицы называется операция замены элементов строки на элементы столбца:

Пример13

Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя.

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение