Содержание статьи
ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную принято обозначать так:
Широко употребляются и другие обозначения:
Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).
Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .
Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:
Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как
Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .
Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).
При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .
Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:
Следовательно, f ´(x ) = tga
т.е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .
Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.
Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.
Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что
f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b – a ).
Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что
Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т.е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).
Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1- го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.
Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :
d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .
Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1- го порядка:
d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).
Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения
Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.
Анна Чугайнова
Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке =2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.
Найдем производную функции у=х.
т.е. (x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной
функции f(x)
получают новую функцию f
" (x)
,
называют дифференцированием
и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x
приращение
x
и определяем соответствующее приращение
функции
y
= f(x+
x)
-f(x)
;
2)
составляем отношение
3)
считая x
постоянным, а
x
0,
находим
,
который обозначаем черезf
" (x)
,
как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того
значения x
,
при котором мы переходим к
пределу.
Определение
:
Производной
y " =f " (x)
данной
функции y=f(x)
при
данном x
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.
Таким
образом,
,
или
Заметим,
что если при некотором значении x
,
например при x=a
,
отношение
при
x
0
не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x)
при x=a
(или в точке x=a
)
не имеет производной или не дифференцируема
в точке x=a
.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0
f(x)
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве
tgβ
=∆y/∆x,
то получим
илиtg
=f
"(x 0),
так как
-угол
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох
,
по определению производной. Но tg
= k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg
= f
"(x 0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).
Итак, (t) =x"(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
(t) = x"(t) - скорость,
a(f) = "(t) - ускорение, или
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ"(t) - угловая скорость,
ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x , l - длина стержня,
р = m"(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.