Прямой поперечный изгиб основные понятия. Архив рубрики: Изгиб

Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Построение эпюр Q и М по уравнениям Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам) Расчёты на прочность при прямом изгибе балок Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок Понятие о центре изгиба Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жёсткости Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод непосредственного интегрирования Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования Физический смысл постоянных интегрирования Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки). Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров Определение перемещений по методу Мора. Правило А.К. Верещагина. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора Библиографический список Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб. 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю, тогда изгиб называется чистым. При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой части балки – наоборот. 5 Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный. Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q существуют дифференциальные зависимости. 1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки, т.е. . (1.1) 2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе, т. е. . (1.2) 3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности распределённой нагрузки, т. е. . (1.3) Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной. Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных выводов: 1. Если на участке балки: а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает; б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает; в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное значение (чистый изгиб); 6 г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус, max M M, в противоположном случае M Mmin. 2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон). 4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину силы), эпюра М - излом в сторону действия силы. 5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается. При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные – вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки. Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх, т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке. 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов). Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q и M. Пример 1.1 Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной балки (рис. 1.4,а). Решение: 1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия: из которых получаем Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка Рис. 1.4 нагружения: СА, AD, DB, BE. 2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1: Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки. Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 2-2: 8 Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 3-3: Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии. Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 4-4: 4 Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от сечения 4-4 направлена вниз. По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б). 3. Построение эпюры М. Участок м1. Определяем изгибающий момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 1-1. – уравнение прямой. Участок A 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2. – уравнение прямой. Участок DB 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3. – уравнение квадратной параболы. 9 Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где Участок BE 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4. – уравнение квадратной параболы находим три значения M4: По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в). На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит проверкой правильности построения эпюры Q. На участках, где Q  0, моменты возрастают слева направо. На участках, гдеQ  0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М. Пример 1.2 Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону (рис. 1.5, а). Решение Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов всех сил относительно точек А и В: Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется из подобия треугольников Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от сечения Поперечная сила в сечении равна Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль: Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном сечении равен Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы: Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где 0, т. е. при Эпюра М представлена на рис. 1.5, в. 1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям (точкам) Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы, вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям (без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание 12 эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и выводами, вытекающими из них. Пример 1.3 Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а. Рис. 1.6. Решение: Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ, ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется изгибающий момент. 1. Построение эпюры Q. Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков: По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии qa a q от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение. 2. Построение эпюры М. Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков: При мaаксимальный момент на участке По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в). Пример 1.4 По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком обозначена вершина квадратной параболы. Решение: Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола. В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий момент в сечении С равен нулю, т. е. Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и приравняем к нулю Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков: Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке. Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки с известными координатами: Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим: Выражение для изгибающего момента будет Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности распределённой нагрузки На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде линейной функции Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны Получим два уравнения: ,b из которых имеем a 20. Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет После двукратного дифференцирования М2 найдём По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок. Пример 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М. Решение Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С. Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const. Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки: Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения откуда Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются соответственно так: Из условия равенства моментов получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х: Реальное значение x2x 1,029 м. Определяем численные значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М. Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС, нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС. 1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 1.9). 18 Рис. 1.9 Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки определяются по формуле (1.4) где M – изгибающий момент в данном сечении; Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z; y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси z. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то Рис. 1.11 наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются по формуле,  – осевой момент сопротивления сечения при изгибе. Для прямоугольного сечения шириной b высотой h: (1.7) Для круглого сечения диаметра d: (1.8) Для кольцевого сечения   – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные 20 формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности записывается так: (1.10) где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала. Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем виде: (1.11) Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12), нужно записать два условия прочности – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; P – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие. Рис.1.12. 21 Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим моментом противоположного знака). Рис. 1.13 Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям. Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского (1.13) где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку и параллельной оси z; b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z. Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14) где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила; – допускаемое касательное напряжение для материала. Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид (1.15) А – площадь поперечного сечения балки. Для круглого сечения условие прочности представляется в виде (1.16) Для двутаврового сечения условие прочности записывается так: (1.17) где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси; d – толщина стенки двутавра. Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок. Пример 1.6 Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и касательным напряжениям, если МПа. Построить эпюры в опасном сечении балки. Рис. 1.14 Решение 23 1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую часть балки, получим Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г. 2. Геометрические характеристики поперечного сечения 3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по модулю): МПа. Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым. 4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует max Q (по модулю): Здесь – статический момент площади полусечения относительно нейтральной оси; b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси. 5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С: Рис. 1.15 Здесь Szomc 834,5 108 см3 – статический момент площади части сечения, расположенной выше линии, проходящей через точку K1; b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры  и  для сечения С балки показаны рис. 1.15. Пример 1.7 Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным сечениям (точкам). 2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади сечений. 3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения. Дано: Решение: 1. Определяем реакции опор балки Проверка: 2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях балки 25 Рис. 1.16 На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки: На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0: Максимальный момент на втором участке Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения из выражения определяемый требуемый диаметр d балки круглого сечения Площадь круглого сечения Для балки прямоугольного сечения Требуемая высота сечения Площадь прямоугольного сечения Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89 находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления 597см3, которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: A z 9840 см4. Проверка на допуск: (недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший двутавр № 30 (W 2 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%). Окончательно принимаем двутавр № 33. Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей площадью А двутавра: Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение. 3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении 27 двутавровой балки (рис. 1.17, а): Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на рис. 1.17, б. 5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений балки. а) прямоугольное сечение балки: б) круглое сечение балки: в) двутавровое сечение балки: Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А (справа) (в точке 2): Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис. 1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых напряжений Пример 1.8 Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если60МПа, размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а). Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при допускаемой нагрузке. Рис 1.18 1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы 2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в характерных сечениях балки: Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Изгибающие моменты в характерных сечениях балки Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19). Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник – 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 имеем Для прямоугольника: Статический момент площади сечения относительно оси z1 Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего сечения по формулам перехода к параллельным осям 4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а» (рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18): После подстановки числовых данных 5. При допускаемой нагрузке в опасном сечении нормальные напряжения в точках «а» и «b» будут равны: Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис. 1.19, б.

Прямой поперечный изгиб возникает в случае, когда все нагрузки приложены перпендикулярно оси стержня, лежат в одной плоскости и, кроме того, плоскость их действия совпадает с одной из главных центральных осей инерции сечения. Прямой поперечный изгиб относится к простому виду сопротивления и является плоским напряженным состоянием , т.е. два главных напряжения отличны от нуля. При таком виде деформации возникают внутренние усилия: поперечная сила и изгибающий момент. Частным случаем прямого поперечного изгиба является чистый изгиб , при таком сопротивлении имеются грузовые участки, в пределах которых поперечное усилие обращается в ноль, а изгибающий момент отличен от нуля. В поперечных сечениях стержней при прямом поперечном изгибе возникают нормальные и касательные напряжения. Напряжения являются функцией от внутреннего усилия, в данном случае нормальные – функцией от изгибающего момента, а касательные - от поперечной силы. При прямом поперечном изгибе вводятся несколько гипотез:

1) Поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и ортогональными к нейтральному слою после деформации (гипотеза плоских сечений или гипотеза Я. Бернулли). Эта гипотеза выполняется при чистом изгибе и нарушается при возникновении поперечной силы, касательных напряжений, и появлением угловой деформации.

2) Взаимное давление между продольными слоями отсутствует (гипотеза о ненадавливании волокон). Из этой гипотезы следует, что продольные волокна испытывают одноосное растяжение или сжатие, следовательно, при чистом изгибе справедлив закон Гука .

Стержень, испытывающий изгиб, называют балкой . При изгибе одна часть волокон растягивается, другая часть – сжимается. Слой волокон, находящийся между растянутыми и сжатыми волокнами, называют нейтральным слоем , он проходит через центр тяжести сечений. Линию пересечения его с поперечным сечением балки называют нейтральной осью . На основе введенных гипотез при чистом изгибе получена формула для определения нормальных напряжений, которая применяется и при прямом поперечном изгибе. Нормальное напряжение можно найти с помощью линейной зависимости (1), в которой отношение изгибающего момента к осевому моменту инерции (
) в конкретном сечении является величиной постоянной, а расстояние (y ) вдоль оси ординат от центра тяжести сечения до точки, в которой определяют напряжение, меняется от 0 до
.

. (1)

Для определения касательного напряжения при изгибе в 1856г. русским инженером – строителем мостов Д.И. Журавским была получена зависимость

. (2)

Касательное напряжение в конкретном сечении не зависит от отношения поперечной силы к осевому моменту инерции (
), т.к. эта величина в пределах одного сечения не меняется, а зависит от отношения статического момента площади отсеченной части к ширине сечения на уровне отсеченной части (
).

При прямом поперечном изгибе возникают перемещения: прогибы (v ) и углы поворотов (Θ ) . Для их определения используют уравнения метода начальных параметров (3), которые получены путем интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки (
).

Здесь v 0 , Θ 0 , М 0 , Q 0 – начальные параметры, x – расстояние от начала координат до сечения, в котором определяется перемещение, a – расстояние от начала координат до места приложения или начала действия нагрузки.

Расчет на прочность и жесткость производят с помощью условий прочности и жесткости. С помощью этих условий можно решать поверочные задачи (выполнять проверку выполнения условия), определять размер поперечного сечения или подбирать допустимое значение параметра нагрузки. Условий прочности различают несколько, некоторые из них приведены ниже. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

, (4)

здесь
– момент сопротивления сечения относительно оси z, R – расчетное сопротивление по нормальным напряжениям.

Условие прочности по касательным напряжениям выглядит как:

, (5)

здесь обозначения те же, что и в формуле Журавского, а R s – расчетное сопротивление срезу или расчетное сопротивление по касательным напряжениям.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности или гипотезе наибольших касательных напряжений можно записать в следующем виде:

. (6)

Условия жесткости можно записать для прогибов (v ) и углов поворота (Θ ) :

где значения перемещений в квадратных скобках являются допустимыми.

Пример выполнения индивидуального задания № 4 (срок 2-8 неделя)

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1). Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. 6.1

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной
. До деформации сечения, ограничивающие элемент
, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол
. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется
. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна
, отстоящего на расстоянииот нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги
) равна
. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину
, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что
, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки
получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором
. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента
в поперечном сечении (6.1)

.

Вспомним, что интеграл
представляет собой момент инерции сечения относительно оси

.

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя
) с действующим в сечении моментом. Произведение
носит название жесткости сечения при изгибе, Н·м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы
и изгибающего момента

Поскольку
,

;

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и- главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сеченияотносительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

- сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента
действует еще продольная сила
и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.

Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.

Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .

Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.

В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.

Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.

Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.

Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.

Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).

Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).

Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.

Относительное удлинение ε x волокна

Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .

Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :

μ – коэффициент Пуассона.

Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим

Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения

Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2 . Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ – две неизвестные в уравнении для σ x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M .

Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .

Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.

Мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого изгиба.

Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место только в том случае, когда собственный вес балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый

изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок, где Q = 0 и, следовательно, М= const; имеет место чистый изгиб.

Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал-ки, а момент постоянен.

Напряжения могут быть определены на основании следую-щих соображений.

1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло-щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло-скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече-нии является результатом действия по элементарным площадкам

лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и напряжения сводятся только к нормальным.

2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только к паре сил, среди них должны быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые, так и сжатые волокна балки.

3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы, то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы.

Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности (рис. 89, а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по-верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря-жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений, так как иначе элемент не находился бы и равновесии, Рассмат-ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,б), придем к

Такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон-тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас-сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя, начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за-ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле-мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное состояние любого элемента (рис. 91,а), а в пределе и волокна, должно быть представлено так, как это показано на рис. 91,б, т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым сжатием.

4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по середине длины балки после деформации должно остаться пло-ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине и сечения в четвертях длины балки тоже остаются плоскими и нормальными к оси балки (рис. 92,б), если только крайние се-чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для любого сечения остается

справедли-вым утверждение, что оно после де-формации остается плоским и нор-мальным к оси изогнутой балки. Но в таком случае очевидно, что изменение удлинений волокон балки по ее высоте должно происходить не только непре-рывно, но и монотонно. Если назвать слоем совокупность волокон, имеющих одинаковые удлинения, то из сказан-ного следует, что растянутые и сжатые волокна балки должны располагаться по разные стороны от слоя, в котором удлинения волокон равны нулю. Бу-дем называть волокна, удлинения ко-торых равны нулю, нейтральными; слой, состоящий из нейтральных воло-кон, - нейтральным слоем; линию пе-ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки - нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия, которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну-тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа-тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се-чения должны действовать нормальные растягивающие напря-жения, в точках сжатой зоны - сжимающие напряжения, а в точках нейтральной линии напряжения равны нулю.

Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се-чения:

1) в сечениях действуют только нормальные напряжения;

2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) - растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю;

3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во-локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что соседние волокна друг с другом не взаимодействуют;

4) если крайние сечения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки.

Напряженное состояние балки при чистом изгибе

Рас-смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю-ченный между сечениями m- m и n - n, которые отстоят одно от дру-гого на бесконечно малом расстоя-нии dx (рис. 93). Вследствие по-ложения (4) предыдущего пункта, сечения m- m и n - n, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, будут составлять угол dQ и пересекаться по прямой, проходящей через точ-ку С, которая является центром кривизны нейтрального волокна NN. Тогда заключенная между ними часть АВ волокна, находящегося на расстоянии z от нейтрального во-локна (положительное направление оси z принимаем в сторону выпук-лости балки при изгибе), превра-тится после деформации в дугу А"В".Отрезок нейтрального волокна О1О2, превратившись в дугу О1О2 не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:

до деформации

после деформации

где р - радиус кривизны нейтрального волокна.

Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно

и относительное удлинение

Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается осевому растяжению, то при упругой деформации

Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно-действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се-чения должна равняться нулю, то

откуда, подставляя значение из (5.8), найдем

Но последний интеграл есть статический момент относительно оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси-лий.

Вследствие равен-ства его нулю эта ось должна проходить через центр тяжести О сечения. Тамим образом,нейтраль-ная линия сечения балки есть прямая уу, перпен-дикулярная к плоскости действия изгибающих усилий. Ее называют ней-тральной осью сечения балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа-щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы.

Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия действуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси-лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е.

Подставляя сюда значение σ из (5.8), находим

Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве-стно, является центробежным моментом инерции сеченияотноси-тельно осей у и z, так что

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести сечения, то их можно назвать главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль-ная ось сечения являются главными центральными осями инер-ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи-стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в плоскости, которая проходит через одну из главных центральных осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь-ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения.

Как известно, в случае сечения, симметричного относительно какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент-ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие анагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки я ось симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является при этом нейтральной осью этого сечения.

Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве-личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт-ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то

откуда, подставляя значение σ из (5.8), найдем

Так как интеграл является. моментом инерции сечения относительно оси уу, то

и из выражения (5.8) получим

Произведение ЕI У называют жесткостью балки при изгибе.

Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения, для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях, рис. 95 имеем

Величину Jy/h1 называют моментом сопротивления сечения рас-тяжению и обозначают Wyр; аналогично, Jy/h2называют моментом сопротивления сечения сжатию

и обозначают Wyc,так что

и поэтому

Если нейтральная ось является, осью симметрии сечения, то h1 = h2 = h/2 и, следовательно, Wyp = Wyc, так что их различать нет надобности, и пользуются одним обозначением:

называя W y просто моментом сопротивления сечения.Следова-тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль-ной оси,

Все приведенные выше выводы получены на основании допу-щения, что поперечные сечения балки, при изгибе остаются пло-скими и нормальными к ее оси (гипотеза плоских сечений). Как было показано, это допущение справедливо только в том случае, когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле-дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре-деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по-лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из-гибающие моменты на концах балки были приложены в виде элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей-ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения напряжений по высоте сечения балки. Однако на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной части длины балки, останутся плоскими. Следовательно, изложенная теория плоского чистого изгиба при любом способе приложения изгибающих моментов справедлива только в пределах средней части длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при-близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео-рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит половину длины или пролета балки.