Различные уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости: как составить? Виды уравнений плоскости

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости .

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой .

Вектор a называется направляющим вектором прямой .

Параметрические получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y , приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий n = [n 1 , n 2 ], где n 1 (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1 , y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Пример 1.15 . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА (1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y- z-7=0 угол 60 о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

.

Решая квадратное уравнение 3m 2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m 1 = 1/3, m 2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x 1 , y 1 , z 1), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n 1 (5,1,1) и n 2 (2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Пример 1.18 . В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u ¹ 0 (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u +2v) × 3 = 0, или v = - 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение уравнения плоскости

Определение 1

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Теорема 1

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А, В, С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Пример 1

Общим уравнениям плоскости x - 2 · y + 3 · z - 7 = 0 и - 2 · x + 4 · y - 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А, B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Пример 2

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y - 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x - y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А, В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = (A , B , C) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ - это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = (cos α , cos β , cos γ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = (cos α , cos β , cos γ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Пример 3

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида - 1 4 · x - 3 4 · y + 6 4 · z - 7 = 0 . D = - 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = - 1 4 , - 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Плоскость отсекает на координатных осях O х, O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а, b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Пример 4

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.

В разделе плоскость в пространстве мы рассмотрели плоскость с позиций геометрии. В этой статье мы взглянем на плоскость с позиций алгебры, то есть, перейдем к описанию плоскости с помощью уравнения плоскости.

Сначала разберемся с вопросом: «Что такое уравнение плоскости»? После этого рассмотрим основные виды уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного плостранства.

Навигация по странице.

• Уравнение плоскости – определение.
• Общее уравнение плоскости.
• Уравнение плоскости в отрезках.
• Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение плоскости – определение.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.

Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x , y и z , которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Осталось выяснить, какой вид имеет уравнение плоскости. Ответ на этот вопрос содержится в следующем пункте этой статьи. Забегая вперед, отметим, что уравнение плоскости может быть записано по-разному. Существование различных видов уравнения плоскости обусловлено спецификой решаемых задач.

К началу страницы

Общее уравнение плоскости.

Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде .

Следует заметить, что уравнение вида , где - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства и эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнению соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.

Если все коэффициенты А , В , С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называется полным . В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным .

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz , уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy , а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A , B и C в общем уравнении плоскости представляют собойкоординаты нормального вектора плоскости.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

К началу страницы

12.1. Основные понятия

Поверхность и ее уравнение

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О 1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O 1 на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками простран­ства и тройками чисел х, у и z - их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего ко­ординаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменны­ми х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1) на данной поверхности, достаточно подстави ть координаты точки M 1 в уравнение поверхности вместо пере­менных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не лежит.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0) равно радиусу R, т. е. O 1 M= R. Но , где . Следовательно,

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты лю­бой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы Ο 1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .

Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y; z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Так, уравнению не удовлетворяют никакие дей­ствительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х - любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и ана­литически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.

2. Дано уравнение F(x;y;z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, об­щих двум поверхностям.

Если и - уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

(12.1)

Сравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси Ох.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением

или параметрическими уравнениями

проекций вектора (12.2) на оси координат.

Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

Если точка Μ равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка Μ описывает винтовую линию (см. рис. 68).

12.2. Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.

(12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если D = 0, то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.

2. Если С = 0, то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 - параллельна оси Оу, А = 0 - параллельна оси Ох.

3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через параллельно оси Οz, т. е. плоскость проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид , т. е. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.

5. Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 - уравнение плоскости Οxz; x = О - уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1), М 2 (x 2 ;y 2 ;z 2) и М 3 (х 3 ,y 3 ,z 3), не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы , , . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т. е.

(12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a , b и c , т. е. проходит через три точки A(a;0;0) , B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем , т. е. или

(12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на

плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Пусть ОК = p , а α, β, g - углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: , т. е. или

(12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e , уравнение (12.8) перепишем в виде

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на норми­рующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.