Función lineal. Proporcionalidad directa

I. Cantidades directamente proporcionales.

deja que el valor y depende del tamaño X. Si al aumentar X varias veces el tamaño en aumenta en la misma cantidad, entonces tales valores X Y en se llaman directamente proporcionales.

Ejemplos.

1 . La cantidad de bienes adquiridos y el precio de compra (con un precio fijo por unidad de bienes: 1 pieza o 1 kg, etc.) Cuantas veces más bienes se compraron, más veces más pagaron.

2 . La distancia recorrida y el tiempo empleado en ella (a velocidad constante). ¿Cuántas veces más largo es el camino, cuántas veces más tiempo llevará completarlo?

3 . El volumen de un cuerpo y su masa. ( Si una sandía es 2 veces más grande que otra, entonces su masa será 2 veces mayor.)

II. Propiedad de proporcionalidad directa de cantidades.

Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de dos valores correspondientes de la segunda cantidad.

Tarea 1. Para mermelada de frambuesa han tomado 12 kilogramos frambuesas y 8 kilogramos Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras? 9 kilos frambuesas?

Solución.

Razonamos así: que sea necesario. x kilos azúcar para 9 kilos frambuesas La masa de frambuesas y la masa de azúcar son cantidades directamente proporcionales: cuantas veces menos frambuesas hay, tantas veces menos azúcar se necesita. Por lo tanto, la proporción de frambuesas tomadas (en peso) ( 12:9 ) será igual a la proporción de azúcar tomada ( 8:x). Obtenemos la proporción:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Respuesta: en 9 kilos es necesario tomar frambuesas 6 kilogramos Sáhara.

La solución del problema Se podría hacer así:

Dejar en 9 kilos es necesario tomar frambuesas x kilos Sáhara.

(Las flechas en la figura están dirigidas en una dirección y no importa hacia arriba o hacia abajo. Significado: ¿cuántas veces el número 12 mas numero 9 , el mismo número de veces 8 mas numero X, es decir, aquí hay una relación directa).

Respuesta: en 9 kilos necesito tomar algunas frambuesas 6 kilogramos Sáhara.

Tarea 2. Coche para 3 horas viajó la distancia 264 kilometros. ¿Cuánto tiempo le llevará viajar? 440 kilometros, si conduce a la misma velocidad?

Solución.

dejar por x horas el coche cubrirá la distancia 440 kilometros.

Respuesta: el auto pasará 440 kilómetros en 5 horas.

El concepto de proporcionalidad directa.

Imagina que estás planeando comprar tus dulces favoritos (o cualquier cosa que realmente te guste). Los dulces de la tienda tienen su propio precio. Digamos 300 rublos por kilogramo. Cuantos más caramelos compres, más dinero pagarás. Es decir, si quieres 2 kilogramos, paga 600 rublos, y si quieres 3 kilogramos, paga 900 rublos. Esto parece estar todo claro, ¿verdad?

En caso afirmativo, ahora tiene claro qué es la proporcionalidad directa: este es un concepto que describe la relación de dos cantidades que dependen entre sí. Y la proporción de estas cantidades permanece inalterada y constante: en cuántas partes una de ellas aumenta o disminuye, en el mismo número de partes la segunda aumenta o disminuye proporcionalmente.

La proporcionalidad directa se puede describir con la siguiente fórmula: f(x) = a*x, y a en esta fórmula es un valor constante (a = const). En nuestro ejemplo de dulces, el precio es un valor constante, una constante. No aumenta ni disminuye, no importa cuántos dulces decidas comprar. La variable independiente (argumento)x es cuántos kilogramos de dulces vas a comprar. Y la variable dependiente f(x) (función) es cuánto dinero terminas pagando por tu compra. Entonces podemos sustituir los números en la fórmula y obtener: 600 rublos. = 300 frotar. * 2 kilogramos.

La conclusión intermedia es esta: si el argumento aumenta, la función también aumenta, si el argumento disminuye, la función también disminuye

Función y sus propiedades.

Función proporcional directa es caso especial función lineal. Si la función lineal es y = k*x + b, entonces para la proporcionalidad directa se ve así: y = k*x, donde k se llama coeficiente de proporcionalidad y siempre es un número distinto de cero. Es fácil calcular k: se obtiene como el cociente de una función y un argumento: k = y/x.

Para que quede más claro, tomemos otro ejemplo. Imaginemos que un coche se desplaza del punto A al punto B. Su velocidad es de 60 km/h. Si asumimos que la velocidad del movimiento permanece constante, entonces podemos tomarla como constante. Y luego escribimos las condiciones en la forma: S = 60*t, y esta fórmula es similar a la función de proporcionalidad directa y = k *x. Trazamos un paralelo más: si k = y/x, entonces la velocidad del coche se puede calcular conociendo la distancia entre A y B y el tiempo transcurrido en la carretera: V = S /t.

Y ahora, desde la aplicación aplicada del conocimiento sobre proporcionalidad directa, volvamos a su función. Cuyas propiedades incluyen:

su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales (así como sus subconjuntos);

la función es impar;

el cambio en las variables es directamente proporcional a lo largo de toda la recta numérica.

Proporcionalidad directa y su gráfica.

La gráfica de una función de proporcionalidad directa es una línea recta que corta al origen. Para construirlo basta con marcar sólo un punto más. Y conéctelo y el origen de coordenadas con una línea recta.

En el caso de una gráfica, k es pendiente. si la pendiente menos que cero(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), la gráfica y el eje x forman un ángulo agudo y la función es creciente.

Y una propiedad más de la gráfica de la función de proporcionalidad directa está directamente relacionada con la pendiente k. Supongamos que tenemos dos funciones no idénticas y, en consecuencia, dos gráficas. Entonces, si los coeficientes k de estas funciones son iguales, sus gráficas se ubican paralelas al eje de coordenadas. Y si los coeficientes k no son iguales entre sí, las gráficas se cruzan.

Problemas de muestra

Ahora resolvamos un par problemas de proporcionalidad directa

Comencemos con algo simple.

Problema 1: Imagina que 5 gallinas ponen 5 huevos en 5 días. Y si hay 20 gallinas ¿cuantos huevos pondran en 20 dias?

Solución: Denotemos la incógnita por kx. Y razonaremos de la siguiente manera: ¿cuántas veces más pollos se han vuelto? Divide 20 entre 5 y descubre que es 4 veces. ¿Cuántas veces más huevos pondrán 20 gallinas en los mismos 5 días? También 4 veces más. Entonces, encontramos el nuestro así: 5*4*4 = 20 gallinas pondrán 80 huevos en 20 días.

Ahora el ejemplo es un poco más complicado, parafraseemos el problema de la “Aritmética General” de Newton. Problema 2: Un escritor puede redactar 14 páginas de un libro nuevo en 8 días. Si tuviera asistentes, ¿cuántas personas se necesitarían para escribir 420 páginas en 12 días?

Solución: Razonamos que el número de personas (escritor + asistentes) aumenta con el volumen de trabajo si tuviera que realizarse en la misma cantidad de tiempo. ¿Pero cuantas veces? Dividiendo 420 entre 14, encontramos que aumenta 30 veces. Pero como, según las condiciones de la tarea, se dedica más tiempo al trabajo, el número de asistentes no aumenta 30 veces, sino de esta manera: x = 1 (escritor) * 30 (veces): 12/8 ( días). Transformemos y descubramos que x = 20 personas escribirán 420 páginas en 12 días.

Resolvamos otro problema similar a los de nuestros ejemplos.

Problema 3: Dos coches emprenden el mismo viaje. Uno se movía a una velocidad de 70 km/h y recorrió la misma distancia en 2 horas que el otro tardó 7 horas. Calcula la velocidad del segundo auto.

Solución: Como recordarás, el camino se determina mediante la velocidad y el tiempo: S = V *t. Como ambos autos recorrieron la misma distancia, podemos igualar las dos expresiones: 70*2 = V*7. ¿Cómo encontramos que la velocidad del segundo auto es V = 70*2/7 = 20 km/h?

Y un par de ejemplos más de tareas con funciones de proporcionalidad directa. A veces los problemas requieren encontrar el coeficiente k.

Tarea 4: Dadas las funciones y = - x/16 e y = 5x/2, determina sus coeficientes de proporcionalidad.

Solución: Como recordarás, k = y/x. Esto significa que para la primera función el coeficiente es igual a -1/16 y para la segunda k = 5/2.

También puedes encontrarte con una tarea como la Tarea 5: escribir la proporcionalidad directa con una fórmula. Su gráfica y la gráfica de la función y = -5x + 3 están ubicadas en paralelo.

Solución: La función que nos da la condición es lineal. Sabemos que la proporcionalidad directa es un caso especial de función lineal. Y también sabemos que si los coeficientes de k funciones son iguales, sus gráficas son paralelas. Esto significa que todo lo que se necesita es calcular el coeficiente de una función conocida y establecer la proporcionalidad directa utilizando la fórmula que conocemos: y = k *x. Coeficiente k = -5, proporcionalidad directa: y = -5*x.

Conclusión

Ahora has aprendido (o recordado, si ya has cubierto este tema antes) lo que se llama proporcionalidad directa, y lo miré ejemplos. También hablamos sobre la función de proporcionalidad directa y su gráfica, y resolvimos varios problemas de ejemplo.

Si este artículo fue útil y te ayudó a comprender el tema, cuéntanoslo en los comentarios. Para que sepamos si podemos beneficiarte.

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Hoy veremos qué cantidades se llaman inversamente proporcionales, cómo se ve una gráfica de proporcionalidad inversa y cómo todo esto puede resultarle útil no solo en las lecciones de matemáticas, sino también fuera de la escuela.

Proporciones tan diferentes

Proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. En consecuencia, las relaciones entre cantidades se describen por proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa– se trata de una relación entre dos cantidades en la que un aumento o disminución de una de ellas conduce a un aumento o disminución de la otra. Aquellos. su actitud no cambia.

Por ejemplo, cuanto más te esfuerces en estudiar para los exámenes, mejores serán tus calificaciones. O cuantas más cosas lleves contigo de excursión, más pesada será tu mochila. Aquellos. La cantidad de esfuerzo dedicado a la preparación de los exámenes es directamente proporcional a las calificaciones obtenidas. Y la cantidad de cosas que caben en una mochila es directamente proporcional a su peso.

Proporcionalidad inversa – esta es una dependencia funcional en la que una disminución o un aumento varias veces en un valor independiente (se llama argumento) provoca un aumento o disminución proporcional (es decir, el mismo número de veces) en un valor dependiente (se llama función).

Ilustremos con un ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están en proporción inversa. Aquellos. cuantas más manzanas compras, más menos dinero te sobrará algo.

Función y su gráfica.

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. En el cual X≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

1. Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. El rango son todos los números reales excepto y= 0. mi(y): (-∞; 0) Ud. (0; +∞) .
3. No tiene valores máximos ni mínimos.
4. Es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
5. No PERIODICO.
6. Su gráfica no corta los ejes de coordenadas.
7. No tiene ceros.
8. Si k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función disminuye proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. A medida que el argumento aumenta ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento disminuye ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Se muestra de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Para que quede más claro, veamos varias tareas. No son demasiado complicados y resolverlos te ayudará a visualizar qué es la proporcionalidad inversa y cómo este conocimiento puede ser útil en tu vida diaria.

Tarea número 1. Un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h. Le tomó 6 horas llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de velocidad?

Podemos empezar escribiendo una fórmula que describa la relación entre tiempo, distancia y velocidad: t = S/V. De acuerdo, nos recuerda mucho a la función de proporcionalidad inversa. E indica que el tiempo que pasa un coche en la carretera y la velocidad a la que se desplaza son inversamente proporcionales.

Para comprobarlo, encontremos V 2, que según la condición es 2 veces mayor: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Luego calculamos la distancia usando la fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ahora no es difícil averiguar el tiempo t 2 que se nos exige según las condiciones del problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: a una velocidad 2 veces mayor que la velocidad original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. Así que primero creemos este diagrama:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Las flechas indican una relación inversamente proporcional. También sugieren que al trazar una proporción se debe voltear el lado derecho del registro: 60/120 = x/6. ¿De dónde obtenemos x = 60 * 6/120 = 3 horas?

Tarea número 2. El taller emplea a 6 trabajadores que pueden completar una determinada cantidad de trabajo en 4 horas. Si el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿cuánto tiempo les tomará a los trabajadores restantes completar la misma cantidad de trabajo?

Escribamos las condiciones del problema en la forma diagrama visual:

↓ 6 trabajadores – 4 horas

↓ 3 trabajadores – x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x = 6 * 4/3 = 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, los restantes dedicarán 2 veces más tiempo a hacer todo el trabajo.

Tarea número 3. Hay dos tuberías que conducen a la piscina. Por una tubería fluye agua a una velocidad de 2 l/s y llena la piscina en 45 minutos. A través de otra tubería, la piscina se llenará en 75 minutos. ¿A qué velocidad entra el agua a la piscina por este tubo?

Para empezar, reduzcamos todas las cantidades que se nos dan según las condiciones del problema a las mismas unidades de medida. Para ello expresamos la velocidad de llenado de la piscina en litros por minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Dado que la condición implica que la piscina se llena más lentamente a través de la segunda tubería, esto significa que la tasa de flujo de agua es menor. La proporcionalidad es inversa. Expresemos la velocidad desconocida a través de x y tracemos el siguiente diagrama:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego hacemos la proporción: 120/x = 75/45, de donde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

En el problema, la velocidad de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo; reduzcamos la respuesta que recibimos a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarea número 4. Una pequeña imprenta privada imprime tarjetas de visita. Un empleado de una imprenta trabaja a una velocidad de 42 tarjetas de visita por hora y trabaja un día completo: 8 horas. Si trabajara más rápido e imprimiera 48 tarjetas de presentación en una hora, ¿cuánto antes podría regresar a casa?

Seguimos el camino probado y elaboramos un diagrama según las condiciones del problema, designando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/hora – 8 horas

↓ 48 tarjetas de visita/h – x h

Tenemos una relación inversamente proporcional: la cantidad de veces más tarjetas de presentación que imprime un empleado de una imprenta por hora, la misma cantidad de veces menos tiempo que necesitará para completar el mismo trabajo. Sabiendo esto, creemos una proporción:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 horas.

Así, habiendo completado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

Nos parece que estos problemas de proporcionalidad inversa son realmente sencillos. Esperamos que ahora tú también pienses en ellos de esa manera. Y lo principal es que el conocimiento sobre la dependencia inversamente proporcional de las cantidades puede resultarle útil más de una vez.

No sólo en las lecciones y exámenes de matemáticas. Pero incluso entonces, cuando te preparas para salir de viaje, ir de compras, decidir ganar un dinerito extra durante las vacaciones, etc.

Cuéntanos en los comentarios qué ejemplos de relaciones proporcionales inversas y directas notas a tu alrededor. Que sea un juego así. Verás lo emocionante que es. No olvides compartir este artículo en en las redes sociales para que tus amigos y compañeros de clase también puedan jugar.

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Objetivos básicos:

• introducir el concepto de dependencia proporcional directa e inversa de cantidades;
• enseñar cómo resolver problemas usando estas dependencias;
• promover el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas;
• consolidar la habilidad de resolver ecuaciones usando proporciones;
• repita los pasos con ordinario y decimales;
• desarrollar pensamiento lógico estudiantes.

DURANTE LAS CLASES

I. Autodeterminación para la actividad.(Organizando el tiempo)

- ¡Tipo! Hoy en la lección nos familiarizaremos con los problemas resueltos usando proporciones.

II. Actualización de conocimientos y registro de dificultades en las actividades.

2.1. trabajo oral (3 minutos)

– Encuentra el significado de las expresiones y descubre la palabra cifrada en las respuestas.

14 – s; 0,1 – y; 7-l; 0,2 – a; 17 – en; 25 – a

– La palabra resultante es fuerza. ¡Bien hecho!
– El lema de nuestra lección de hoy: ¡El poder está en el conocimiento! Estoy buscando, ¡eso significa que estoy aprendiendo!
– Inventa una proporción a partir de los números resultantes. (14:7 = 0,2:0,1, etc.)

2.2. Consideremos la relación entre las cantidades que conocemos. (7 minutos)

– la distancia recorrida por el coche a velocidad constante y el tiempo de su movimiento: S = v t ( al aumentar la velocidad (tiempo), la distancia aumenta);
– velocidad del vehículo y tiempo empleado en el viaje: v=S:t(a medida que aumenta el tiempo para recorrer el camino, disminuye la velocidad);
– el costo de los bienes comprados a un precio y su cantidad: C = a · n (con un aumento (disminución) del precio, el costo de compra aumenta (disminuye));
– precio del producto y su cantidad: a = C: n (con un aumento en la cantidad, el precio disminuye)
– área del rectángulo y su longitud (ancho): S = a · b (al aumentar la longitud (ancho), el área aumenta;
– largo y ancho del rectángulo: a = S: b (a medida que aumenta el largo, el ancho disminuye;
– el número de trabajadores que realizan un trabajo con la misma productividad laboral y el tiempo necesario para completar este trabajo: t = A: n (a medida que aumenta el número de trabajadores, el tiempo dedicado a realizar el trabajo disminuye), etc. .

Hemos obtenido dependencias en las que, con un aumento de una cantidad varias veces, otra aumenta inmediatamente en la misma cantidad (los ejemplos se muestran con flechas) y dependencias en las que, con un aumento de una cantidad varias veces, la segunda cantidad disminuye en la misma cantidad. el mismo número de veces.
Estas dependencias se denominan proporcionalidad directa e inversa.
Dependencia directamente proporcional– una relación en la que a medida que un valor aumenta (disminuye) varias veces, el segundo valor aumenta (disminuye) en la misma cantidad.
Relación inversamente proporcional– una relación en la que a medida que un valor aumenta (disminuye) varias veces, el segundo valor disminuye (aumenta) en la misma cantidad.

III. Establecer una tarea de aprendizaje

– ¿A qué problema nos enfrentamos? (Aprenda a distinguir entre dependencias directas e inversas)
- Este - objetivo nuestra lección. Ahora formula tema lección. (Relación proporcional directa e inversa).
- ¡Bien hecho! Anota en tus cuadernos el tema de la lección. (El profesor escribe el tema en la pizarra).

IV. "Descubrimiento" de nuevos conocimientos.(10 minutos)

Veamos el problema número 199.

1. La impresora imprime 27 páginas en 4,5 minutos. ¿Cuánto tiempo llevará imprimir 300 páginas?

27 páginas – 4,5 min.
300 páginas - x?

2. La caja contiene 48 paquetes de té de 250 g cada uno. ¿Cuántos paquetes de 150 g de este té recibirás?

48 paquetes – 250 gramos.
¿X? – 150 gramos.

3. El coche recorrió 310 km con 25 litros de gasolina. ¿Qué distancia puede recorrer un coche con el depósito lleno de 40 litros?

310 kilómetros – 25 litros
¿X? – 40 litros

4. Uno de los engranajes del embrague tiene 32 dientes y el otro 40. ¿Cuántas revoluciones dará el segundo engranaje mientras que el primero dará 215 revoluciones?

32 dientes – 315 rev.
40 dientes – x?

Para formar una proporción, es necesaria una dirección de las flechas; para ello, en proporcionalidad inversa, una proporción se reemplaza por la inversa;

En el pizarrón, los estudiantes encuentran el significado de las cantidades; en el acto, resuelven un problema de su elección.

– Formular una regla para la resolución de problemas con dependencia proporcional directa e inversa.

Aparece una tabla en la pizarra:

V. Consolidación primaria en el discurso externo.(10 minutos)

Asignaciones de hojas de trabajo:

1. De 21 kg de semilla de algodón se obtuvieron 5,1 kg de aceite. ¿Cuánto aceite se obtendrá con 7 kg de semilla de algodón?
2. Para construir el estadio, 5 excavadoras limpiaron el lugar en 210 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarían 7 excavadoras en limpiar este sitio?

VI. Trabajo independiente con autotest según estándar(5 minutos)

Dos estudiantes completan la tarea número 225 de forma independiente en tableros ocultos y el resto en cuadernos. Luego verifican el trabajo del algoritmo y lo comparan con la solución en la pizarra. Se corrigen los errores y se determinan sus causas. Si la tarea se completa correctamente, los estudiantes colocan un signo "+" al lado.
Los estudiantes que cometan errores en el trabajo independiente pueden recurrir a consultores.

VII. Inclusión en el sistema de conocimientos y repetición.№ 271, № 270.

En el tablero trabajan seis personas. Después de 3 o 4 minutos, los estudiantes que trabajan en la pizarra presentan sus soluciones y el resto revisa las tareas y participa en su discusión.

VIII. Reflexión sobre la actividad (resumen de la lección)

– ¿Qué novedades aprendiste en la lección?
- ¿Qué repitieron?
– ¿Cuál es el algoritmo para resolver problemas de proporciones?
– ¿Hemos logrado nuestro objetivo?
– ¿Cómo valoras tu trabajo?

§ 129. Aclaraciones preliminares.

Una persona trata constantemente con una amplia variedad de cantidades. Un empleado y un trabajador intentan llegar al trabajo a una hora determinada, un peatón tiene prisa por llegar lugar famoso En resumen, al fogonero de la calefacción de vapor le preocupa que la temperatura en la caldera esté aumentando lentamente, el ejecutivo de negocios está haciendo planes para reducir el costo de producción, etc.

Se podrían dar muchos ejemplos de este tipo. Tiempo, distancia, temperatura, costo: todas estas son cantidades diferentes. En la primera y segunda parte de este libro, nos familiarizamos con algunas cantidades particularmente comunes: área, volumen, peso. Encontramos muchas cantidades cuando estudiamos física y otras ciencias.

Imagina que viajas en un tren. De vez en cuando miras tu reloj y notas cuánto tiempo llevas en la carretera. Dices, por ejemplo, que han pasado 2, 3, 5, 10, 15 horas desde que salió tu tren, etc. Estos números representan diferentes períodos de tiempo; se les llama valores de esta cantidad (tiempo). O miras por la ventana y sigues los carteles de la carretera para ver la distancia que recorre tu tren. Los números 110, 111, 112, 113, 114 km parpadean ante usted. Estos números representan las diferentes distancias que ha recorrido el tren desde su punto de partida. También se les llama valores, esta vez de distinta magnitud (trayectoria o distancia entre dos puntos). Así, una magnitud, por ejemplo el tiempo, la distancia, la temperatura, puede abarcar tantas diferentes significados.

Tenga en cuenta que una persona casi nunca considera solo una cantidad, sino que siempre la conecta con otras cantidades. Tiene que lidiar con dos, tres y un número grande cantidades Imagina que necesitas llegar a la escuela a las 9 en punto. Miras tu reloj y ves que tienes 20 minutos. Entonces sabrás rápidamente si debes tomar el tranvía o si puedes caminar hasta la escuela. Después de pensar, decides caminar. Observa que mientras pensabas, estabas resolviendo algún problema. Esta tarea se ha vuelto simple y familiar, ya que este tipo de problemas se resuelven todos los días. En él comparaste rápidamente varias cantidades. Fuiste tú quien miró el reloj, es decir, tomaste en cuenta la hora, luego imaginaste mentalmente la distancia desde tu casa hasta la escuela; finalmente, comparaste dos cantidades: la velocidad de tu paso y la velocidad del tranvía, y concluiste que tiempo dado(20 min.) Tendrás tiempo para caminar. De esto ejemplo sencillo Se ve que en nuestra práctica algunas cantidades están interconectadas, es decir, dependen unas de otras.

El capítulo doce habló sobre la relación de cantidades homogéneas. Por ejemplo, si un segmento mide 12 my el otro mide 4 m, entonces la proporción de estos segmentos será 12: 4.

Dijimos que esta es la proporción de dos cantidades homogéneas. Otra forma de decir esto es que es la razón de dos números. un nombre.

Ahora que estamos más familiarizados con las cantidades y hemos introducido el concepto de valor de una cantidad, podemos expresar la definición de razón de una nueva manera. De hecho, cuando consideramos dos segmentos de 12 my 4 m, estábamos hablando de un valor: la longitud, y 12 my 4 m eran solo dos diferentes significados este valor.

Por lo tanto, en el futuro, cuando comencemos a hablar de razones, consideraremos dos valores de una cantidad, y la razón de un valor de una cantidad a otro valor de la misma cantidad se llamará el cociente de dividir el primer valor. por el segundo.

§ 130. Los valores son directamente proporcionales.

Consideremos un problema cuya condición incluye dos cantidades: distancia y tiempo.

Tarea 1. Un cuerpo que se mueve de manera rectilínea y uniforme recorre 12 cm cada segundo. Determine la distancia recorrida por el cuerpo en 2, 3, 4,..., 10 segundos.

Creemos una tabla que pueda usarse para rastrear cambios en tiempo y distancia.

La tabla nos da la oportunidad de comparar estas dos series de valores. De él vemos que cuando los valores de la primera cantidad (tiempo) aumentan gradualmente en 2, 3,..., 10 veces, entonces los valores de la segunda cantidad (distancia) también aumentan en 2, 3, ..., 10 veces. Así, cuando los valores de una cantidad aumentan varias veces, los valores de otra cantidad aumentan en la misma cantidad, y cuando los valores de una cantidad disminuyen varias veces, los valores de otra cantidad disminuyen en la misma cantidad. mismo número.

Consideremos ahora un problema que involucra dos de esas cantidades: la cantidad de materia y su costo.

Tarea 2. 15 m de tela cuestan 120 rublos. Calcula el coste de este tejido para varias otras cantidades de metros indicadas en la tabla.

Utilizando esta tabla, podemos rastrear cómo el costo de un producto aumenta gradualmente dependiendo del aumento en su cantidad. A pesar de que este problema involucra cantidades completamente diferentes (en el primer problema, el tiempo y la distancia, y aquí, la cantidad de bienes y su valor), se pueden encontrar grandes similitudes en el comportamiento de estas cantidades.

De hecho, en línea superior Las tablas contienen números que indican la cantidad de metros de tela; debajo de cada una de ellas está escrito un número que expresa el costo de la cantidad correspondiente de mercancía. Incluso un vistazo rápido a esta tabla muestra que los números en las filas superior e inferior están aumentando; tras un examen más detenido de la tabla y al comparar columnas individuales, se descubre que en todos los casos los valores de la segunda cantidad aumentan tanto como los valores de la primera cantidad, es decir, si el valor de la La primera cantidad aumenta, digamos, 10 veces, luego el valor de la segunda cantidad también aumentó 10 veces.

Si miramos la tabla de derecha a izquierda, encontraremos que los valores de cantidades indicados disminuirán en mismo número una vez. En este sentido, existe una similitud incondicional entre la primera tarea y la segunda.

Los pares de cantidades que encontramos en el primer y segundo problema se llaman directamente proporcional.

Por lo tanto, si dos cantidades están relacionadas entre sí de tal manera que a medida que el valor de una de ellas aumenta (disminuye) varias veces, el valor de la otra aumenta (disminuye) en la misma cantidad, entonces tales cantidades se llaman directamente proporcionales. .

También se dice que estas cantidades están relacionadas entre sí mediante una relación directamente proporcional.

Hay muchas cantidades similares que se encuentran en la naturaleza y en la vida que nos rodea. Aquí hay unos ejemplos:

1. Tiempo trabajo (día, dos días, tres días, etc.) y ganancias, recibido durante este tiempo con jornal.

2. Volumen cualquier objeto hecho de un material homogéneo, y pesoéste ítem.

§ 131. Propiedad de cantidades directamente proporcionales.

Tomemos un problema que involucra las dos cantidades siguientes: tiempo de trabajo y ganancias. Si los ingresos diarios son 20 rublos, entonces los ingresos durante 2 días serán 40 rublos, etc. Lo más conveniente es crear una tabla en la que un cierto número de días corresponda a un determinado ingreso.

Al observar esta tabla, vemos que ambas cantidades tomaron 10 valores diferentes. Cada valor del primer valor corresponde a un cierto valor del segundo valor, por ejemplo, 2 días corresponden a 40 rublos; 5 días corresponden a 100 rublos. En la tabla estos números están escritos uno debajo del otro.

Ya sabemos que si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces cada una de ellas, en el proceso de cambio, aumenta tantas veces como la otra aumenta. De esto se sigue inmediatamente: si tomamos la razón de dos valores cualesquiera de la primera cantidad, entonces será igual a la razón de los dos valores correspondientes de la segunda cantidad. En efecto:

¿Por qué está pasando esto? Pero debido a que estos valores son directamente proporcionales, es decir, cuando uno de ellos (el tiempo) aumentó 3 veces, el otro (las ganancias) aumentó 3 veces.

Por tanto, hemos llegado a la siguiente conclusión: si tomamos dos valores de la primera cantidad y los dividimos entre sí, y luego dividimos por uno los valores correspondientes de la segunda cantidad, entonces en ambos casos obtendremos el mismo número, es decir, la misma relación. Esto significa que las dos relaciones que escribimos anteriormente se pueden conectar con un signo igual, es decir

No hay duda de que si no tomáramos estas relaciones, sino otras, y no en ese orden, sino en el orden opuesto, obtendríamos también la igualdad de relaciones. De hecho, consideraremos los valores de nuestras cantidades de izquierda a derecha y tomaremos el tercer y noveno valor:

60:180 = 1 / 3 .

Entonces podemos escribir:

Esto lleva a la siguiente conclusión: si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de los dos valores correspondientes de la segunda cantidad.

§ 132. Fórmula de proporcionalidad directa.

Hagamos una tabla del costo de diferentes cantidades de dulces, si 1 kg cuesta 10,4 rublos.

Ahora hagámoslo de esta manera. Tome cualquier número en la segunda línea y divídalo por el número correspondiente en la primera línea. Por ejemplo:

Ves que en el cociente se obtiene siempre el mismo número. En consecuencia, para un par dado de cantidades directamente proporcionales, el cociente de dividir cualquier valor de una cantidad por el valor correspondiente de otra cantidad es un número constante (es decir, que no cambia). En nuestro ejemplo, este cociente es 10,4. Este numero constante llamado coeficiente de proporcionalidad. En este caso, expresa el precio de una unidad de medida, es decir, un kilogramo de mercancía.

¿Cómo encontrar o calcular el coeficiente de proporcionalidad? Para hacer esto, debes tomar cualquier valor de una cantidad y dividirlo por el valor correspondiente de la otra.

Denotemos este valor arbitrario de una cantidad con la letra en , y el valor correspondiente de otra cantidad: la letra X , entonces el coeficiente de proporcionalidad (lo denotamos A) encontramos por división:

En esta igualdad en - divisible, X - divisor y A- cociente, y como por la propiedad de la división el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, podemos escribir:

y = k X

La igualdad resultante se llama Fórmula de proporcionalidad directa. Usando esta fórmula, podemos calcular cualquier número de valores de una de las cantidades directamente proporcionales si conocemos los valores correspondientes de la otra cantidad y el coeficiente de proporcionalidad.

Ejemplo. Por la física sabemos que el peso R de cualquier cuerpo es igual a su peso específico d , multiplicado por el volumen de este cuerpo V, es decir. R = d V.

Tomemos cinco barras de hierro de diferentes volúmenes; conocimiento Gravedad específica hierro (7.8), podemos calcular los pesos de estos espacios en blanco usando la fórmula:

R = 7,8 V.

Comparando esta fórmula con la fórmula en = A X , vemos eso y = R, x = V, y el coeficiente de proporcionalidad A= 7,8. La fórmula es la misma, sólo las letras son diferentes.

Usando esta fórmula, hagamos una tabla: supongamos que el volumen del primer espacio en blanco sea igual a 8 metros cúbicos. cm, entonces su peso es 7,8 8 = 62,4 (g). El volumen del segundo espacio en blanco es de 27 metros cúbicos. cm Su peso es 7,8 27 = 210,6 (g). La tabla se verá así:

Calcula los números que faltan en esta tabla usando la fórmula R= d V.

§ 133. Otros métodos de resolución de problemas con cantidades directamente proporcionales.

En el párrafo anterior resolvimos un problema cuya condición incluía cantidades directamente proporcionales. Para ello, primero derivamos la fórmula de proporcionalidad directa y luego aplicamos esta fórmula. Ahora mostraremos otras dos formas de resolver problemas similares.

Creemos un problema usando los datos numéricos dados en la tabla del párrafo anterior.

Tarea. En blanco con un volumen de 8 metros cúbicos. cm pesa 62,4 g ¿Cuánto pesará una pieza en bruto con un volumen de 64 metros cúbicos? ¿cm?

Solución. El peso del hierro, como se sabe, es proporcional a su volumen. Si 8 pies cúbicos. cm pesan 62,4 g, luego 1 cu. cm pesará 8 veces menos, es decir

62,4:8 = 7,8 (g).

En blanco con un volumen de 64 metros cúbicos. cm pesará 64 veces más que una pieza en bruto de 1 metro cúbico. cm, es decir

7,8·64 = 499,2(g).

Resolvimos nuestro problema reduciendo a la unidad. El significado de este nombre se justifica por el hecho de que para resolverlo tuvimos que encontrar el peso de una unidad de volumen en la primera pregunta.

2. Método de proporción. Resolvamos el mismo problema usando el método de la proporción.

Dado que el peso del hierro y su volumen son cantidades directamente proporcionales, la relación entre dos valores de una cantidad (volumen) es igual a la relación entre dos valores correspondientes de otra cantidad (peso), es decir,

(carta R designamos el peso desconocido del blanco). De aquí:

(GRAMO).

El problema se resolvió mediante el método de proporciones. Esto significa que para solucionarlo se compiló una proporción a partir de los números incluidos en la condición.

§ 134. Los valores son inversamente proporcionales.

Considere el siguiente problema: “Cinco albañiles pueden sumar paredes de ladrillo en casa en 168 días. Determina en cuántos días 10, 8, 6, etc. los albañiles podrían completar el mismo trabajo”.

Si 5 albañiles colocaron las paredes de una casa en 168 días, entonces (con la misma productividad laboral) 10 albañiles podrían hacerlo en la mitad del tiempo, ya que en promedio 10 personas hacen el doble de trabajo que 5 personas.

Elaboremos una tabla mediante la cual podamos monitorear los cambios en el número de trabajadores y las horas de trabajo.

Por ejemplo, para saber cuántos días tardan 6 trabajadores, primero debes calcular cuántos días tarda un trabajador (168 5 = 840), y luego cuántos días tardan seis trabajadores (840: 6 = 140). Al observar esta tabla, vemos que ambas cantidades tomaron seis valores diferentes. Cada valor de la primera cantidad corresponde a uno específico; el valor del segundo valor, por ejemplo, 10 corresponde al 84, el número 8 corresponde al número 105, etc.

Si consideramos los valores de ambas cantidades de izquierda a derecha, veremos que los valores de la cantidad superior aumentan, y los valores de la cantidad inferior disminuyen. El aumento y la disminución están sujetos a próxima ley: los valores del número de trabajadores aumentan tantas veces como disminuyen los valores del tiempo de trabajo invertido. Esta idea se puede expresar aún más simplemente de la siguiente manera: cuanto más trabajadores participan en una tarea, menos tiempo necesitan para completarla. Las dos cantidades que encontramos en este problema se llaman inversamente proporcional.

Por lo tanto, si dos cantidades están relacionadas entre sí de tal manera que a medida que el valor de una de ellas aumenta (disminuye) varias veces, el valor de la otra disminuye (aumenta) en la misma cantidad, entonces tales cantidades se llaman inversamente proporcionales. .

Hay muchas cantidades similares en la vida. Pongamos ejemplos.

1. Si por 150 rublos. Si necesita comprar varios kilogramos de dulces, la cantidad de dulces dependerá del precio de un kilogramo. Cuanto mayor sea el precio, menos bienes podrás comprar con este dinero; esto se puede ver en la tabla:

A medida que el precio de los dulces aumenta varias veces, la cantidad de kilogramos de dulces que se pueden comprar por 150 rublos disminuye en la misma cantidad. En este caso, dos cantidades (el peso del producto y su precio) son inversamente proporcionales.

2. Si la distancia entre dos ciudades es de 1200 km, entonces se puede recorrer en diferentes tiempos dependiendo de la velocidad del movimiento. Existir diferentes caminos transporte: a pie, a caballo, en bicicleta, en barco, en coche, en tren, en avión. Cuanto menor sea la velocidad, más tiempo tardará en moverse. Esto se puede ver en la tabla:

Con un aumento de velocidad varias veces, el tiempo de viaje disminuye en la misma cantidad. Esto significa que en estas condiciones, la velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales.

§ 135. Propiedad de cantidades inversamente proporcionales.

Tomemos el segundo ejemplo, que vimos en el párrafo anterior. Allí nos ocupamos de dos cantidades: la velocidad y el tiempo. Si miramos la tabla de valores de estas cantidades de izquierda a derecha, veremos que los valores de la primera cantidad (velocidad) aumentan, y los valores de la segunda (tiempo) disminuyen, y la velocidad aumenta en la misma cantidad que el tiempo disminuye. No es difícil entender que si escribes la razón de algunos valores de una cantidad, entonces no será igual a la razón de los valores correspondientes de otra cantidad. De hecho, si tomamos la relación entre el cuarto valor del valor superior y el séptimo valor (40: 80), entonces no será igual a la relación entre el cuarto y el séptimo valor del valor inferior (30: 15). Se puede escribir así:

40:80 no es igual a 30:15 o 40:80 =/=30:15.

Pero si en lugar de una de estas relaciones tomamos la opuesta, entonces obtenemos igualdad, es decir, a partir de estas relaciones será posible crear una proporción. Por ejemplo:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Con base en lo anterior, podemos sacar la siguiente conclusión: si dos cantidades son inversamente proporcionales, entonces la relación entre dos valores tomados arbitrariamente de una cantidad es igual a la relación inversa de los valores correspondientes de otra cantidad.

§ 136. Fórmula de proporcionalidad inversa.

Considere el problema: “Hay 6 piezas de tela de seda de diferentes tamaños y diferentes variedades. Todas las piezas cuestan lo mismo. En una pieza hay 100 m de tela y el precio es de 20 rublos. por metro ¿Cuántos metros hay en cada una de las otras cinco piezas, si un metro de tela de estas piezas cuesta 25, 40, 50, 80 y 100 rublos, respectivamente? Para resolver este problema, creemos una tabla:

Necesitamos completar las celdas vacías en la fila superior de esta tabla. Primero intentemos determinar cuántos metros hay en la segunda pieza. Esto puede hacerse de la siguiente manera. De las condiciones del problema se sabe que el costo de todas las piezas es el mismo. El coste de la primera pieza es fácil de determinar: contiene 100 metros y cada metro cuesta 20 rublos, lo que significa que la primera pieza de seda vale 2.000 rublos. Dado que la segunda pieza de seda contiene la misma cantidad de rublos, divida 2000 rublos. Por el precio de un metro, es decir 25, encontramos el tamaño de la segunda pieza: 2.000: 25 = 80 (m). De la misma forma encontraremos el tamaño de todas las demás piezas. La tabla se verá así:

Es fácil ver que existe una relación inversamente proporcional entre el número de metros y el precio.

Si haces tú mismo los cálculos necesarios, notarás que cada vez tienes que dividir el número 2.000 por el precio de 1 m. Por el contrario, si ahora empiezas a multiplicar el tamaño de la pieza en metros por el precio de 1 m. , siempre obtendrás el número 2.000. Esto y fue necesario esperar, ya que cada pieza cuesta 2.000 rublos.

De aquí podemos sacar la siguiente conclusión: para un par dado de cantidades inversamente proporcionales, el producto de cualquier valor de una cantidad por el valor correspondiente de otra cantidad es un número constante (es decir, que no cambia).

En nuestro problema, este producto es igual a 2000. Comprueba que en el problema anterior, que hablaba de la velocidad de movimiento y el tiempo necesario para desplazarse de una ciudad a otra, también había un número constante para ese problema (1200).

Teniendo todo en cuenta, es fácil derivar la fórmula de proporcionalidad inversa. Denotemos un cierto valor de una cantidad con la letra X , y el valor correspondiente de otra cantidad está representado por la letra en . Entonces, con base en lo anterior, el trabajo X en en debe ser igual a algún valor constante, que denotamos con la letra A, es decir.

x y = A.

En esta igualdad X - multiplicando en - multiplicador y k- trabajar. Según la propiedad de la multiplicación, el multiplicador igual al producto, dividido por el multiplicando. Medio,

Esta es la fórmula de proporcionalidad inversa. Utilizándolo podemos calcular cualquier número de valores de una de las cantidades inversamente proporcionales, conociendo los valores de la otra y el número constante. A.

Consideremos otro problema: “El autor de un ensayo calculó que si su libro está en formato normal, tendrá 96 páginas, pero si es de bolsillo, tendrá 300 páginas. El intentó diferentes variantes, comenzó con 96 páginas y luego tuvo 2.500 letras por página. Luego tomó los números de página que se muestran en la siguiente tabla y nuevamente calculó cuántas letras habría en la página”.

Intentemos calcular cuántas letras habrá en una página si el libro tiene 100 páginas.

Hay 240.000 letras en todo el libro, ya que 2.500 · 96 = 240.000.

Teniendo esto en cuenta, utilizamos la fórmula de proporcionalidad inversa ( en - número de letras en la página, X - número de páginas):

En nuestro ejemplo A= 240.000 por lo tanto

Entonces hay 2.400 letras en la página.

De manera similar, aprendemos que si un libro tiene 120 páginas, entonces el número de letras en la página será:

Nuestra tabla se verá así:

Complete las celdas restantes usted mismo.

§ 137. Otros métodos de resolución de problemas con cantidades inversamente proporcionales.

En el párrafo anterior resolvimos problemas cuyas condiciones incluían cantidades inversamente proporcionales. Primero derivamos la fórmula de proporcionalidad inversa y luego aplicamos esta fórmula. Ahora mostraremos otras dos soluciones para tales problemas.

1. Método de reducción a la unidad.

Tarea. 5 torneros pueden realizar un trabajo en 16 días. ¿En cuántos días 8 torneros pueden completar este trabajo?

Solución. Existe una relación inversa entre el número de torneros y las horas de trabajo. Si 5 torneros hacen el trabajo en 16 días, entonces una persona necesitará 5 veces más tiempo para ello, es decir.

5 torneros completan el trabajo en 16 días,

1 tornero lo completará en 16 5 = 80 días.

El problema pregunta cuántos días les tomará a 8 torneros completar el trabajo. Evidentemente, harán el trabajo 8 veces más rápido que 1 volteador, es decir, en

80: 8 = 10 (días).

Ésta es la solución al problema reduciéndolo a la unidad. Aquí era necesario, en primer lugar, determinar el tiempo necesario para completar el trabajo de un trabajador.

2. Método de proporción. Resolvamos el mismo problema de la segunda forma.

Dado que existe una relación inversamente proporcional entre el número de trabajadores y el tiempo de trabajo, podemos escribir: duración del trabajo de 5 torneros nuevo número de torneros (8) duración del trabajo de 8 torneros número anterior de torneros (5) Denotemos el duración requerida del trabajo por carta X y sustituir los números necesarios en la proporción expresada en palabras:

El mismo problema se resuelve mediante el método de proporciones. Para resolverlo, tuvimos que crear una proporción a partir de los números incluidos en el enunciado del problema.

Nota. En los párrafos anteriores examinamos la cuestión de la proporcionalidad directa e inversa. La naturaleza y la vida nos dan muchos ejemplos de dependencia proporcional directa e inversa de cantidades. Sin embargo, cabe señalar que estos dos tipos de dependencia son sólo los más simples. Junto a ellos, existen otras dependencias más complejas entre cantidades. Además, no se debe pensar que si dos cantidades aumentan simultáneamente, entonces existe necesariamente una proporcionalidad directa entre ellas. Está léjos de la verdad. Por ejemplo, los peajes de ferrocarril aumenta en función de la distancia: cuanto más viajamos, más pagamos, pero esto no quiere decir que el pago sea proporcional a la distancia.