Resumen: Valores medios utilizados en estadística. Determinar la media, la varianza y la forma de la distribución.

Para fines de análisis y obtención de conclusiones estadísticas a partir de los resultados del resumen y agrupación, se calculan indicadores generalizadores: valores promedio y relativos.

problema de promedios – caracterizar todas las unidades de una población estadística con un valor característico.

Los valores medios caracterizan los indicadores de calidad. actividad empresarial: costes de distribución, beneficio, rentabilidad, etc.

valor promedio- esta es una característica generalizadora de unidades de la población según alguna característica variable.

Los valores promedio le permiten comparar los niveles del mismo rasgo en diferentes poblaciones y encontrar las razones de estas discrepancias.

En el análisis de los fenómenos en estudio, el papel de los valores medios es enorme. El economista inglés W. Petty (1623-1687) utilizó ampliamente valores medios. V. Petty quería utilizar valores medios como medida del costo de los gastos de la comida diaria promedio de un trabajador. La estabilidad del valor medio es un reflejo de la regularidad de los procesos en estudio. Creía que la información se puede transformar incluso si no hay suficientes datos originales.

El científico inglés G. King (1648-1712) utilizó valores medios y relativos al analizar datos sobre la población de Inglaterra.

Los desarrollos teóricos del estadístico belga A. Quetelet (1796-1874) se basan en la inconsistencia de la naturaleza. Fenómeno social– muy estable en la masa, pero puramente individual.

Según A. Quetelet, las causas constantes actúan por igual sobre cada fenómeno estudiado y hacen que estos fenómenos se parezcan entre sí, creando patrones comunes a todos ellos.

Una consecuencia de las enseñanzas de A. Quetelet fue la identificación de valores medios como principal técnica de análisis estadístico. Dijo que los promedios estadísticos no representan una categoría de la realidad objetiva.

A. Quetelet expresó sus opiniones sobre el promedio en su teoría del hombre promedio. Una persona promedio es una persona que tiene todas las cualidades de un tamaño promedio (tasa promedio de mortalidad o natalidad, altura y peso promedio, velocidad promedio de carrera, inclinación promedio hacia el matrimonio y el suicidio, buenas acciones etc.). Para A. Quetelet, la persona media es la persona ideal. La inconsistencia de la teoría del hombre promedio de A. Quetelet quedó demostrada en la literatura estadística rusa en finales del XIX-XX siglos

El famoso estadístico ruso Yu. E. Yanson (1835-1893) escribió que A. Quetelet supone la existencia en la naturaleza de un tipo de persona promedio como algo dado, de lo que se ha desviado la vida de la gente promedio de una sociedad determinada y de una época determinada. , y esto lo lleva a una visión completamente mecánica y a las leyes del movimiento. vida social: el movimiento es un aumento gradual de las propiedades promedio de una persona, una restauración gradual del tipo; en consecuencia, tal nivelación de todas las manifestaciones de la vida del cuerpo social, más allá de la cual cesa cualquier avance.

La esencia de esta teoría encontró su mayor desarrollo en los trabajos de varios teóricos de la estadística como teoría de cantidades verdaderas. A. Quetelet tuvo seguidores: el economista y estadístico alemán V. Lexis (1837-1914), quien transfirió la teoría de los valores verdaderos a los fenómenos económicos. vida publica. Su teoría se conoce como teoría de la estabilidad. Otra versión de la teoría idealista de los promedios se basa en la filosofía

Su fundador es el estadístico inglés A. Bowley (1869-1957), uno de los teóricos más destacados de los últimos tiempos en el campo de la teoría de los promedios. Su concepto de promedios se describe en su libro Elementos de estadística.

A. Boley considera los valores medios sólo desde el lado cuantitativo, separando así la cantidad de la calidad. Al determinar el significado de los valores medios (o “su función”), A. Boley propone el principio de pensamiento de Mach. A. Boley escribió que la función de valores medios debería expresar un grupo complejo

con la ayuda de algunos números primos. Los datos estadísticos deben simplificarse, agruparse y reducirse a promedios. Estas opiniones: compartidas por R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892), etc.

en los años 30 Siglo XX y años posteriores, el valor medio se considera una característica socialmente significativa, cuyo contenido informativo depende de la homogeneidad de los datos.

Los representantes más destacados de la escuela italiana, R. Benini (1862-1956) y C. Gini (1884-1965), considerando la estadística como una rama de la lógica, ampliaron el ámbito de aplicación de la inducción estadística, pero conectaron lo cognitivo. principios de lógica y estadística con la naturaleza de los fenómenos estudiados, siguiendo las tradiciones de interpretación sociológica de la estadística.

En las obras de K. Marx y V. I. Lenin, los valores medios reciben un papel especial.

K. Marx argumentó que las desviaciones individuales de nivel general y el nivel medio se convierte en una característica general fenómeno de masas El valor medio se convierte en una característica de un fenómeno de masas sólo si se toma un número significativo de unidades y estas unidades son cualitativamente homogéneas. Marx escribió que el valor promedio encontrado debería ser el promedio de "...muchos valores individuales diferentes del mismo tipo".

El valor medio adquiere especial significado en las condiciones economía de mercado. Ayuda a determinar lo necesario y general, la tendencia del patrón. desarrollo economico directamente a través de lo singular y aleatorio.

Valores promedio Son indicadores generales en los que se expresa la acción. condiciones generales, el patrón del fenómeno que se está estudiando.

Los promedios estadísticos se calculan sobre la base de datos de masa procedentes de observaciones de masas organizadas estadísticamente correctamente. Si el promedio estadístico se calcula a partir de datos masivos para una población cualitativamente homogénea (fenómenos de masas), entonces será objetivo.

El valor medio es abstracto, ya que caracteriza el valor de una unidad abstracta.

El promedio se abstrae de la diversidad del rasgo en los objetos individuales. La abstracción es un paso. investigación científica. En el valor medio se realiza la unidad dialéctica de lo individual y lo general.

Los valores medios deben aplicarse basándose en una comprensión dialéctica de las categorías de individuo y general, individuo y masa.

El del medio muestra algo común que está contenido en un único objeto específico.

Para identificar patrones en masa. procesos sociales el promedio es importante.

La desviación del individuo de lo general es una manifestación del proceso de desarrollo.

El valor medio refleja el nivel característico, típico y real de los fenómenos en estudio. La tarea de los valores medios es caracterizar estos niveles y sus cambios en el tiempo y el espacio.

El indicador promedio es un valor común, porque se forma en las condiciones normales, naturales y generales de existencia de un fenómeno de masas específico, considerado en su conjunto.

La propiedad objetiva de un proceso o fenómeno estadístico se refleja en el valor promedio.

Los valores individuales del atributo estadístico en estudio son diferentes para cada unidad de población. El valor promedio de los valores individuales de un tipo es producto de la necesidad, que es el resultado de la acción combinada de todas las unidades de la población, que se manifiesta en una masa de accidentes repetidos.

Algunos fenómenos individuales tienen características que existen en todos los fenómenos, pero en diferentes cantidades es la altura o edad de una persona. Otros signos de un fenómeno individual son cualitativamente diferentes en diferentes fenómenos, es decir, están presentes en algunos y no se observan en otros (un hombre no se convertirá en mujer). El valor medio se calcula para características cualitativamente homogéneas y diferentes sólo cuantitativamente, que son inherentes a todos los fenómenos de un conjunto determinado.

El valor medio es un reflejo de los valores de la característica que se está estudiando y se mide en la misma dimensión que esta característica.

La teoría del materialismo dialéctico enseña que todo en el mundo cambia y se desarrolla. Y también cambian las características que se caracterizan por los valores medios y, en consecuencia, los propios promedios.

En la vida hay un proceso continuo de creación de algo nuevo. Los portadores de una nueva cualidad son objetos individuales, luego el número de estos objetos aumenta y lo nuevo se vuelve masivo, típico.

El valor medio caracteriza a la población estudiada según una sola característica. Para una representación completa e integral de la población en estudio según una serie de características específicas, es necesario contar con un sistema de valores promedio que pueda describir el fenómeno desde diferentes ángulos.

2. Tipos de promedios

EN procesamiento estadístico material, hay diferentes problemas que deben resolverse y, por lo tanto, en la práctica estadística se utilizan diferentes valores promedio. Estadisticas matematicas utiliza varios promedios, tales como: promedio aritmético; significado geometrico; Significado armonico; cuadrado medio.

Para aplicar uno de los tipos de promedio anteriores, es necesario analizar la población en estudio, determinar el contenido material del fenómeno en estudio, todo esto se hace en base a conclusiones extraídas del principio de significatividad de los resultados cuando pesando o sumando.

En el estudio de promedios, se utilizan los siguientes indicadores y notaciones.

El signo con el que se encuentra el promedio se llama característica promediada y se denota por x; el valor de la característica promediada para cualquier unidad de una población estadística se llama su significado individual, o opciones, y denotado como X 1 , X 2 , X 3 ,… X PAG ; la frecuencia es la repetibilidad de los valores individuales de una característica, indicada por la letra F.

Significado aritmetico

Uno de los tipos de medio más comunes es significado aritmetico, que se calcula cuando el volumen de la característica promediada se forma como la suma de sus valores en unidades individuales de la población estadística en estudio.

Para calcular el promedio aritmético, la suma de todos los niveles del atributo se divide por su número.

Si algunas opciones ocurren varias veces, entonces la suma de los niveles del atributo se puede obtener multiplicando cada nivel por el número correspondiente de unidades en la población y luego sumando los productos resultantes, la media aritmética calculada de esta manera se llama ponderada; significado aritmetico.

La fórmula para la media aritmética ponderada es la siguiente:

donde x soy opciones,

f i – frecuencias o pesos.

Se debe utilizar un promedio ponderado en todos los casos en que las opciones tengan números diferentes.

La media aritmética distribuye por igual entre los objetos individuales el valor total del atributo, que en realidad varía para cada uno de ellos.

El cálculo de los valores medios se realiza utilizando datos agrupados en forma de series de distribución de intervalos, cuando las variantes de la característica a partir de la cual se calcula el promedio se presentan en forma de intervalos (de - a).

Propiedades de la media aritmética:

1) promedio suma aritmética cantidades variables es igual a la suma de promedios aritméticos: si x i = y i + z i, entonces

Esta propiedad muestra en qué casos es posible resumir valores medios.

2) la suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales de una característica variable del promedio es igual a cero, ya que la suma de las desviaciones en una dirección se compensa con la suma de las desviaciones en la otra dirección:

Esta regla demuestra que el promedio es la resultante.

3) si todas las opciones de una serie aumentan o disminuyen en el mismo número?, ¿el promedio aumentará o disminuirá en el mismo número?:

4) si todas las variantes de la serie aumentan o disminuyen A veces, entonces la promedio también aumentará o disminuirá A veces:

5) la quinta propiedad del promedio nos muestra que no depende del tamaño de las escalas, sino de la relación entre ellas. Como escalas se pueden tomar no sólo valores relativos, sino también absolutos.

Si todas las frecuencias de la serie se dividen o multiplican por el mismo número d, entonces el promedio no cambiará.

Significado armonico. Para determinar la media aritmética, es necesario tener una serie de opciones y frecuencias, es decir, valores X Y F.

Supongamos que se conocen los valores individuales de la característica. X y funciona X/, y frecuencias F son desconocidos, entonces para calcular el promedio, denotamos el producto = X/; dónde:

El promedio en esta forma se llama promedio ponderado armónico y se denota x daño. arriba

En consecuencia, la media armónica es idéntica a la media aritmética. Es aplicable cuando se desconocen los pesos reales. F, y el trabajo es conocido fx = z

cuando las obras fx unidades idénticas o iguales (m = 1), se utiliza la media simple armónica, calculada mediante la fórmula:

Dónde X– opciones separadas;

norte- número.

Significado geometrico

Si hay n coeficientes de crecimiento, entonces la fórmula para el coeficiente promedio es:

Esta es la fórmula de la media geométrica.

La media geométrica es igual a la raíz de la potencia. norte del producto de los coeficientes de crecimiento que caracterizan la relación entre el valor de cada período posterior y el valor del anterior.

Si los valores expresados ​​en forma de funciones cuadráticas están sujetos a promediación, se utiliza el cuadrado medio. Por ejemplo, utilizando la raíz cuadrática media, puede determinar los diámetros de tuberías, ruedas, etc.

La raíz cuadrática media se determina extrayendo raíz cuadrada del cociente de dividir la suma de los cuadrados de los valores individuales del atributo por su número.

El cuadrado medio ponderado es igual a:

3. Promedios estructurales. Moda y mediana

Para caracterizar la estructura de una población estadística se utilizan indicadores que se denominan promedios estructurales. Estos incluyen la moda y la mediana.

Moda (M oh ) - la opción más común. Moda es el valor del atributo que corresponde al punto máximo de la curva de distribución teórica.

La moda representa el significado más frecuente o típico.

La moda se utiliza en la práctica comercial para estudiar. demanda del consumidor y registro de precios.

En una serie discreta, la moda es la variante con mayor frecuencia. En una serie de variación de intervalo, se considera que la moda es la variante central del intervalo, que tiene la frecuencia más alta (particularidad).

Dentro del intervalo, es necesario encontrar el valor del atributo que es la moda.

Dónde X oh– límite inferior del intervalo modal;

h– el valor del intervalo modal;

fm– frecuencia del intervalo modal;

pies-1 – frecuencia del intervalo que precede al modal;

fm+1 – frecuencia del intervalo siguiente al modal.

La moda depende del tamaño de los grupos y de la posición exacta de los límites del grupo.

Moda– el número que en realidad aparece con mayor frecuencia (es un valor definido), en la práctica tiene la aplicación más amplia (el tipo más común de comprador).

Mediana (m mi es una cantidad que divide el número de una serie de variación ordenada en dos partes iguales: una parte tiene valores de la característica variable que son menores que la variante promedio y la otra tiene valores mayores.

Mediana es un elemento que es mayor o igual y al mismo tiempo menor o igual a la mitad de los restantes elementos de la serie de distribución.

La propiedad de la mediana es que la suma de las desviaciones absolutas de los valores de los atributos de la mediana es menor que la de cualquier otro valor.

Usar la mediana le permite obtener resultados más precisos que usar otras formas de promedios.

El orden para encontrar la mediana en una serie de variación de intervalo es el siguiente: organizamos los valores individuales de la característica según la clasificación; determinamos las frecuencias acumuladas para una serie clasificada determinada; Usando los datos de frecuencia acumulada, encontramos el intervalo mediano:

Dónde x yo– límite inferior del intervalo mediano;

i A mí– el valor del intervalo mediano;

f/2– media suma de frecuencias de la serie;

S A mí-1 – la suma de las frecuencias acumuladas que preceden al intervalo mediano;

F A mí– frecuencia del intervalo mediano.

La mediana divide a la mitad el número de una serie, por tanto, es donde la frecuencia acumulada es la mitad o más de la mitad de la suma total de frecuencias, y la frecuencia anterior (acumulada) es menor que la mitad del número de la población.

Cada persona en mundo moderno Cuando planea pedir un préstamo o abastecerse de verduras para el invierno, periódicamente se encuentra con el concepto de "valor medio". Averigüemos: qué es, qué tipos y clases existen y por qué se utiliza en estadística y otras disciplinas.

Valor medio: ¿qué es?

Un nombre similar (SV) es una característica generalizada de un conjunto de fenómenos homogéneos, determinada por cualquier característica de una variable cuantitativa.

Sin embargo, las personas que están lejos de definiciones tan abstrusas entienden este concepto como una cantidad promedio de algo. Por ejemplo, antes de solicitar un préstamo, un empleado del banco definitivamente le pedirá a un cliente potencial que proporcione datos sobre los ingresos promedio del año, es decir, la cantidad total de dinero que gana una persona. Se calcula sumando las ganancias de todo el año y dividiendo por el número de meses. Así, el banco podrá determinar si su cliente podrá pagar la deuda a tiempo.

¿Por qué se usa?

Por regla general, los valores medios se utilizan ampliamente para dar una descripción resumida de determinados fenómenos sociales de carácter masivo. También se pueden utilizar para cálculos a menor escala, como en el caso de un préstamo en el ejemplo anterior.

Sin embargo, la mayoría de las veces los valores medios todavía se utilizan con fines globales. Un ejemplo de uno de ellos es el cálculo de la cantidad de electricidad consumida por los ciudadanos durante un mes natural. A partir de los datos obtenidos, posteriormente se establecen estándares máximos para las categorías de población que disfrutan de los beneficios del Estado.

Además, utilizando valores medios, se desarrolla la vida útil de garantía de ciertos electrodomésticos, automóviles, edificios, etc. A partir de los datos recopilados de esta manera, alguna vez se desarrollaron estándares modernos de trabajo y descanso.

Prácticamente cualquier fenómeno vida moderna, que es de naturaleza masiva, de una forma u otra está necesariamente relacionado con el concepto considerado.

Areas de aplicación

Este fenómeno es muy utilizado en casi todas las ciencias exactas, especialmente en las de carácter experimental.

Encontrar el promedio es de gran importancia en medicina, ingeniería, cocina, economía, política, etc.

A partir de los datos obtenidos de tales generalizaciones, desarrollan medicamentos terapéuticos, programas educativos, fijan salarios y salarios mínimos, elaboran horarios educativos, producen muebles, ropa y calzado, artículos de higiene y mucho más.

En matemáticas, este término se llama “valor promedio” y se utiliza para tomar decisiones. varios ejemplos y tareas. Los más simples son la suma y la resta con fracciones ordinarias. Después de todo, como sabes, para resolver este tipo de ejemplos es necesario llevar ambas fracciones a un denominador común.

También en la reina de las ciencias exactas se utiliza a menudo el término "valor medio", que tiene un significado similar. variable aleatoria" La mayoría de la gente está más familiarizada con él como " valor esperado”, considerado más a menudo en la teoría de la probabilidad. Vale la pena señalar que un fenómeno similar también se aplica al realizar cálculos estadísticos.

Valor medio en estadística.

Sin embargo, el concepto en estudio se utiliza con mayor frecuencia en estadística. Como saben, esta ciencia se especializa en el cálculo y análisis de las características cuantitativas de los fenómenos sociales de masas. Por lo tanto, el valor promedio en estadística se utiliza como un método especializado para lograr sus principales objetivos: recopilar y analizar información.

La esencia de este método estadístico Consiste en sustituir los valores únicos individuales de la característica considerada por un determinado valor medio equilibrado.

Un ejemplo es el famoso chiste sobre la comida. Entonces, en cierta fábrica, los martes para el almuerzo, sus jefes suelen comer cazuela de carne y los trabajadores comunes, repollo guisado. Basándonos en estos datos, podemos concluir que, en promedio, el personal de la planta cena rollitos de repollo los martes.

A pesar de este ejemplo ligeramente exagerado, pero ilustra el principal inconveniente del método para encontrar el valor promedio: nivelación características individuales objetos o personas.

En valores medios se utilizan no sólo para analizar la información recopilada, sino también para planificar y predecir acciones futuras.

También se utiliza para evaluar los resultados obtenidos (por ejemplo, la implementación del plan de cultivo y cosecha de trigo para la temporada primavera-verano).

Cómo calcular correctamente

Aunque dependiendo del tipo de SV existen diferentes fórmulas para calcularlo, en la teoría general de la estadística, por regla general, solo se utiliza un método para calcular el valor promedio de una característica. Para hacer esto, primero debe sumar los valores de todos los fenómenos y luego dividir la suma resultante por su número.

Al realizar tales cálculos, vale la pena recordar que el valor promedio siempre tiene la misma dimensión (o unidades) que la unidad individual de la población.

Condiciones para un cálculo correcto

La fórmula comentada anteriormente es muy simple y universal, por lo que es casi imposible equivocarse con ella. Sin embargo, siempre conviene considerar dos aspectos, de lo contrario los datos obtenidos no reflejarán la situación real.

clases de sv

Habiendo encontrado respuestas a las preguntas básicas: "¿Cuál es el valor promedio?", "¿Dónde se usa?" y “¿Cómo se puede calcular?”, vale la pena averiguar qué clases y tipos de SV existen.

En primer lugar, este fenómeno se divide en 2 clases. Estos son promedios estructurales y de potencia.

Tipos de SV de potencia

Cada una de las clases anteriores, a su vez, se divide en tipos. La clase tranquila tiene cuatro.

• La media aritmética es el tipo más común de VS. Es el término medio, para determinar el cual el volumen total de la característica considerada en un conjunto de datos se distribuye equitativamente entre todas las unidades de este conjunto.

  Este tipo se divide en subtipos: aritmética simple y ponderada SV.

• La media armónica es un indicador que es la inversa de la media aritmética simple, calculada a partir de los valores recíprocos de la característica considerada.

  Se utiliza en los casos en que se conocen los valores individuales del atributo y del producto, pero no los datos de frecuencia.

• La media geométrica se utiliza con mayor frecuencia al analizar las tasas de crecimiento. fenómenos económicos. Permite mantener inalterado el producto de los valores individuales de una cantidad determinada, y no la suma.

  También puede ser simple y equilibrado.

• Promedio cantidad cuadrática se utiliza al calcular indicadores individuales, como el coeficiente de variación, la caracterización del ritmo de producción del producto, etc.

  También se utiliza para calcular los diámetros medios de tuberías, ruedas, lados medios de un cuadrado y cifras similares.

  Como todos los demás tipos de promedios, la raíz cuadrática media puede ser simple y ponderada.

Tipos de cantidades estructurales

Además de los SV promedio, a menudo se utilizan en estadísticas. vistas estructurales. Son más adecuados para calcular las características relativas de los valores de una característica variable y estructura interna filas de distribución.

Hay dos tipos de este tipo.

Los valores medios se utilizan ampliamente en estadística. Los valores medios caracterizan los indicadores cualitativos de la actividad comercial: costes de distribución, beneficio, rentabilidad, etc.

Promedio - Esta es una de las técnicas de generalización comunes. Una correcta comprensión de la esencia del promedio determina su especial importancia en una economía de mercado, cuando el promedio, a través de lo individual y aleatorio, nos permite identificar lo general y necesario, identificar la tendencia de los patrones de desarrollo económico.

valor promedio - Se trata de indicadores generalizadores en los que se expresan los efectos de las condiciones y patrones generales del fenómeno en estudio.

Los promedios estadísticos se calculan sobre la base de datos de masa procedentes de observaciones de masas correctamente organizadas estadísticamente (continuas y selectivas). Sin embargo, el promedio estadístico será objetivo y típico si se calcula a partir de datos masivos para una población cualitativamente homogénea (fenómenos de masas). Por ejemplo, si se calcula el salario medio en cooperativas y empresas estatales y se extiende el resultado a toda la población, entonces el promedio es ficticio, ya que se calcula para una población heterogénea, y dicho promedio pierde todo significado.

Con la ayuda del promedio, se suavizan las diferencias en el valor de una característica que surgen por una razón u otra en unidades de observación individuales.

Por ejemplo, producción promedio El vendedor depende de muchas razones: calificaciones, experiencia, edad, forma de servicio, salud, etc.

La producción media refleja la propiedad general de toda la población.

El valor promedio es un reflejo de los valores de la característica en estudio, por lo tanto, se mide en la misma dimensión que esta característica.

Cada valor promedio caracteriza a la población en estudio según cualquier característica. Para obtener una comprensión completa y comprensiva de la población en estudio según una serie de características esenciales, en general es necesario contar con un sistema de valores promedio que pueda describir el fenómeno desde diferentes ángulos.

Hay diferentes promedios:

significado aritmetico;

significado geometrico;

Significado armonico;

cuadrado medio;

promedio cronológico.

Veamos algunos tipos de promedios que se utilizan con mayor frecuencia en estadística.

Significado aritmetico

La media aritmética simple (no ponderada) es igual a la suma de los valores individuales del atributo dividida por el número de estos valores.

Los valores individuales de una característica se denominan variantes y se denotan por x(); el número de unidades de población se denota por n, el valor promedio de la característica se denota por . Por tanto, la media aritmética simple es igual a:

Según los datos de la serie de distribución discreta, está claro que los mismos valores característicos (variantes) se repiten varias veces. Por tanto, la opción x aparece 2 veces en total, y la opción x 16 veces, etc.

El número de valores idénticos de una característica en la serie de distribución se llama frecuencia o peso y se denota con el símbolo n.

Calculemos el salario medio de un trabajador. en frotar.:

Fondo salarios para cada grupo de trabajadores igual al producto opciones por frecuencia, y la suma de estos productos da el fondo salarial total para todos los trabajadores.

De acuerdo con esto, los cálculos se pueden presentar en forma general:

La fórmula resultante se llama media aritmética ponderada.

Como resultado del procesamiento, el material estadístico se puede presentar no solo en forma de series de distribución discreta, sino también en forma de series de variación de intervalos con intervalos cerrados o abiertos.

El promedio de datos agrupados se calcula utilizando la fórmula del promedio aritmético ponderado:

En la práctica de las estadísticas económicas, a veces es necesario calcular el promedio utilizando promedios de grupo o promedios de partes individuales de la población (promedios parciales). En tales casos, se toman como opciones (x) promedios grupales o privados, a partir de los cuales se calcula el promedio general como promedio aritmético ponderado ordinario.

Propiedades básicas de la media aritmética. .

La media aritmética tiene varias propiedades:

1. El valor de la media aritmética no cambiará al disminuir o aumentar la frecuencia de cada valor de la característica x en n veces.

Si todas las frecuencias se dividen o multiplican por cualquier número, el valor promedio no cambiará.

2. El multiplicador común de los valores individuales de una característica puede llevarse más allá del signo del promedio:

3. El promedio de la suma (diferencia) de dos o más cantidades es igual a la suma (diferencia) de sus promedios:

4. Si x = c, donde c es un valor constante, entonces
.

5. La suma de las desviaciones de los valores del atributo X de la media aritmética x es igual a cero:

Significado armonico.

Junto a la media aritmética, la estadística utiliza la media armónica, la inversa de la media aritmética de los valores inversos del atributo. Al igual que la media aritmética, puede ser simple y ponderada.

Las características de las series de variación, junto con los promedios, son la moda y la mediana.

Moda - este es el valor de una característica (variante) que se repite con mayor frecuencia en la población en estudio. Para series de distribución discreta, la moda será el valor de la variante de mayor frecuencia.

Para series de distribución de intervalos con intervalos iguales, la moda está determinada por la fórmula:

Dónde
- valor inicial del intervalo que contiene el modo;

- el valor del intervalo modal;

- frecuencia del intervalo modal;

- frecuencia del intervalo que precede al modal;

- frecuencia del intervalo siguiente al modal.

Mediana - esta es una opción ubicada en el medio de la serie de variaciones. Si la serie de distribución es discreta y tiene un número impar de miembros, entonces la mediana será la opción ubicada en el medio de la serie ordenada (una serie ordenada es la disposición de las unidades de población en orden ascendente o descendente).

Cuando se empieza a hablar de promedios, la gente suele recordar cómo se graduaron de la escuela y cómo ingresaron a la universidad. institución educativa. Luego, según el certificado, se calculó GPA: se sumaron todas las calificaciones (tanto buenas como no tan buenas), la cantidad resultante se dividió por su número. Así se calcula el tipo de media más simple, que se denomina media aritmética simple. En la práctica, se utilizan estadísticas. diferentes tipos promedios: promedios aritméticos, armónicos, geométricos, cuadráticos, estructurales. Se utiliza uno u otro tipo en función de la naturaleza de los datos y de los fines del estudio.

valor promedio es el indicador estadístico más común, con la ayuda del cual se da una característica generalizada de un conjunto de fenómenos similares de acuerdo con una de las diferentes características. Muestra el nivel de una característica por unidad de población. Con la ayuda de valores medios, se comparan varios agregados según sus distintas características y se estudian los patrones de desarrollo de los fenómenos y procesos de la vida social.

En estadística, se utilizan dos clases de promedios: poder (analítico) y estructural. Estos últimos se utilizan para caracterizar la estructura de la serie de variación y se analizarán más adelante en el capítulo. 8.

El grupo de promedios de potencia incluye los promedios aritmético, armónico, geométrico y cuadrático. Las fórmulas individuales para su cálculo se pueden reducir a una forma común a todos los promedios de potencia, a saber

donde m es el exponente de la media potencia: con m = 1 obtenemos la fórmula para calcular la media aritmética, con m = 0 - la media geométrica, m = -1 - la media armónica, con m = 2 - la media cuadrática ;

x i - opciones (valores que toma el atributo);

f i - frecuencias.

La principal condición bajo la cual se pueden utilizar los promedios de poder en el análisis estadístico es la homogeneidad de la población, que no debe contener datos iniciales que difieran marcadamente en su valor cuantitativo (en la literatura se les llama observaciones anómalas).

Demostremos la importancia de esta condición con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.1. Calculemos el salario medio de los empleados de una pequeña empresa.

Tabla 6.1. salarios de los empleados

No.	Salario, frotar.	No.	Salario, frotar.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Para calcular el salario promedio, es necesario sumar los salarios acumulados por todos los empleados de la empresa (es decir, encontrar el fondo salarial) y dividir por el número de empleados:

Ahora agreguemos a nuestro total solo una persona (el director de esta empresa), pero con un salario de 50.000 rublos. En este caso, el promedio calculado será completamente diferente:

Como vemos, supera los 7.000 rublos, etc. es mayor que todos los valores de los atributos con excepción de una sola observación.

Para que tales casos no ocurran en la práctica y que el promedio no pierda su significado (en el ejemplo 6.1 ya no desempeña el papel de característica generalizadora de la población que debería ser), al calcular el promedio, anómalo, claramente las observaciones destacadas deben excluirse del análisis y los temas hacen que la población sea homogénea, o divide la población en grupos homogéneos y calcula los valores promedio para cada grupo y analiza no el promedio general, sino los valores promedio del grupo.

6.1. Media aritmética y sus propiedades.

La media aritmética se calcula como un valor simple o ponderado.

Al calcular el salario promedio de acuerdo con los datos de la tabla del ejemplo 6.1, sumamos todos los valores del atributo y los dividimos por su número. Escribiremos el progreso de nuestros cálculos en forma de fórmula de media aritmética simple.

donde x i - opciones (valores individuales de la característica);

n es el número de unidades en el agregado.

Ejemplo 6.2. Ahora agrupemos nuestros datos de la tabla del ejemplo 6.1, etc. Construyamos una serie de variación discreta de la distribución de trabajadores por nivel salarial. Los resultados de la agrupación se presentan en la tabla.

Escribamos la expresión para calcular el nivel salarial promedio en una forma más compacta:

En el ejemplo 6.2, se aplicó la fórmula de la media aritmética ponderada.

donde f i son frecuencias que muestran cuántas veces ocurre el valor del atributo x i y en unidades de población.

Es conveniente calcular el promedio ponderado aritmético en una tabla, como se muestra a continuación (Tabla 6.3):

Tabla 6.3. Cálculo de la media aritmética en una serie discreta.

Datos iniciales	Indicador estimado
salario, frotar.	número de empleados, personas	fondo salarial, frotar.
xyo	f yo	x si yo
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Total	20	132 080

Cabe señalar que la media aritmética simple se utiliza en los casos en que los datos no están agrupados ni agrupados, pero todas las frecuencias son iguales.

A menudo, los resultados de las observaciones se presentan en forma de una serie de distribución de intervalos (consulte la tabla del ejemplo 6.4). Luego, al calcular el promedio, los puntos medios de los intervalos se toman como x i. Si el primer y último intervalo están abiertos (no tienen uno de los límites), entonces están "cerrados" condicionalmente, tomando el valor del intervalo adyacente como el valor de este intervalo, etc. el primero se cierra según el valor del segundo, y el último, según el valor del penúltimo.

Ejemplo 6.3. Con base en los resultados de una encuesta por muestreo de uno de los grupos de población, calcularemos el monto del ingreso monetario promedio per cápita.

En la tabla anterior, la mitad del primer intervalo es 500. De hecho, el valor del segundo intervalo es 1000 (2000-1000); entonces el límite inferior del primero es 0 (1000-1000) y su medio es 500. Hacemos lo mismo con el último intervalo. Tomamos 25.000 como medio: el valor del penúltimo intervalo es 10.000 (20.000-10.000), luego su límite superior es 30.000 (20.000 + 10.000) y el medio, respectivamente, es 25.000.

Tabla 6.4. Cálculo de la media aritmética en una serie de intervalos.

Ingreso en efectivo promedio per cápita, frote. por mes	Población total, % f i	Puntos medios de intervalos x i	x si yo
Hasta 1.000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 y más	10,4	25 000	260 000
Total	100,0	-	892 850

Entonces el ingreso mensual promedio per cápita será

Este capítulo describe el propósito de los valores promedio, analiza sus principales tipos y formas, y los métodos de cálculo. Al estudiar el material presentado, es necesario comprender los requisitos para construir valores promedio, ya que su cumplimiento permite utilizar estos valores como características típicas de los valores de atributos para un conjunto de unidades homogéneas.

Formas y tipos de promedios.

valor promedio es una característica generalizada del nivel de valores de atributos, que se obtiene por unidad de población. A diferencia de tamano relativo, que es una medida de la proporción de indicadores, el valor promedio sirve como medida de la característica por unidad de población.

La propiedad más importante del valor promedio es que refleja lo que es común a todas las unidades de la población en estudio.

Los valores de los atributos de unidades individuales de la población fluctúan en una dirección u otra bajo la influencia de muchos factores, algunos de los cuales pueden ser significativos o aleatorios. Por ejemplo, las tasas de interés de los préstamos bancarios están determinadas por los factores iniciales para todas las instituciones de crédito (nivel las exigencias de reservas y el tipo de interés base para los préstamos concedidos a los bancos comerciales por el banco central, etc.), así como las características de cada transacción específica en función del riesgo inherente al préstamo, su tamaño y plazo de amortización, los costes de tramitación del préstamo y seguimiento de su amortización, etc.

El valor promedio resume los valores individuales de una característica y refleja la influencia de las condiciones generales que son más características de una población determinada en condiciones específicas de lugar y tiempo. La esencia del promedio radica en el hecho de que anula las desviaciones de los valores característicos de las unidades individuales de la población provocadas por la acción de factores aleatorios y tiene en cuenta los cambios provocados por la acción de los factores principales. El valor promedio reflejará el nivel típico de un rasgo en una población dada de unidades cuando se calcula a partir de una población cualitativamente homogénea. En este sentido, el método promedio se utiliza en combinación con el método de agrupación.

Los valores medios que caracterizan a la población en su conjunto se denominan general, y promedios, que reflejan las características de un grupo o subgrupo, - grupo.

La combinación de promedios generales y grupales permite realizar comparaciones en el tiempo y el espacio y amplía significativamente los límites del análisis estadístico. Por ejemplo, al resumir los resultados del censo de 2002, se encontró que para Rusia, como para la mayoría países europeos, caracterizado por una población que envejece. Comparado con el censo de 1989 edad promedio de los residentes del país aumentó en tres años y ascendió a 37,7 años, los hombres - 35,2 años, las mujeres - 40,0 años (según datos de 1989, estas cifras fueron 34,7, 31,9 y 37,2 años, respectivamente). Según Rosstat, en 2011 la esperanza de vida al nacer para los hombres era de 63 años y para las mujeres, de 75,6 años.

Cada promedio refleja la peculiaridad de la población estudiada según una característica. Para tomar decisiones prácticas, por regla general, es necesario caracterizar a la población según varias características. En este caso se utiliza un sistema de promedios.

Por ejemplo, para lograr el nivel requerido de rentabilidad de las operaciones con un nivel aceptable de riesgo en las actividades bancarias, las tasas de interés promedio de los préstamos emitidos se fijan teniendo en cuenta las tasas de interés promedio de los depósitos y otros instrumentos financieros.

La forma, tipo y método de cálculo del valor promedio dependen del propósito declarado del estudio, el tipo y relación de las características en estudio, así como de la naturaleza de los datos iniciales. Los promedios se dividen en dos categorías principales:

• 1) promedios de potencia;
• 2) promedios estructurales.

La fórmula del promedio está determinada por el valor de la potencia del promedio aplicado. Con exponente creciente k el valor medio aumenta en consecuencia.