Energía cinética y trabajo durante el movimiento de rotación. Energía cinética de un cuerpo rígido en rotación.

« Física - décimo grado"

¿Por qué un patinador se estira a lo largo del eje de rotación para aumentar la velocidad angular de rotación?
¿Debería girar un helicóptero cuando gira su rotor?

Las preguntas formuladas sugieren que si las fuerzas externas no actúan sobre el cuerpo o su acción se compensa y una parte del cuerpo comienza a girar en una dirección, entonces la otra parte debería girar en la otra dirección, al igual que cuando se expulsa combustible de un cohete, el propio cohete se mueve en la dirección opuesta.

Momento de impulso.

Si consideramos un disco en rotación, resulta obvio que el momento total del disco es cero, ya que cualquier partícula de un cuerpo corresponde a una partícula que se mueve con la misma velocidad, pero en la dirección opuesta (figura 6.9).

Pero el disco se mueve, la velocidad angular de rotación de todas las partículas es la misma. Sin embargo, está claro que cuanto más alejada está una partícula del eje de rotación, mayor es su momento. Por lo tanto, para movimiento rotacional es necesario introducir otra característica similar al impulso: el momento angular.

El momento angular de una partícula que se mueve en círculo es el producto del momento de la partícula y la distancia desde ella al eje de rotación (figura 6.10):

Las velocidades lineales y angulares están relacionadas por la relación v = ωr, entonces

Todos los puntos de un objeto sólido se mueven con respecto a un eje de rotación fijo con la misma velocidad angular. Un cuerpo sólido se puede representar como un conjunto de puntos materiales.

Momento de un cuerpo rígido igual al producto momento de inercia por velocidad angular de rotación:

El momento angular es una cantidad vectorial; según la fórmula (6.3), el momento angular se dirige de la misma manera que la velocidad angular.

La ecuación básica para la dinámica del movimiento de rotación en forma de pulso.

La aceleración angular de un cuerpo es igual al cambio en la velocidad angular dividido por el período de tiempo durante el cual ocurrió este cambio: Sustituya esta expresión en la ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación. por lo tanto I(ω 2 - ω 1) = MΔt, o IΔω = MΔt.

De este modo,

ΔL = MΔt. (6.4)

El cambio en el momento angular es igual al producto del momento total de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema y la duración de la acción de estas fuerzas.

Ley de conservación del momento angular:

Si el momento total de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos que tienen un eje de rotación fijo es igual a cero, entonces el cambio en el momento angular también es cero, es decir, el momento angular del sistema permanece constante.

ΔL = 0, L = constante.

El cambio en el momento del sistema es igual al momento total de las fuerzas que actúan sobre el sistema.

Un patinador en rotación extiende sus brazos hacia los lados, aumentando así el momento de inercia para reducir la velocidad angular de rotación.

La ley de conservación del momento angular se puede demostrar mediante el siguiente experimento, llamado "experimento del banco Zhukovsky". Una persona está parada sobre un banco cuyo centro pasa por un eje de rotación vertical. Un hombre sostiene pesas en sus manos. Si se hace girar el banco, la persona puede cambiar la velocidad de rotación presionando las mancuernas contra el pecho o bajando los brazos y luego levantándolos. Al extender los brazos, aumenta el momento de inercia y la velocidad angular de rotación disminuye (Fig. 6.11, a), al bajar los brazos, reduce el momento de inercia y la velocidad angular de rotación del banco aumenta (Fig. 6.11,b).

Una persona también puede hacer girar un banco caminando a lo largo de su borde. En este caso, el banco girará en la dirección opuesta, ya que el momento angular total debe permanecer igual a cero.

El principio de funcionamiento de los dispositivos llamados giroscopios se basa en la ley de conservación del momento angular. La propiedad principal de un giroscopio es mantener la dirección del eje de rotación si no actúan fuerzas externas sobre este eje. En el siglo 19 Los marineros utilizaban giroscopios para orientarse en el mar.

Energía cinética de un cuerpo rígido en rotación.

La energía cinética de un cuerpo sólido en rotación es igual a la suma de las energías cinéticas de sus partículas individuales. Dividamos el cuerpo en pequeños elementos, cada uno de los cuales puede considerarse un punto material. Entonces la energía cinética del cuerpo es igual a la suma de las energías cinéticas de los puntos materiales que lo componen:

La velocidad angular de rotación de todos los puntos del cuerpo es la misma, por tanto,

El valor entre paréntesis, como ya sabemos, es el momento de inercia del cuerpo rígido. Finalmente, la fórmula para la energía cinética de un cuerpo rígido que tiene un eje de rotación fijo tiene la forma

EN caso general movimiento de un cuerpo rígido, cuando el eje de rotación está libre, su energía cinética es igual a la suma de las energías del movimiento de traslación y rotación. Por tanto, la energía cinética de una rueda, cuya masa se concentra en la llanta, que rueda por la carretera a velocidad constante, es igual a

La tabla compara las fórmulas de la mecánica del movimiento de traslación de un punto material con fórmulas similares para el movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

La energía cinética es una cantidad aditiva. Por tanto, la energía cinética de un cuerpo que se mueve de forma arbitraria es igual a la suma de las energías cinéticas de los n puntos materiales en los que se puede dividir mentalmente este cuerpo:

Si un cuerpo gira alrededor de un eje estacionario z con velocidad angular, entonces la velocidad lineal i-ésimo punto , Ri – distancia al eje de rotación. Por eso,

En comparación, podemos ver que el momento de inercia del cuerpo I es una medida de inercia durante el movimiento de rotación, así como la masa m es una medida de inercia durante el movimiento de traslación.

En general, el movimiento sólido se puede representar como la suma de dos movimientos: traslacional con velocidad vc y rotacional con velocidad angular ω alrededor del eje instantáneo que pasa por el centro de inercia. Entonces la energía cinética total de este cuerpo

Aquí Ic es el momento de inercia respecto del eje de rotación instantáneo que pasa por el centro de inercia.

La ley básica de la dinámica del movimiento de rotación.

Dinámica del movimiento de rotación.

La ley básica de la dinámica del movimiento de rotación:

o M=Je, donde M es el momento de fuerza M=[ r F ] , J - momento de inercia es el momento de impulso de un cuerpo.

si M(externo)=0 - la ley de conservación del momento angular. - Energía cinética de un cuerpo en rotación.

trabajar en movimiento rotacional.

Ley de conservación del momento angular.

El momento angular (momento de movimiento) de un punto material A con respecto a un punto fijo O es una cantidad física determinada por el producto vectorial:

donde r es el vector de radio dibujado desde el punto O al punto A, p=mv es el momento del punto material (Fig. 1); L es un pseudovector, cuya dirección coincide con la dirección del movimiento de traslación de la hélice derecha cuando gira de r a r.

Módulo del vector de momento angular

donde α es el ángulo entre los vectores r y p, l es el brazo del vector p con respecto al punto O.

El momento angular con respecto a un eje fijo z es la cantidad escalar Lz, igual a la proyección sobre este eje del vector de momento angular definido con respecto a un punto arbitrario O de este eje. El momento angular Lz no depende de la posición del punto O en el eje z.

Cuando un cuerpo absolutamente rígido gira alrededor de un eje fijo z, cada punto del cuerpo se mueve a lo largo de un círculo de radio constante ri con una velocidad vi. La velocidad vi y el momento mivi son perpendiculares a este radio, es decir, el radio es un brazo del vector mivi. Esto significa que podemos escribir que el momento angular de una partícula individual es igual a

y se dirige a lo largo del eje en la dirección determinada por la regla del tornillo derecho.

El momento de un cuerpo sólido con respecto a un eje es la suma del momento angular de las partículas individuales:

Usando la fórmula vi = ωri, obtenemos

Así, el momento angular de un cuerpo rígido con respecto a un eje es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto al mismo eje, multiplicado por la velocidad angular. Diferenciamos la ecuación (2) con respecto al tiempo:

Esta fórmula es otra forma de la ecuación para la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo: la derivada del momento angular de un cuerpo rígido con respecto al eje es igual al momento de fuerza con respecto al mismo eje.

Se puede demostrar que existe una igualdad vectorial.

En un sistema cerrado, el momento de las fuerzas externas M = 0 y desde donde

La expresión (4) representa la ley de conservación del momento angular: el momento angular de un sistema cerrado se conserva, es decir, no cambia con el tiempo.

La ley de conservación del momento angular, así como la ley de conservación de la energía, es una ley fundamental de la naturaleza. Está asociado con la propiedad de simetría del espacio: su isotropía, es decir, con la invariancia de las leyes físicas con respecto a la elección de la dirección de los ejes de coordenadas del sistema de referencia (en relación con la rotación de un sistema cerrado en el espacio en cualquier ángulo).

Aquí demostraremos la ley de conservación del momento angular utilizando un banco de Zhukovsky. Una persona sentada en un banco que gira alrededor de un eje vertical y sostiene mancuernas con los brazos extendidos (Fig. 2) gira mediante un mecanismo externo con una velocidad angular ω1. Si una persona presiona las mancuernas contra su cuerpo, el momento de inercia del sistema disminuirá. Pero el momento de las fuerzas externas es cero, el momento angular del sistema se conserva y la velocidad angular de rotación ω2 aumenta. De manera similar, durante un salto por encima de la cabeza, una gimnasta presiona sus brazos y piernas hacia su cuerpo para reducir su momento de inercia y así aumentar la velocidad angular de rotación.

Presión en líquido y gas.

Las moléculas de gas, que realizan un movimiento caótico y caótico, no están conectadas o están más bien débilmente conectadas por fuerzas de interacción, por lo que se mueven casi libremente y, como resultado de las colisiones, se dispersan en todas direcciones, llenando todo el volumen que se les proporciona. , es decir, el volumen de gas está determinado por el volumen del recipiente ocupado por el gas.

Y el líquido, al tener un cierto volumen, toma la forma del recipiente en el que está encerrado. Pero a diferencia de los gases en los líquidos, la distancia promedio entre las moléculas permanece constante en promedio, por lo que el líquido tiene un volumen prácticamente sin cambios.

Las propiedades de los líquidos y los gases son muy diferentes en muchos aspectos, pero en varios fenómenos mecánicos sus propiedades están determinadas por los mismos parámetros y ecuaciones idénticas. Por ello, la hidroaeromecánica es una rama de la mecánica que estudia el equilibrio y el movimiento de gases y líquidos, la interacción entre ellos y entre los cuerpos sólidos que fluyen a su alrededor, es decir. Se aplica un enfoque unificado para el estudio de líquidos y gases.

En mecánica, los líquidos y gases se consideran con un alto grado de precisión como sólidos, distribuidos continuamente en la parte del espacio que ocupan. En el caso de los gases, la densidad depende significativamente de la presión. Se ha establecido a partir de la experiencia. que a menudo se puede descuidar la compresibilidad de líquidos y gases y es aconsejable utilizar un concepto único: la incompresibilidad de un líquido, un líquido con la misma densidad en todas partes, que no cambia con el tiempo.

Coloquemos una placa delgada en reposo, como resultado, partes del líquido ubicadas en diferentes lados de la placa actuarán sobre cada uno de sus elementos ΔS con fuerzas ΔF, las cuales serán iguales en magnitud y dirigidas perpendicularmente a la plataforma ΔS, independientemente de la orientación de la plataforma, de lo contrario la presencia de fuerzas tangenciales pondría en movimiento las partículas del líquido (Fig. 1)

Una cantidad física determinada por la fuerza normal que actúa sobre un líquido (o gas) por unidad de área se llama presión p/ del líquido (o gas): p=ΔF/ΔS.

La unidad de presión es pascal (Pa): 1 Pa es igual a la presión creada por una fuerza de 1 N, que se distribuye uniformemente sobre una superficie normal a ella con un área de 1 m2 (1 Pa = 1 N/ m2).

La presión en el equilibrio de líquidos (gases) obedece a la ley de Pascal: la presión en cualquier lugar de un líquido en reposo es la misma en todas las direcciones y la presión se transmite por igual a todo el volumen ocupado por el líquido en reposo.

Estudiemos el efecto del peso del líquido sobre la distribución de presiones dentro de un líquido estacionario incompresible. Cuando un fluido está en equilibrio, la presión a lo largo de cualquier línea horizontal es siempre la misma; de lo contrario no habría equilibrio. Esto significa que la superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal (no tenemos en cuenta la atracción del líquido por las paredes del recipiente). Si un fluido es incompresible, entonces su densidad no depende de la presión. Entonces en sección transversal S de la columna de líquido, su altura h y densidad ρ, peso P=ρgSh, mientras que la presión en la base inferior: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

es decir, la presión varía linealmente con la altitud. La presión ρgh se llama presión hidrostática.

Según la fórmula (1), la fuerza de presión sobre las capas inferiores del líquido será mayor que sobre las capas superiores, por lo tanto, sobre un cuerpo sumergido en un líquido actúa una fuerza determinada por la ley de Arquímedes: un cuerpo sumergido en sobre un líquido (gas) actúa una fuerza dirigida desde el lado de este líquido hacia arriba, una fuerza de flotación, igual al peso líquido (gas) desplazado por el cuerpo: FA = ρgV, donde ρ es la densidad del líquido, V es el volumen del cuerpo sumergido en el líquido.

Energía cinética de rotación.

Tema 3. Dinámica del cuerpo rígido.

Esquema de la conferencia

3.1. Momento de poder.

3.2. Ecuaciones básicas del movimiento de rotación. Momento de inercia.

3.3. Energía cinética de rotación.

3.4. Momento de impulso. Ley de conservación del momento angular.

3.5. Analogía entre movimiento de traslación y rotación.

Momento de poder

Consideremos el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Sea el cuerpo rígido un eje de rotación fijo OO ( Fig.3.1) y se le aplica una fuerza arbitraria.

Arroz. 3.1

Descompongamos la fuerza en dos componentes de la fuerza, la fuerza se encuentra en el plano de rotación y la fuerza es paralela al eje de rotación. Luego descompondremos la fuerza en dos componentes: – que actúa a lo largo del radio vector y – perpendicular a él.

No todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo lo harán girar. Las fuerzas crean presión sobre los cojinetes, pero no los hacen girar.

Una fuerza puede o no desequilibrar un cuerpo, dependiendo de en qué parte del radio vector se aplique. Por tanto, se introduce el concepto de momento de fuerza respecto de un eje. Un momento de poder con respecto al eje de rotación se llama producto vectorial del radio vector y la fuerza.

El vector se dirige a lo largo del eje de rotación y está determinado por la regla del producto cruzado, la regla del tornillo derecho o la regla de barrena.

Módulo de momento de fuerza

donde α es el ángulo entre los vectores y .

De la figura 3.1. está claro que .

r 0– la distancia más corta desde el eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza se llama hombro de la fuerza. Entonces el momento de fuerza se puede escribir

M = F r 0 . (3.3)

De la Fig. 3.1.

Dónde F– proyección del vector en la dirección perpendicular al radio vector. En este caso, el momento de fuerza es igual a

. (3.4)

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, entonces el momento de fuerza resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas individuales, pero como todos los momentos están dirigidos a lo largo del eje, pueden reemplazarse por una suma algebraica. El momento se considerará positivo si gira el cuerpo en el sentido de las agujas del reloj y negativo si gira en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si todos los momentos de las fuerzas () son iguales a cero, el cuerpo estará en equilibrio.

El concepto de par se puede demostrar mediante una "bobina caprichosa". El carrete de hilo se tira por el extremo libre del hilo ( arroz. 3.2).

Arroz. 3.2

Dependiendo del sentido de la tensión del hilo, la bobina rueda en una dirección u otra. Si se tira en ángulo α , entonces el momento de la fuerza con respecto al eje ACERCA DE(perpendicular a la figura) gira la bobina en sentido antihorario y retrocede. En caso de tensión en ángulo. β el par se dirige en sentido antihorario y el carrete rueda hacia adelante.

Utilizando la condición de equilibrio (), es posible construir mecanismos simples que sean "transformadores" de fuerza, es decir Con menos fuerza puedes levantar y mover diferentes pesos carga. Palancas, carretillas y bloques se basan en este principio. varios tipos, que son ampliamente utilizados en la construcción. Cumplir con la condición de equilibrio en la construcción. grúas Para compensar el momento de fuerza provocado por el peso de la carga, siempre existe un sistema de contrapesos que crea un momento de fuerza de signo opuesto.

3.2. Ecuación básica de rotación.
movimientos. Momento de inercia

Considere un cuerpo absolutamente rígido que gira alrededor de un eje fijo. OOO(Fig.3.3). Dividamos mentalmente este cuerpo en elementos con masas Δ metro 1, Δ metros 2, …, Δ mn. Cuando se giran, estos elementos describirán círculos con radios. r 1,r 2 , …,rn. Las fuerzas actúan sobre cada elemento en consecuencia. F 1,F 2 , …,fn. Rotación de un cuerpo alrededor de un eje. OOO ocurre bajo la influencia del par completo METRO.

METRO = METRO 1 + METRO 2 + … + METRO norte (3.4)

Dónde M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Según la ley II de Newton, toda fuerza F, actuando sobre un elemento de masa D metro, provoca la aceleración de este elemento a, es decir.

F yo = D m i a i (3.5)

Sustituyendo los valores correspondientes en (3.4), obtenemos

Arroz. 3.3

Conociendo la relación entre la aceleración angular lineal ε () y que la aceleración angular es la misma para todos los elementos, la fórmula (3.6) tendrá la forma

METRO = (3.7)

=I (3.8)

I– momento de inercia del cuerpo con respecto al eje fijo.

Entonces obtendremos

M = yo ε (3.9)

O en forma vectorial

(3.10)

Esta ecuación es la ecuación básica para la dinámica del movimiento de rotación. Tiene una forma similar a la ecuación II de la ley de Newton. De (3.10) el momento de inercia es igual a

Por tanto, el momento de inercia de un cuerpo dado es la relación entre el momento de fuerza y ​​la aceleración angular que provoca. De (3.11) queda claro que el momento de inercia es una medida de la inercia de un cuerpo con respecto al movimiento de rotación. El momento de inercia juega el mismo papel que la masa en el movimiento de traslación. unidad SI [ I] = kg m 2. De la fórmula (3.7) se deduce que el momento de inercia caracteriza la distribución de masas de partículas corporales con respecto al eje de rotación.

Entonces, el momento de inercia de un elemento de masa ∆m que se mueve en un círculo de radio r es igual a

yo = r2 D metro (3.12)

yo= (3.13)

Cuando distribución continua la suma de masas se puede reemplazar por la integral

Yo= ∫ r 2 dm (3.14)

donde la integración se realiza sobre toda la masa corporal.

Esto muestra que el momento de inercia de un cuerpo depende de la masa y de su distribución con respecto al eje de rotación. Esto se puede demostrar experimentalmente ( Fig.3.4).

Arroz. 3.4

Dos cilindros redondos, uno hueco (por ejemplo, de metal) y otro macizo (de madera), con las mismas longitudes, radios y masas, comienzan a rodar simultáneamente. Un cilindro hueco con gran momento inercia, quedará por detrás del sólido.

El momento de inercia se puede calcular si se conoce la masa. metro y su distribución con respecto al eje de rotación. El caso más simple es un anillo, cuando todos los elementos de la masa están ubicados igualmente desde el eje de rotación ( arroz. 3.5):

yo = (3.15)

Arroz. 3.5

Presentemos expresiones para los momentos de inercia de varios cuerpos de masa simétricos. metro.

1. Momento de inercia anillos, cilindro hueco de pared delgada con respecto al eje de rotación que coincide con el eje de simetría.

, (3.16)

r– radio del anillo o cilindro

2. Para un cilindro sólido y un disco, el momento de inercia con respecto al eje de simetría

(3.17)

3. Momento de inercia de la pelota respecto de un eje que pasa por el centro.

(3.18)

r– radio de la bola

4. Momento de inercia de una varilla delgada de gran longitud. yo con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por su centro

(3.19)

yo– longitud de la varilla.

Si el eje de rotación no pasa por el centro de masa, entonces el momento de inercia del cuerpo con respecto a este eje está determinado por el teorema de Steiner.

(3.20)

Según este teorema, el momento de inercia alrededor de un eje arbitrario O'O' ( ) es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa del cuerpo ( ) más el producto de la masa corporal por el cuadrado de la distancia A entre ejes ( arroz. 3.6).

Arroz. 3.6

Energía cinética de rotación.

Consideremos la rotación de un cuerpo absolutamente rígido alrededor de un eje fijo OO con velocidad angular ω (arroz. 3.7). Dividamos el cuerpo sólido en norte masas elementales ∆yo yo. Cada elemento de masa gira a lo largo de un círculo de radio. r yo con velocidad lineal (). La energía cinética consiste en las energías cinéticas de elementos individuales.

(3.21)

Arroz. 3.7

Recordemos de (3.13) que – momento de inercia con respecto al eje OO.

Por tanto, la energía cinética de un cuerpo en rotación.

mi k = (3.22)

Consideramos la energía cinética de rotación alrededor de un eje fijo. Si un cuerpo participa en dos movimientos: traslación y rotación, entonces la energía cinética del cuerpo consiste en la energía cinética del movimiento de traslación y la energía cinética de rotación.

Por ejemplo, una bola de masa metro rollos; el centro de masa de la pelota se mueve traslacionalmente a una velocidad tu (arroz. 3.8).

Arroz. 3.8

La energía cinética total de la pelota será igual a

(3.23)

3.4. Momento de impulso. Ley de Conservación
momento angular

Cantidad física igual al producto del momento de inercia I a la velocidad angular ω , se llama momento angular (momento angular) l respecto al eje de rotación.

– el momento angular es una cantidad vectorial y su dirección coincide con la dirección de la velocidad angular.

Derivando la ecuación (3.24) con respecto al tiempo, obtenemos

Dónde, METRO– momento total de fuerzas externas. En un sistema aislado no existe par de fuerzas externas ( METRO=0) y

La expresión para la energía cinética de un cuerpo en rotación, teniendo en cuenta que la velocidad lineal de un punto material arbitrario que compone el cuerpo con respecto al eje de rotación es igual, tiene la forma

¿Dónde está el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación seleccionado, su velocidad angular con respecto a este eje y el momento angular del cuerpo con respecto al eje de rotación?

Si un cuerpo sufre un movimiento de rotación traslacional, entonces el cálculo de la energía cinética depende de la elección del polo con respecto al cual se describe el movimiento del cuerpo. El resultado final será el mismo. Entonces, si para un cuerpo redondo que rueda con velocidad v sin deslizarse con radio R y coeficiente de inercia k, el polo se toma en su CM, en el punto C, entonces su momento de inercia es , y la velocidad angular de rotación alrededor del eje C es. Entonces la energía cinética del cuerpo es .

Si el polo se toma en el punto O de contacto entre el cuerpo y la superficie a través de la cual pasa el eje instantáneo de rotación del cuerpo, entonces su momento de inercia con respecto al eje O será igual . Entonces la energía cinética del cuerpo, teniendo en cuenta que las velocidades angulares de rotación del cuerpo son las mismas con respecto a los ejes paralelos y el cuerpo realiza una rotación pura alrededor del eje O, será igual a . El resultado es el mismo.

El teorema sobre la energía cinética de un cuerpo que realiza un movimiento complejo tendrá la misma forma que para su movimiento de traslación: .

Ejemplo 1. Un cuerpo de masa m está unido al extremo de un hilo enrollado alrededor de un bloque cilíndrico de radio R y masa M. El cuerpo se eleva a una altura h y se suelta (Fig. 65). Después de un tirón inelástico del hilo, el cuerpo y el bloque inmediatamente comienzan a moverse juntos. ¿Cuánto calor se liberará durante la sacudida? ¿Cuál será la aceleración del cuerpo y la tensión del hilo después del tirón? ¿Cuál será la velocidad del cuerpo y la distancia recorrida después de tirar del hilo después del tiempo t?

Dado: M, R, m, h, g, t. Encontrar: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Solución: Velocidad del cuerpo antes de que el hilo se sacuda. Después de un tirón del hilo, el bloque y el cuerpo entrarán en movimiento de rotación con respecto al eje del bloque O y se comportarán como cuerpos con momentos de inercia con respecto a este eje iguales a y . Su momento total de inercia respecto del eje de rotación.

La sacudida del hilo es un proceso rápido y durante una sacudida se cumple la ley de conservación del momento angular del sistema bloque-cuerpo, que, debido a que el cuerpo y el bloque inmediatamente después de la sacudida comienzan a moverse juntos, tiene la forma : . ¿De dónde proviene la velocidad angular inicial de rotación del bloque? , y la velocidad lineal inicial del cuerpo. .

La energía cinética del sistema, debida a la conservación de su momento angular, inmediatamente después de las sacudidas del hilo, es igual a . El calor liberado durante el tirón según la ley de conservación de la energía.

Las ecuaciones dinámicas de movimiento de los cuerpos del sistema después de un tirón del hilo no dependen de su velocidad inicial. Para un bloque tiene la forma o, y para el cuerpo. Sumando estas dos ecuaciones obtenemos . ¿De dónde viene la aceleración del movimiento del cuerpo? tensión del hilo

Las ecuaciones cinemáticas del movimiento del cuerpo después de un tirón tendrán la forma , donde se conocen todos los parámetros.

Respuesta: . .

Ejemplo 2. Dos cuerpos redondos con coeficientes de inercia (cilindro hueco) y (bola) ubicados en la base de un plano inclinado con un ángulo de inclinación. α informan velocidades iniciales idénticas dirigidas hacia arriba a lo largo del plano inclinado. ¿A qué altura y en qué tiempo alcanzarán los cuerpos esa altura? ¿Cuáles son las aceleraciones de los cuerpos ascendentes? ¿Cuántas veces difieren las alturas, tiempos y aceleraciones de los cuerpos? Los cuerpos se mueven a lo largo de un plano inclinado sin deslizarse.

Dado: . Encontrar:

Solución: El cuerpo es influenciado por: gravedad m gramo, reacción en plano inclinado norte y la fuerza de fricción del embrague (Fig. 67). El trabajo de la reacción normal y la fuerza de fricción de adhesión (no hay deslizamiento y no se libera calor en el punto de adhesión del cuerpo y el avión) son iguales a cero: , por tanto, para describir el movimiento de los cuerpos es posible utilizar la ley de conservación de la energía: . Dónde .

Encontraremos los tiempos y aceleraciones del movimiento de los cuerpos a partir de ecuaciones cinemáticas. . Dónde , . La relación de alturas, tiempos y aceleraciones de los cuerpos elevadores:

Respuesta: , , , .

Ejemplo 3. Una bala de masa , que vuela a gran velocidad, golpea el centro de una bola de masa M y radio R, unida al extremo de una varilla de masa m y longitud l, suspendida en el punto O por su segundo extremo, y sale volando de ella. con velocidad (Fig. 68). Encuentre la velocidad angular de rotación del sistema varilla-bola inmediatamente después del impacto y el ángulo de desviación de la varilla después del impacto de la bala.

Dado: . Encontrar:

Solución: Momentos de inercia de la varilla y la bola con respecto al punto de suspensión O de la varilla según el teorema de Steiner: y . Momento de inercia total del sistema varilla-bola . El impacto de una bala es un proceso rápido y se cumple la ley de conservación del momento angular del sistema bala-varilla-bola (los cuerpos después de una colisión entran en movimiento de rotación): . ¿De dónde proviene la velocidad angular del movimiento del sistema varilla-bola inmediatamente después del impacto?

Posición del CM del sistema varilla-bola respecto al punto de suspensión O: . La ley de conservación de la energía para el CM de un sistema después de un impacto, teniendo en cuenta la ley de conservación del momento angular del sistema en el momento del impacto, tiene la forma. ¿Desde dónde aumenta la altura del CM del sistema después de un impacto? . El ángulo de desviación de la varilla después del impacto está determinado por la condición. .

Respuesta: , , .

Ejemplo 4. Un bloque se presiona con una fuerza N contra un cuerpo redondo de masa m y radio R, con un coeficiente de inercia k, que gira con una velocidad angular. ¿Cuánto tiempo tardará el cilindro en detenerse y cuánto calor se liberará cuando la almohadilla roce el cilindro durante este tiempo? El coeficiente de fricción entre el bloque y el cilindro es .

Dado: Encontrar:

Solución: El trabajo realizado por la fuerza de fricción antes de que el cuerpo se detenga según el teorema de la energía cinética es igual a . Calor liberado durante la rotación. .

La ecuación del movimiento de rotación de un cuerpo tiene la forma. ¿De dónde viene la aceleración angular de su lenta rotación? . El tiempo que tarda un cuerpo en girar hasta detenerse.

Respuesta: , .

Ejemplo 5. Un cuerpo redondo de masa m y radio R con un coeficiente de inercia k se hace girar a una velocidad angular en sentido antihorario y se coloca sobre una superficie horizontal adyacente a una pared vertical (figura 70). ¿Cuánto tiempo tardará el cuerpo en detenerse y cuántas revoluciones dará antes de detenerse? ¿Cuál será la cantidad de calor que se liberará cuando el cuerpo frote contra la superficie durante este tiempo? El coeficiente de fricción del cuerpo sobre la superficie es igual a .

Dado: . Encontrar:

Solución: El calor liberado durante la rotación de un cuerpo hasta que se detiene es igual al trabajo de las fuerzas de fricción, que se puede encontrar utilizando el teorema de la energía cinética de un cuerpo. Tenemos.

Reacción en el plano horizontal. Fuerzas de fricción que actúan sobre un cuerpo desde las direcciones horizontal y superficies verticales son iguales: y .Del sistema de estas dos ecuaciones obtenemos y .

Teniendo en cuenta estas relaciones, la ecuación del movimiento de rotación de un cuerpo tiene la forma (. De donde la aceleración angular de rotación del cuerpo es igual a. Luego, el tiempo de rotación del cuerpo antes de detenerse y el número de revoluciones que realiza marcas.

Respuesta: , , , .

Ejemplo 6. Un cuerpo redondo con un coeficiente de inercia k rueda sin deslizarse desde la parte superior de un hemisferio de radio R que se encuentra sobre una superficie horizontal (Fig. 71). ¿A qué altura y con qué velocidad se desprenderá del hemisferio y con qué velocidad caerá sobre una superficie horizontal?

Dado: k, gramo, R. Encontrar:

Solución: Las fuerzas actúan sobre el cuerpo. . Trabajo y 0, (no hay deslizamiento y no se libera calor en el punto de unión del hemisferio y la bola), por lo tanto, para describir el movimiento de un cuerpo es posible utilizar la ley de conservación de la energía. Segunda ley de Newton para el CM de un cuerpo en el punto de su separación del hemisferio, teniendo en cuenta que en este punto tiene la forma , de donde . La ley de conservación de la energía para el punto inicial y el punto de separación del cuerpo tiene la forma . De donde la altura y la velocidad de separación del cuerpo del hemisferio son iguales, .

Después de que el cuerpo se separa del hemisferio, solo cambia su energía cinética de traslación, por lo que la ley de conservación de la energía para los puntos de separación y caída del cuerpo al suelo tiene la forma . De donde, teniendo en cuenta obtenemos . Para un cuerpo que se desliza a lo largo de la superficie de un hemisferio sin fricción, k=0 y , , .

Respuesta: , , .

La energía cinética de un cuerpo en rotación es igual a la suma de las energías cinéticas de todas las partículas del cuerpo:

La masa de una partícula, su velocidad lineal (circunferencial), proporcional a la distancia de esta partícula al eje de rotación. Sustituyendo en esta expresión y tomando del signo de la suma la velocidad angular o común para todas las partículas, encontramos:

Esta fórmula para la energía cinética de un cuerpo en rotación se puede llevar a una forma similar a la expresión para la energía cinética del movimiento de traslación si introducimos el valor del llamado momento de inercia del cuerpo. El momento de inercia de un punto material es el producto de la masa del punto por el cuadrado de su distancia al eje de rotación. El momento de inercia de un cuerpo es la suma de los momentos de inercia de todos los puntos materiales del cuerpo:

Entonces, la energía cinética de un cuerpo en rotación está determinada por la siguiente fórmula:

La fórmula (2) se diferencia de la fórmula que determina la energía cinética de un cuerpo en movimiento de traslación en que en lugar de la masa del cuerpo incluye el momento de inercia I y en lugar de la velocidad la velocidad del grupo.

La gran energía cinética de un volante giratorio se utiliza en tecnología para mantener el funcionamiento uniforme de la máquina bajo cargas que cambian repentinamente. Inicialmente, para hacer girar un volante con un gran momento de inercia, se requiere una cantidad significativa de trabajo de la máquina, pero cuando se enciende repentinamente una gran carga, la máquina no se detiene y realiza el trabajo utilizando la reserva. de energía cinética del volante.

En los laminadores accionados por un motor eléctrico se utilizan volantes especialmente macizos. Aquí hay una descripción de una de estas ruedas: “La rueda tiene un diámetro de 3,5 m y pesa velocidad normal A 600 rpm, la reserva de energía cinética de la rueda es tal que en el momento de rodar, la rueda da al molino una potencia de 20.000 CV. Con. La fricción en los cojinetes se reduce al mínimo mediante el rodamiento bajo presión y, para evitar los efectos nocivos de las fuerzas centrífugas de inercia, la rueda se equilibra de modo que una carga colocada sobre la circunferencia de la rueda la saque del reposo. "

Presentemos (sin realizar cálculos) los valores de los momentos de inercia de algunos cuerpos (se supone que cada uno de estos cuerpos tiene la misma densidad en todas sus áreas).

El momento de inercia de un anillo delgado con respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su plano (Fig.55):

El momento de inercia de un disco circular (o cilindro) alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su plano (momento polar de inercia del disco; Fig. 56):

El momento de inercia de un disco redondo delgado con respecto a un eje que coincide con su diámetro (momento de inercia ecuatorial del disco; Fig. 57):

El momento de inercia de la pelota con respecto al eje que pasa por el centro de la pelota:

Momento de inercia de una delgada capa esférica de radio alrededor de un eje que pasa por el centro:

El momento de inercia de una capa esférica gruesa (una bola hueca con un radio Superficie exterior y radio de la cavidad ) con respecto al eje que pasa por el centro:

Los momentos de inercia de los cuerpos se calculan mediante cálculo integral. Para dar una idea del progreso de tales cálculos, encontremos el momento de inercia de la varilla con respecto al eje perpendicular a ella (Fig. 58). Sea una sección transversal de la varilla, densidad. Seleccionemos una pequeña parte elemental de la varilla, que tiene una longitud y está ubicada a una distancia x del eje de rotación. Entonces su masa Como está a una distancia x del eje de rotación, su momento de inercia está integrado en el rango de cero a I:

Momento de inercia de un paralelepípedo rectangular con respecto al eje de simetría (Fig.59)

Momento de inercia del toro anular (Fig.60)

Consideremos cómo la energía de rotación de un cuerpo que rueda (sin deslizarse) a lo largo de un plano está relacionada con la energía del movimiento de traslación de este cuerpo,

La energía del movimiento de traslación de un cuerpo rodante es igual a , donde está la masa del cuerpo y la velocidad del movimiento de traslación. Denotemos la velocidad angular de rotación de un cuerpo rodante y el radio del cuerpo. Es fácil entender que la velocidad del movimiento de traslación de un cuerpo que rueda sin deslizarse es igual a la velocidad periférica del cuerpo en los puntos de contacto del cuerpo con el plano (durante el tiempo en que el cuerpo hace una revolución, el centro de gravedad del cuerpo se mueve una distancia, por lo tanto,

De este modo,

Energía de rotación

por eso,

Sustituyendo aquí los valores anteriores de los momentos de inercia, encontramos que:

a) la energía del movimiento de rotación de un aro rodante es igual a la energía de su movimiento de traslación;

b) la energía de rotación de un disco homogéneo rodante es igual a la mitad de la energía del movimiento de traslación;

c) la energía de rotación de una bola homogénea que rueda es la energía del movimiento de traslación.

Dependencia del momento de inercia de la posición del eje de rotación. Dejemos que la varilla (Fig. 61) con el centro de gravedad en el punto C gire con velocidad angular (o alrededor del eje O, perpendicular al plano del dibujo. Supongamos que durante un cierto período de tiempo se ha movido de su posición A B y el centro de gravedad ha descrito un arco. Este movimiento de la varilla se puede considerar como si la varilla primero se moviera de forma traslacional (es decir, permaneciendo paralela a sí misma) hasta la posición y luego girara alrededor de C hasta la posición. Denotemos (la distancia). del centro de gravedad desde el eje de rotación) por a, y el ángulo por Cuando la varilla se mueve de la posición A B a la posición, el movimiento de cada una de sus partículas es el mismo que el movimiento del centro de gravedad, es decir, es igual a o Para obtener el movimiento real de la varilla, podemos suponer que ambos movimientos indicados ocurren simultáneamente. De acuerdo con esto, la energía cinética de la varilla que gira con velocidad angular alrededor de un eje que pasa por O se puede descomponer en dos. partes.