Propiedades de raíces, formulaciones, pruebas, ejemplos. Lección "raíz cuadrada de una fracción" La raíz de un producto es igual al producto

La raíz cuadrada de un número es un número cuyo cuadrado es igual a a. Por ejemplo, los números -5 y 5 son raíces cuadradas del número 25. Es decir, las raíces de la ecuación x^2=25 son las raíces cuadradas del número 25. Ahora necesitas aprender a trabajar con el cuadrado. Operación raíz: estudia sus propiedades básicas.

Raíz cuadrada del producto

√(a*b) =√a*√b

Raíz cuadrada del producto de dos números no negativos es igual al producto raíces cuadradas a partir de estos números. Por ejemplo, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Es importante entender que esta propiedad también se aplica al caso en que la expresión radical es producto de tres, cuatro, etc. factores no negativos.

A veces existe otra formulación de esta propiedad. Si a y b son números no negativos, entonces se cumple la siguiente igualdad: √(a*b) =√a*√b. No hay absolutamente ninguna diferencia entre ellos; puedes usar una u otra formulación (que te resulte más conveniente recordar).

Raíz cuadrada de una fracción

Si a>=0 y b>0, entonces se cumple la siguiente igualdad:

√(a/b) =√a/√b.

Por ejemplo, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Esta propiedad también tiene una formulación diferente, que, en mi opinión, es más conveniente para la memorización.
La raíz cuadrada del cociente es igual al cociente de las raíces.

Vale la pena señalar que estas fórmulas funcionan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. Es decir, si es necesario, podemos representar el producto de raíces como raíz de un producto. Lo mismo se aplica a la segunda propiedad.

Como habrás notado, estas propiedades son muy convenientes y me gustaría tener las mismas propiedades para la suma y la resta:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Pero lamentablemente tales propiedades son cuadradas. no tener raíces, y por eso es tan no se puede hacer en los cálculos.

En esta sección consideraremos raíces cuadradas aritméticas.

En el caso de una expresión radical literal, asumiremos que las letras contenidas bajo el signo raíz denotan números no negativos.

1. La raíz de la obra.

Consideremos este ejemplo.

Por otro lado, ten en cuenta que el número 2601 es el producto de dos factores, de los cuales se puede extraer fácilmente la raíz:

Tomemos la raíz cuadrada de cada factor y multipliquemos estas raíces:

Obtuvimos los mismos resultados cuando extrajimos la raíz del producto debajo de la raíz y cuando extrajimos la raíz de cada factor por separado y multiplicamos los resultados.

En muchos casos, el segundo método es más fácil para encontrar el resultado, ya que hay que sacar la raíz de números más pequeños.

Teorema 1. Para extraer la raíz cuadrada de un producto, puedes extraerla de cada factor por separado y multiplicar los resultados.

Demostremos el teorema para tres factores, es decir, demostraremos la igualdad:

Realizaremos la demostración por verificación directa, a partir de la definición de raíz aritmética. Digamos que necesitamos probar la igualdad:

(A y B son números no negativos). Según la definición de raíz cuadrada, esto significa que

Por lo tanto, basta con elevar al cuadrado el lado derecho de la igualdad que se está demostrando y asegurarse de que se obtiene la expresión radical del lado izquierdo.

Apliquemos este razonamiento a la prueba de igualdad (1). Cuadremos el lado derecho; pero en el lado derecho está el producto, y para elevar el producto al cuadrado basta con elevar al cuadrado cada factor y multiplicar los resultados (ver § 40);

El resultado es una expresión radical en el lado izquierdo. Esto significa que la igualdad (1) es verdadera.

Hemos demostrado el teorema para tres factores. Pero el razonamiento seguirá siendo el mismo si hay 4, etc. factores bajo la raíz. El teorema es válido para cualquier número de factores.

El resultado se encuentra fácilmente por vía oral.

2. Raíz de una fracción.

calculemos

Examen.

Por otro lado,

Demostremos el teorema.

Teorema 2. Para extraer la raíz de una fracción, puedes extraer la raíz por separado del numerador y denominador y dividir el primer resultado por el segundo.

Se requiere acreditar la validez de la igualdad:

Para demostrar esto utilizaremos el método con el que se demostró el teorema anterior.

Cuadremos el lado derecho. Tendrá:

Tenemos una expresión radical en el lado izquierdo. Esto significa que la igualdad (2) es verdadera.

Entonces, hemos probado las siguientes identidades:

y formuló las reglas correspondientes para extraer la raíz cuadrada del producto y el cociente. En ocasiones al realizar transformaciones hay que aplicar estas identidades, leyéndolas de derecha a izquierda.

Reorganizando los lados izquierdo y derecho, reescribimos las identidades probadas de la siguiente manera:

Para multiplicar raíces, puedes multiplicar expresiones radicales y extraer la raíz del producto.

Para separar raíces, puedes separar expresiones radicales y extraer la raíz del cociente.

3. Raíz del grado.

calculemos

Volví a mirar el cartel... ¡Y vamos!

Comencemos con algo simple:

Solo un minuto. esto, lo que significa que podemos escribirlo así:

¿Entiendo? Aquí tienes el siguiente:

¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:

¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:

Ahora completamente solo:

Respuestas:¡Bien hecho! De acuerdo, todo es muy fácil, ¡lo principal es conocer la tabla de multiplicar!

División de raíces

Hemos resuelto la multiplicación de raíces, ahora pasemos a la propiedad de la división.

Permítanme recordarles que la fórmula en vista general tiene este aspecto:

Lo que significa que la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces.

Bueno, veamos algunos ejemplos:

Eso es todo lo que es la ciencia. He aquí un ejemplo:

No todo es tan sencillo como en el primer ejemplo, pero, como puedes ver, no hay nada complicado.

¿Qué pasa si te encuentras con esta expresión?

Sólo necesitas aplicar la fórmula en la dirección opuesta:

Y aquí hay un ejemplo:

También puedes encontrarte con esta expresión:

Todo es igual, solo que aquí debes recordar cómo traducir fracciones (si no lo recuerdas, ¡mira el tema y regresa!). ¿Te acuerdas? ¡Ahora decidamos!

Estoy seguro de que lo has hecho todo, ahora intentemos levantar las raíces un poco.

exponenciación

¿Qué pasa si la raíz cuadrada se eleva al cuadrado? Es simple, recuerda el significado de la raíz cuadrada de un número: este es un número cuya raíz cuadrada es igual a.

Entonces, si elevamos al cuadrado un número cuya raíz cuadrada es igual, ¿qué obtenemos?

Bueno, ¡por supuesto!

Veamos ejemplos:

Es simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si la raíz está en un grado diferente? ¡Está bien!

Sigue la misma lógica y recuerda las propiedades y posibles acciones con grados.

Lea la teoría sobre el tema "" y todo le quedará muy claro.

Por ejemplo, aquí hay una expresión:

En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de los exponentes y factoriza todo:

Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:

Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:

Bueno, ¿está todo claro? Luego resuelve los ejemplos tú mismo:

Y aquí están las respuestas:

Entrando bajo el signo de la raíz.

¡Qué no hemos aprendido a hacer con las raíces! ¡Todo lo que queda es practicar ingresando el número debajo del signo raíz!

¡Es realmente fácil!

Digamos que tenemos un número escrito.

¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!

¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:

¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo Debemos recordar que sólo podemos introducir números positivos bajo el signo de la raíz cuadrada.

Resuelva este ejemplo usted mismo:
¿Lograste? Veamos qué deberías conseguir:

¡Bien hecho! ¡Logró ingresar el número debajo del signo raíz! Pasemos a algo igualmente importante: ¡veamos cómo comparar números que contienen una raíz cuadrada!

Comparación de raíces

¿Por qué necesitamos aprender a comparar números que contienen una raíz cuadrada?

Muy simple. A menudo, en expresiones grandes y largas que encontramos en el examen, recibimos una respuesta irracional (¿recuerdas qué es esto? ¡Ya hablamos de esto hoy!)

Necesitamos colocar las respuestas recibidas en la línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para resolver la ecuación. Y aquí surge el problema: no hay calculadora en el examen, y sin ella, ¿cómo imaginar qué número es mayor y cuál es menor? ¡Eso es todo!

Por ejemplo, determine cuál es mayor: ¿o?

No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz.

Entonces adelante:

Bueno, obviamente, ¿qué numero mayor¡Bajo el signo de la raíz, más grande es la raíz misma!

Aquellos. si, entonces, .

De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!

Extraer raíces de grandes cantidades

Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas descomponerlo en factores y extraer lo que extraes!

Fue posible tomar un camino diferente y expandirse a otros factores:

No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.

La factorización es muy útil para resolver problemas no estándar como este:

¡No tengamos miedo, sino actuemos! Descompongamos cada factor bajo la raíz en factores separados:

Ahora pruébalo tú mismo (¡sin calculadora! No estará en el examen):

¿Es este el final? ¡No nos detengamos a mitad de camino!

Eso es todo, no da tanto miedo, ¿verdad?

¿Sucedió? ¡Bien hecho, así es!

Ahora prueba este ejemplo:

Y un ejemplo - duro, por lo que no sabrás inmediatamente cómo abordarlo. Pero, por supuesto, podemos manejarlo.

Bueno, ¿empecemos a factorizar? Notemos de inmediato que puedes dividir un número por (recuerda los signos de divisibilidad):

Ahora, pruébalo tú mismo (¡nuevamente, sin calculadora!):

Bueno, ¿funcionó? ¡Bien hecho, así es!

resumámoslo

1. La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a.
   .
2. Si simplemente sacamos la raíz cuadrada de algo, siempre obtenemos un resultado no negativo.
3. Propiedades de una raíz aritmética:
4. Al comparar raíces cuadradas, es necesario recordar que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, mayor será la raíz misma.

¿Cómo es la raíz cuadrada? ¿Todo claro?

Intentamos explicarte sin complicaciones todo lo que necesitas saber en el examen sobre la raíz cuadrada.

Es tu turno. Escríbenos si este tema te resulta difícil o no.

¿Aprendiste algo nuevo o ya estaba todo claro?

¡Escribe en los comentarios y buena suerte en tus exámenes!

Información del tema: Introduce el teorema sobre la raíz cuadrada de una fracción. Consolidar los conocimientos adquiridos por los estudiantes sobre los temas: “Raíz cuadrada aritmética”, “Raíz cuadrada de un grado”, “Raíz cuadrada de un producto”. Fortalecimiento de las habilidades de conteo rápido.

Actividad y comunicación: desarrollo y formación en los estudiantes de las habilidades de pensamiento lógico, habla correcta y competente, reacción rápida.

Orientado a valores: despertar el interés de los estudiantes por estudiar este tema y esta materia. Capacidad para aplicar los conocimientos adquiridos en actividades prácticas y otras materias.

1. Repita la definición de raíz cuadrada aritmética.

2. Repita el teorema de la raíz cuadrada.

3. Repita la raíz cuadrada del teorema del producto.

4. Desarrollar habilidades de cálculo mental.

5. Prepare a los estudiantes para estudiar el tema “raíz cuadrada de una fracción” y dominar el material de geometría.

6. Cuéntanos la historia de la raíz aritmética.

Materiales y equipos didácticos: mapa didáctico de lecciones (Apéndice 1), pizarra, tiza, tarjetas para tareas individuales (teniendo en cuenta las habilidades individuales de los estudiantes), tarjetas para cálculo mental, tarjetas para trabajo independiente.

Durante las clases:

1. Organizar el tiempo: escriba el tema de la lección, estableciendo la meta y los objetivos de la lección (para estudiantes).

Tema de la lección: Raíz cuadrada de una fracción.

Objetivo de la lección: Hoy en la lección repasaremos la definición de la raíz cuadrada aritmética, el teorema sobre la raíz cuadrada de una potencia y la raíz cuadrada de un producto. Y familiaricémonos con el teorema sobre la raíz cuadrada de una fracción.

Objetivos de la lección:

1) usando aritmética mental, repetiremos las definiciones de la raíz cuadrada y los teoremas sobre la raíz cuadrada del grado y el producto;

2) durante el conteo oral, algunos niños completarán tareas usando tarjetas;

3) explicación del material nuevo;

4) antecedentes históricos;

5) completar tareas Trabajo independiente(en forma de prueba).

2. Encuesta frontal:

1) conteo verbal: saca la raíz cuadrada de las siguientes expresiones:

a) utilizando la definición de raíz cuadrada, calcule:;;; ;

b) valores de la tabla: ; ;;;;; ;

c) la raíz cuadrada del producto ;;;;

d) raíz cuadrada del grado;;;;; ;

e) sacar el factor común entre paréntesis:;; ;.

2) trabajo individual por tarjetas: Apéndice 2.

3. Comprobando D/Z:

4. Explicación de material nuevo:

Escriba una tarea para los estudiantes en la pizarra usando las opciones "calcular la raíz cuadrada de una fracción":

Opción 1: =

Opción 2: =

Si los chicos completaron la primera tarea: pregunte cómo lo hicieron.

Opción 1: presentado en forma de cuadrado y obtenido . Obtener una conclusión.

Opción 2: presentó el numerador y el denominador usando la definición de potencia en el formulario y obtuvo .

Da muchos más ejemplos, por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de una fracción; ; .

Escribe la analogía en forma de letra:

Introduce el teorema.

Teorema. Si a es mayor o igual a 0, b es mayor que 0, entonces la raíz de la fracción a/b es igual a la fracción cuyo numerador es la raíz de a y el denominador es la raíz de b, es decir La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador dividida por la raíz del denominador.

Probemos que 1) la raíz de a dividida por la raíz de b es mayor o igual a 0

Prueba. 1) porque la raíz de a es mayor o igual a 0 y la raíz de b es mayor que 0 entonces la raíz de a dividida por la raíz de b es mayor o igual a 0.

2)

5. Consolidación de material nuevo: del libro de texto de Sh. A. Alimov: No. 362 (1.3); núm. 363 (2.3); núm. 364 (2.4); N° 365 (2.3)

6. Antecedentes históricos.

La raíz aritmética proviene de la palabra latina radix - raíz, radicalis - radical

A partir del siglo XIII, los matemáticos italianos y otros europeos denotaron la raíz con la palabra latina radix (abreviada como r). En 1525, en el libro de H. Rudolph "Cálculo rápido y hermoso con la ayuda de hábiles reglas de álgebra, generalmente llamadas Coss", apareció la designación V para la raíz cuadrada; la raíz cúbica se denotó como VVV. En 1626, el matemático holandés A. Girard introdujo las notaciones V, VV, VVV, etc., que pronto fueron sustituidas por el signo r, con una línea horizontal situada encima de la expresión radical. La notación moderna para la raíz apareció por primera vez en el libro Geometría de René Descartes, publicado en 1637.

8. Tarea: № 362 (2,4); № 363 (1,4); № 364 (1,3); №365 (1,4)