El número es real pero no racional. Números

Este artículo contiene información básica sobre numeros reales. Primero, damos la definición de números reales y damos ejemplos. A continuación se muestra la posición de los números reales en la línea de coordenadas. Y para concluir, veamos cómo se dan los números reales en forma de expresiones numéricas.

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Definición y ejemplos de números reales.

Números reales como expresiones.

De la definición de números reales queda claro que los números reales son:

cualquier número natural;
cualquier número entero;
cualquier fracción ordinaria (tanto positiva como negativa);
cualquier número mixto;
cualquier fracción decimal (positiva, negativa, finita, infinita periódica, infinita no periódica).

Pero muy a menudo los números reales se pueden ver en la forma , etc. Además, la suma, la diferencia, el producto y el cociente de números reales también son números reales (ver operaciones con numeros reales). Por ejemplo, estos son números reales.

Y si vamos más allá, entonces a partir de números reales utilizando signos aritméticos, raíces, potencias, funciones logarítmicas, trigonométricas, etc. Podrás realizar todo tipo de expresiones numéricas, cuyos valores también serán números reales. Por ejemplo, los significados de las expresiones. Y hay números reales.

En conclusión de este artículo, observamos que la siguiente etapa en la expansión del concepto de número es la transición de números reales a números complejos.

Bibliografía.

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El concepto de número real: Número Real- (número real), cualquier número negativo o no negativo o cero. Los números reales se utilizan para expresar medidas de cada cantidad física.

Real, o Número Real Surgió de la necesidad de medir las cantidades geométricas y físicas del mundo. Además, para realizar operaciones de extracción de raíces, calcular logaritmos, resolver ecuaciones algebraicas, etc.

Los números naturales se formaron con el desarrollo del conteo, y los números racionales con la necesidad de gestionar partes de un todo, luego los números reales (reales) se utilizan para medir cantidades continuas. Así, la ampliación del stock de números que se consideran dio lugar al conjunto de los números reales, que, además de los números racionales, está formado por otros elementos llamados Numeros irracionales.

conjunto de números reales(denotado R) son conjuntos de números racionales e irracionales reunidos.

números reales divididos porracional Y irracional.

El conjunto de los números reales se denota y a menudo se llama real o numero de linea. Los números reales están formados por objetos simples: entero Y numeros racionales.

Un número que se puede escribir como una razón, dondemetro es un número entero y norte- número natural, esnúmero racional.

Cualquier número racional se puede representar fácilmente como una fracción finita o una fracción decimal periódica infinita.

Ejemplo,

decimal infinito, es una fracción decimal que tiene un número infinito de dígitos después del punto decimal.

Los números que no se pueden representar en la forma son Numeros irracionales.

Ejemplo:

Cualquier número irracional se puede representar fácilmente como una fracción decimal infinita no periódica.

Ejemplo,

Los números racionales e irracionales crean conjunto de números reales. Todos los números reales corresponden a un punto en la línea de coordenadas, que se llama numero de linea.

Para conjuntos numéricos se utiliza la siguiente notación:

norte- conjunto de números naturales;
z- conjunto de números enteros;
q- conjunto de números racionales;
R- conjunto de números reales.

Teoría de infinitas fracciones decimales.

Un número real se define como decimal infinito, es decir.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

donde ± es uno de los símbolos + o −, un signo numérico,

un 0 es un número entero positivo,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… es una secuencia de decimales, es decir elementos de un conjunto numérico {0,1,…9}.

Una fracción decimal infinita se puede explicar como un número que se encuentra entre puntos racionales en la recta numérica como:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n Y ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) para todos norte=0,1,2,…

La comparación de números reales como fracciones decimales infinitas se produce por lugares. Por ejemplo, supongamos que nos dan 2 números positivos:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 segundo 2 …b norte …

Si un 0 0, Eso α<β ; Si a 0 >b 0 Eso α>β . Cuando a 0 = b 0 Pasemos a la comparación de la siguiente categoría. Etc. Cuando α≠β , lo que significa que después de un número finito de pasos se encontrará el primer dígito norte, tal que una norte ≠ b norte. Si Ana, Eso α<β ; Si a n > b n Eso α>β .

Pero resulta tedioso prestar atención al hecho de que el número a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Por lo tanto, si el registro de uno de los números que se comparan, a partir de un determinado dígito, es una fracción decimal periódica con 9 en el período, entonces se debe reemplazar con un registro equivalente con un cero en el período.

Las operaciones aritméticas con infinitas fracciones decimales son una continuación continua de las operaciones correspondientes con números racionales. Por ejemplo, la suma de números reales α Y β es un numero real α+β , que cumple las siguientes condiciones:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a'')∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a''+b'')

La operación de multiplicar infinitas fracciones decimales se define de manera similar.

Este artículo está dedicado al estudio del tema "Números racionales". A continuación se encuentran definiciones de números racionales, se dan ejemplos y cómo determinar si un número es racional o no.

Numeros racionales. Definiciones

Antes de dar la definición de números racionales, recordemos qué otros conjuntos de números existen y cómo se relacionan entre sí.

Los números naturales, junto con sus opuestos y el número cero, forman el conjunto de los números enteros. A su vez, el conjunto de los números enteros fraccionarios forma el conjunto de los números racionales.

Definición 1. Números racionales

Los números racionales son números que se pueden representar como una fracción común positiva a b, una fracción común negativa a b o el número cero.

Por tanto, podemos conservar una serie de propiedades de los números racionales:

Cualquier número natural es un número racional. Obviamente, todo número natural n se puede representar como una fracción 1 n.
Cualquier número entero, incluido el número 0, es un número racional. De hecho, cualquier número entero positivo y negativo se pueden representar fácilmente como una fracción ordinaria positiva o negativa, respectivamente. Por ejemplo, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Cualquier fracción común positiva o negativa a b es un número racional. Esto se deriva directamente de la definición dada anteriormente.
Cualquier número mixto es racional. De hecho, un número mixto se puede representar como una fracción impropia ordinaria.
Cualquier fracción decimal finita o periódica se puede representar como una fracción. Por tanto, toda fracción decimal periódica o finita es un número racional.
Los decimales infinitos y no periódicos no son números racionales. No pueden representarse en forma de fracciones ordinarias.

Pongamos ejemplos de números racionales. Los números 5, 105, 358, 1100055 son naturales, positivos y enteros. Obviamente, estos son números racionales. Los números - 2, - 358, - 936 son números enteros negativos y también son racionales según la definición. Las fracciones comunes 3 5, 8 7, - 35 8 también son ejemplos de números racionales.

La definición anterior de números racionales se puede formular de manera más breve. Una vez más responderemos a la pregunta ¿qué es un número racional?

Definición 2. Números racionales

Los números racionales son números que se pueden representar como una fracción ± z n, donde z es un número entero y n es un número natural.

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la definición anterior de números racionales. Para ello, recuerda que la recta de fracción equivale al signo de división. Teniendo en cuenta las reglas y propiedades de la división de números enteros, podemos escribir las siguientes desigualdades justas:

0 norte = 0 ÷ norte = 0 ; - metro norte = (- metro) ÷ norte = - metro norte .

Así, podemos escribir:

z n = z n , p r y z > 0 0 , p r y z = 0 - z n , p r y z< 0

En realidad, esta grabación es una prueba. Demos ejemplos de números racionales basados en la segunda definición. Considere los números - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 y - 1 3 5. Todos estos números son racionales, ya que se pueden escribir como una fracción con numerador entero y denominador natural: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Damos otra forma equivalente para la definición de números racionales.

Definición 3. Números racionales

Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción decimal periódica finita o infinita.

Esta definición se deriva directamente de la primera definición de este párrafo.

Resumamos y formulemos un resumen de este punto:

Las fracciones positivas y negativas y los números enteros forman el conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede representar como una fracción ordinaria, cuyo numerador es un número entero y cuyo denominador es un número natural.
Cada número racional también se puede representar como una fracción decimal: finita o infinitamente periódica.

¿Qué número es racional?

Como ya hemos descubierto, cualquier número natural, entero, fracción ordinaria propia e impropia, fracción decimal periódica y finita son números racionales. Armado con este conocimiento, puedes determinar fácilmente si un determinado número es racional.

Sin embargo, en la práctica, a menudo no se trata de números, sino de expresiones numéricas que contienen raíces, potencias y logaritmos. En algunos casos, la respuesta a la pregunta "¿es el número racional?" está lejos de ser obvio. Veamos métodos para responder a esta pregunta.

Si un número se da como una expresión que contiene sólo números racionales y operaciones aritméticas entre ellos, entonces el resultado de la expresión es un número racional.

Por ejemplo, el valor de la expresión 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) es un número racional y es igual a 18.

Por lo tanto, simplificar una expresión numérica compleja le permite determinar si el número dado por ella es racional.

Ahora veamos el signo de la raíz.

Resulta que el número m n dado como raíz de la potencia n del número m es racional sólo cuando m es la enésima potencia de algún número natural.

Veamos un ejemplo. El número 2 no es racional. Mientras que 9, 81 son números racionales. 9 y 81 son cuadrados perfectos de los números 3 y 9, respectivamente. Los números 199, 28, 15 1 no son números racionales, ya que los números bajo el signo de la raíz no son cuadrados perfectos de ningún número natural.

Ahora tomemos un caso más complejo. ¿Es 243 5 un número racional? Si elevas 3 a la quinta potencia, obtienes 243, por lo que la expresión original se puede reescribir de la siguiente manera: 243 5 = 3 5 5 = 3. Por tanto, este número es racional. Ahora tomemos el número 121 5. Este número es irracional, ya que no existe ningún número natural cuyo elevado a la quinta potencia dé 121.

Para saber si el logaritmo de un número a en base b es un número racional, es necesario aplicar el método de la contradicción. Por ejemplo, averigüemos si el número log 2 5 es racional. Supongamos que este número es racional. Si esto es así, entonces se puede escribir como una fracción ordinaria log 2 5 = m n. Según las propiedades del logaritmo y las propiedades del grado, son válidas las siguientes igualdades:

5 = 2 registro 2 5 = 2 metro norte 5 norte = 2 metro

Obviamente, la última igualdad es imposible ya que los lados izquierdo y derecho contienen números pares e impares, respectivamente. Por lo tanto, la suposición hecha es incorrecta y log 2 5 no es un número racional.

Vale la pena señalar que al determinar la racionalidad e irracionalidad de los números, no se deben tomar decisiones repentinas. Por ejemplo, el resultado del producto de números irracionales no siempre es un número irracional. Un ejemplo ilustrativo: 2 · 2 = 2.

También hay números irracionales, cuya elevación a una potencia irracional da un número racional. En una potencia de la forma 2 log 2 3, la base y el exponente son números irracionales. Sin embargo, el número en sí es racional: 2 log 2 3 = 3.

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Los números naturales se definen como números enteros positivos. Los números naturales se utilizan para contar objetos y para muchos otros fines. Estos son los números:

Esta es una serie natural de números.
¿Es el cero un número natural? No, el cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay una infinidad de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Uno es el número natural más pequeño.
¿Cuál es el número natural más grande? Es imposible especificarlo, porque existe una infinidad de números naturales.

La suma de números naturales es un número natural. Entonces, sumando números naturales a y b:

El producto de números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales a y b:

c es siempre un número natural.

Diferencia de números naturales No siempre existe un número natural. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, entonces la diferencia de los números naturales es un número natural; en caso contrario, no lo es.

El cociente de números naturales no siempre es un número natural. Si para los números naturales a y b

donde c es un número natural, esto significa que a es divisible por b. En este ejemplo, a es el dividendo, b es el divisor y c es el cociente.

El divisor de un número natural es un número natural que es divisible por el primer número.

Todo número natural es divisible por uno y por sí mismo.

Los números naturales primos son divisibles sólo por uno y por sí mismos. Aquí nos referimos a dividido por completo. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 sólo es divisible por uno y por sí mismo. Estos son números naturales simples.

Uno no se considera un número primo.

Los números mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos:

El uno no se considera un número compuesto.

El conjunto de los números naturales está formado por el uno, los números primos y los números compuestos.

El conjunto de los números naturales se denota con la letra latina N.

Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:

propiedad conmutativa de la suma

propiedad asociativa de la suma

(a + b) + c = a + (b + c);

propiedad conmutativa de la multiplicación

propiedad asociativa de la multiplicación

(ab) c = a (bc);

propiedad distributiva de la multiplicación

a (b + c) = ab + ca;

números enteros

Los números enteros son los números naturales, el cero y los opuestos de los números naturales.

Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos, por ejemplo:

1; -2; -3; -4;…

El conjunto de números enteros se denota con la letra latina Z.

Numeros racionales

Los números racionales son números enteros y fraccionarios.

Cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica. Ejemplos:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

De los ejemplos queda claro que cualquier número entero es una fracción periódica con período cero.

Cualquier número racional se puede representar como una fracción m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Representemos el número 3,(6) del ejemplo anterior en forma de dicha fracción:

Otro ejemplo: el número racional 9 se puede representar como una fracción simple como 18/2 o como 36/4.

Otro ejemplo: el número racional -9 se puede representar como una fracción simple como -18/2 o como -72/8.