Integración de funciones racionales y método de coeficientes indeterminados. Integración de funciones racionales Fraccionada - función racional La más simple

Anteriormente se trataba de técnicas generales integración. En este y los siguientes párrafos hablaremos sobre la integración de clases específicas de funciones utilizando las técnicas discutidas.

Integración de las funciones racionales más simples.

Consideremos una integral de la forma \textstyle(\int R(x)\,dx), donde y=R(x) es una función racional. Cualquier expresión racional R(x) se puede representar en la forma \frac(P(x))(Q(x)), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si esta fracción es impropia, es decir, si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, entonces se puede representar como la suma de un polinomio (parte entera) y una fracción propia. Por tanto, basta con considerar la integración de fracciones propias.

Demostremos que la integración de tales fracciones se reduce a la integración fracciones simples, es decir, expresiones de la forma:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

Dónde A,\,B,\,a,\,p,\,q - numeros reales, y el trinomio cuadrado x^2+px+q no tiene raíces reales. Las expresiones de tipo 1) y 2) se denominan fracciones de primer tipo, y las expresiones de tipo 3) y 4) se denominan fracciones de segundo tipo.

Las integrales de fracciones del primer tipo se calculan directamente.

\begin(alineado)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(alineado)

Consideremos el cálculo de integrales de fracciones de segundo tipo: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Primero notamos que

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Para reducir el cálculo de la integral 3) a estas dos integrales, transformamos el trinomio cuadrado x^2+px+q separando el cuadrado completo de él:

x^2+px+q= (\izquierda(x+\frac(p)(2)\derecha)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Dado que, por supuesto, este trinomio no tiene raíces reales, entonces q-\frac(p^2)(4)>0 y podemos poner q-\frac(p^2)(4)=a^2. Sustitución x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt transforma la integral 3) en una combinación lineal de las dos integrales indicadas:

\begin(alineado)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2) )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(alineado)

En la respuesta final sólo necesitas reemplazar (t) con x+\frac(p)(2) y (a) con \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Dado que t^2+a^2=x^2+px+q, entonces

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Considere el caso \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Como en el caso anterior, establezcamos x+\frac(p)(2)=t. Obtenemos:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

El primer término se calcula de la siguiente manera:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

La segunda integral se calcula mediante una fórmula de recurrencia.

Ejemplo 1. calculemos \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Solución. Tenemos: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Pongamos x+1=t. Entonces dx=dt y 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 y por lo tanto

\begin(alineado)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ raíz cuadrada (2)) + C. \end(alineado)

Ejemplo 2. calculemos \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Solución. Tenemos: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Introduzcamos una nueva variable configurando x+3=t. Entonces dt=dx y x+2=t-1 . Reemplazando la variable bajo el signo integral, obtenemos:

\begin(alineado)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(alineado))

Pongamos I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Tenemos:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), Pero I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \nombredeloperador(arctg)t De este modo, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Finalmente obtenemos:

\begin(alineado)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(alineado)

Integrando fracciones propias

Considere una fracción propia R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), donde Q(x) es un polinomio de grado n. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el coeficiente principal en Q(x) es igual a 1. En un curso de álgebra se demuestra que tal polinomio con coeficientes reales se puede factorizar en factores de primer y segundo grado con coeficientes reales. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

donde x_1,\ldots,x_k son las raíces reales del polinomio Q(x) y los trinomios cuadrados no tienen raíces reales. Se puede demostrar que entonces R(x) se representa como una suma de fracciones simples de la forma 1) -4):

\begin(alineado)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(alineado)

donde los exponentes de los denominadores disminuyen sucesivamente de \alpha a 1, ..., de \beta a 1, de \gamma a 1, ..., de \delta a 1, y A_1,\ldots,F_(\delta)- coeficientes inciertos. Para encontrar estos coeficientes, es necesario deshacerse de los denominadores y, habiendo obtenido la igualdad de dos polinomios, utilizar el método de coeficientes indefinidos.

Otra forma de determinar las probabilidades A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) se basa en la sustitución de los valores de la variable x. Sustituyendo cualquier número en lugar de x en la igualdad obtenida de la igualdad (1) después de eliminar los denominadores, llegamos a una ecuación lineal para los coeficientes requeridos. Por sustitución cantidad requerida Con tales valores parciales de la variable obtenemos un sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes. Lo más conveniente es elegir las raíces del denominador (tanto reales como complejas) como valores privados de la variable. En este caso, casi todos los términos del lado derecho de la igualdad (es decir, la igualdad de dos polinomios) desaparecen, lo que facilita encontrar los coeficientes restantes. Al sustituir valores complejos, tenga en cuenta que dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes real e imaginaria son iguales, respectivamente. Por tanto, de cada igualdad que contenga números complejos se obtienen dos ecuaciones.

Después de encontrar los coeficientes indeterminados, queda por calcular las integrales de las fracciones más simples obtenidas. Dado que al integrar las fracciones más simples, como hemos visto, solo se obtienen funciones racionales, arcotangentes y logaritmos, entonces la integral de cualquier función racional se expresa mediante la función racional, arcotangentes y logaritmos.

Ejemplo 3. Calculemos la integral de una fracción racional propia. \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Solución. Factoricemos el denominador del integrando:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Escribamos el integrando y presentémoslo como una suma de fracciones simples:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Liberándonos de los denominadores en esta igualdad, obtenemos:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Para encontrar los coeficientes usaremos el método de sustitución de valores parciales. Para encontrar el coeficiente A, establezcamos x=1. Entonces de la igualdad (2) obtenemos 7=4A, de donde A=7/4. Para encontrar el coeficiente B, establezcamos x=-3. Entonces de la igualdad (2) obtenemos -17=-4B, de donde B=17/4.

Entonces, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Medio,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Ejemplo 4. calculemos \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Solución. Escribamos el integrando y presentémoslo como una suma de fracciones simples. El denominador contiene un factor x^2+2, que no tiene raíces reales y corresponde a una fracción del segundo tipo: \frac(Ax+B)(x^2+2) el multiplicador (x-1)^2 corresponde a la suma de dos fracciones del 1er tipo: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); finalmente, el factor x+2 corresponde a una fracción de 1er tipo \frac(E)(x+2) . Así, representamos la función integrando como una suma de cuatro fracciones:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Liberémonos de los denominadores en esta igualdad. Obtenemos:

\begin(alineado) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(alineado)

El denominador del integrando tiene dos raíces reales: x=1 y x=-2. Al sustituir el valor x=1 en la igualdad (4), obtenemos 16=9C, de donde encontramos C=16/9. Al sustituir x=-2 obtenemos 13=54E y en consecuencia definimos E=13/54. Sustituyendo el valor x=i\,\sqrt(2) (la raíz del polinomio x^2+2 ) nos permite ir a la igualdad

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i\,\sqrt(2)+2).

Se transforma a la forma:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, de donde 10A+2B=5, y (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables. \begin(casos)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(casos) encontramos: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Queda por determinar el valor del coeficiente D. Para hacer esto, abramos los corchetes en la igualdad (4), presentemos términos similares y luego comparemos los coeficientes para x^4. Obtenemos:

A+D+E=1 , es decir D=0 .

Sustituyamos los valores encontrados de los coeficientes en la igualdad (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

y luego pasar a la integración:

\begin(alineado)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(alineado)

Integrando fracciones impropias

Supongamos que necesitamos integrar una función y=\frac(f(x))(g(x)), donde f(x) y g(x) son polinomios y el grado del polinomio f(x) es mayor o igual que el grado del polinomio g(x). En este caso, primero que nada, debes seleccionar la parte entera de la fracción impropia. \frac(f(x))(g(x)), es decir, representarlo en la forma

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

donde s(x) es un polinomio de grado igual a la diferencia entre los grados de los polinomios f(x) y g(x), y \frac(r(x))(g(x))- fracción propia.

Entonces nosotros tenemos \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Ejemplo 5. Calculemos la integral de la fracción impropia. \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Solución. Tenemos:

\begin(alineado)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(alineado)

Para aislar toda la parte, divida f(x) por g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Medio, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Tenemos: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Para calcular la integral \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx Se utiliza el método de coeficientes indefinidos, como se indicó anteriormente. Después de los cálculos, que dejamos al lector, obtenemos.

Integración de una función fraccionaria-racional.
Método del coeficiente incierto

Seguimos trabajando en la integración de fracciones. Ya hemos analizado las integrales de algunos tipos de fracciones en la lección y esta lección, en cierto sentido, puede considerarse una continuación. Para comprender con éxito el material, se requieren habilidades básicas de integración, por lo que si acaba de comenzar a estudiar integrales, es decir, es un principiante, entonces debe comenzar con el artículo. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones.

Por extraño que parezca, ahora no nos ocuparemos tanto de encontrar integrales, sino... de resolver sistemas. ecuaciones lineales. A este respecto urgentemente Recomiendo asistir a la lección, es decir, es necesario conocer bien los métodos de sustitución (el método "de la escuela" y el método de suma (resta) término por término de ecuaciones del sistema).

¿Qué es una función racional fraccionaria? En palabras simples, una función fraccionaria-racional es una fracción cuyo numerador y denominador contienen polinomios o productos de polinomios. Además, las fracciones son más sofisticadas que las comentadas en el artículo. Integrando algunas fracciones.

Integración de una función racional fraccionaria adecuada

Inmediatamente un ejemplo y un algoritmo típico para resolver la integral de una función fraccionaria-racional.

Ejemplo 1

Paso 1. Lo primero que SIEMPRE hacemos al resolver la integral de una función racional fraccionaria es averiguar próxima pregunta: ¿Es la fracción propia? Este paso se realiza de forma verbal, y ahora te explicaré cómo:

Primero miramos el numerador y descubrimos. título superior polinomio:

La potencia principal del numerador es dos.

Ahora miramos el denominador y descubrimos. título superior denominador. La forma obvia es abrir los corchetes y traer términos similares, pero puedes hacerlo de manera más simple, en cada encuentra el grado más alto entre paréntesis

y multiplica mentalmente: - así, el grado más alto del denominador es igual a tres. Es bastante obvio que si realmente abrimos los paréntesis, no obtendremos un grado mayor que tres.

Conclusión: Grado mayor del numerador ESTRICTAMENTE es menor que la potencia más alta del denominador, lo que significa que la fracción es propia.

si en en este ejemplo el numerador contenía el polinomio 3, 4, 5, etc. grados, entonces la fracción sería equivocado.

Ahora consideraremos solo las funciones racionales fraccionarias correctas.. El caso en el que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador se analizará al final de la lección.

Paso 2. Factoricemos el denominador. Miremos nuestro denominador:

En general esto ya es producto de factores, pero, sin embargo, nos preguntamos: ¿es posible expandir algo más? El objeto de la tortura será sin duda el trinomio cuadrado. Resolviendo la ecuación cuadrática:

El discriminante es mayor que cero, lo que significa que el trinomio realmente se puede factorizar:

Regla general: TODO lo que PUEDE factorizarse en el denominador - lo factorizamos

Comencemos a formular una solución:

Paso 3. Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones simples (elementales). Ahora quedará más claro.

Veamos nuestra función integrando:

Y, ya sabes, de alguna manera surge un pensamiento intuitivo de que sería bueno convertir nuestra fracción grande en varias pequeñas. Por ejemplo, así:

Surge la pregunta: ¿es siquiera posible hacer esto? Demos un suspiro de alivio, dice el correspondiente teorema del análisis matemático: ES POSIBLE. Tal descomposición existe y es única..

Sólo hay un problema, las probabilidades son Adiós No lo sabemos, de ahí el nombre: método de coeficientes indefinidos.

Como habrás adivinado, los movimientos corporales posteriores son así, ¡no te rías! tendrá como objetivo simplemente RECONOCERLOS, para descubrir a qué equivalen.

¡Cuidado, te lo explicaré en detalle solo una vez!

Entonces, comencemos a bailar desde:

En el lado izquierdo reducimos la expresión a un denominador común:

Ahora podemos deshacernos con seguridad de los denominadores (ya que son iguales):

En el lado izquierdo abrimos los corchetes, pero no toquemos los coeficientes desconocidos por ahora:

Al mismo tiempo repetimos regla escolar multiplicar polinomios. Cuando era profesora, aprendí a pronunciar esta regla con seriedad: Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio..

Desde el punto de vista de una explicación clara, es mejor poner los coeficientes entre paréntesis (aunque yo personalmente nunca hago esto para ahorrar tiempo):

Componemos un sistema de ecuaciones lineales.
Primero buscamos títulos superiores:

Y escribimos los coeficientes correspondientes en la primera ecuación del sistema:

Recuerda bien el siguiente punto. ¿Qué pasaría si no hubiera ninguna s en el lado derecho? Digamos, ¿se luciría sin ningún cuadrado? En este caso, en la ecuación del sistema habría que poner un cero a la derecha: . ¿Por qué cero? Pero porque en el lado derecho siempre puedes asignarle cero a este mismo cuadrado: Si en el lado derecho no hay variables y/o un término libre, entonces ponemos ceros en los lados derechos de las ecuaciones correspondientes del sistema.

Escribimos los coeficientes correspondientes en la segunda ecuación del sistema:

Y por último, agua mineral, seleccionamos miembros gratuitos.

Eh... estaba como bromeando. Bromas aparte: las matemáticas son una ciencia seria. En nuestro grupo del instituto, nadie se rió cuando la profesora asistente dijo que esparciría los términos a lo largo de una recta numérica y elegiría los más grandes. Pongámonos serios. Aunque... quien viva para ver el final de esta lección seguirá sonriendo en silencio.

El sistema está listo:

Resolvemos el sistema:

(1) De la primera ecuación la expresamos y la sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones del sistema. De hecho, era posible expresar (u otra letra) a partir de otra ecuación, pero en este caso es ventajoso expresarla a partir de la 1ª ecuación, ya que hay las probabilidades más pequeñas.

(2) Presentamos términos similares en la segunda y tercera ecuaciones.

(3) Sumamos la 2ª y 3ª ecuaciones término a término obteniendo la igualdad , de lo que se deduce que

(4) Sustituimos en la segunda (o tercera) ecuación, de donde encontramos que

(5) Sustituya y en la primera ecuación, obteniendo .

Si tienes alguna dificultad con los métodos para resolver el sistema, practícalos en clase. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Después de resolver el sistema, siempre es útil comprobarlo: sustituir los valores encontrados. cada ecuación del sistema, como resultado todo debería “convergir”.

Casi llegamos. Se encontraron los coeficientes y:

El trabajo terminado debería verse así:

Como puedes ver, la principal dificultad de la tarea era componer (¡correctamente!) y resolver (¡correctamente!) un sistema de ecuaciones lineales. Y en la etapa final, no todo es tan complicado: utilizamos las propiedades de linealidad de la integral indefinida e integramos. Tenga en cuenta que bajo cada una de las tres integrales tenemos una función compleja "libre" de las características de su integración hablé en la lección; Método de cambio de variable en integral indefinida..

Verificar: Diferenciar la respuesta:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.
Durante la verificación tuvimos que reducir la expresión a un denominador común, y esto no es accidental. El método de los coeficientes indefinidos y la reducción de una expresión a un denominador común son acciones mutuamente inversas.

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida.

Volvamos a la fracción del primer ejemplo: . Es fácil notar que en el denominador todos los factores son DIFERENTES. Surge la pregunta, qué hacer si, por ejemplo, se da la siguiente fracción: ? Aquí tenemos grados en el denominador o, matemáticamente, múltiplos. Además, existe un trinomio cuadrático que no se puede factorizar (es fácil comprobar que el discriminante de la ecuación es negativo, por lo que el trinomio no se puede factorizar). ¿Qué hacer? La expansión a una suma de fracciones elementales se verá así ¿Con coeficientes desconocidos en la parte superior o algo más?

Ejemplo 3

Introducir una función

Paso 1. Comprobando si tenemos una fracción adecuada
Numerador mayor: 2
Mayor grado de denominador: 8
, lo que significa que la fracción es correcta.

Paso 2.¿Es posible factorizar algo en el denominador? Evidentemente no, ya está todo dispuesto. El trinomio cuadrado no se puede ampliar hasta formar un producto por las razones expuestas anteriormente. Capucha. Menos trabajo.

Paso 3. Imaginemos una función fraccionaria-racional como una suma de fracciones elementales.
En este caso, la expansión ha siguiente vista:

Miremos nuestro denominador:
Al descomponer una función fraccionaria-racional en una suma de fracciones elementales se pueden distinguir tres puntos fundamentales:

1) Si el denominador contiene un factor "solitario" elevado a la primera potencia (en nuestro caso), entonces ponemos un coeficiente indefinido en la parte superior (en nuestro caso). Los ejemplos núms. 1 y 2 consistieron únicamente en esos factores "solitarios".

2) Si el denominador tiene múltiple multiplicador, entonces necesitas descomponerlo así:
- es decir, recorrer secuencialmente todos los grados de “X” desde el primero hasta el enésimo grado. En nuestro ejemplo hay dos factores múltiples: y, eche otro vistazo a la expansión que di y asegúrese de que se expandan exactamente de acuerdo con esta regla.

3) Si el denominador contiene un polinomio indescomponible de segundo grado (en nuestro caso), entonces al descomponer en el numerador es necesario escribir función lineal con coeficientes inciertos (en nuestro caso con coeficientes inciertos y ).

De hecho, hay otro cuarto caso, pero guardaré silencio al respecto, ya que en la práctica es extremadamente raro.

Ejemplo 4

Introducir una función como suma de fracciones elementales con coeficientes desconocidos.

Este es un ejemplo para decisión independiente. Solución completa y la respuesta al final de la lección.
¡Sigue estrictamente el algoritmo!

Si comprende los principios mediante los cuales necesita expandir una función fraccionaria-racional a una suma, podrá analizar casi cualquier integral del tipo que estamos considerando.

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida.

Paso 1. Obviamente la fracción es correcta:

Paso 2.¿Es posible factorizar algo en el denominador? Poder. Aquí está la suma de cubos. . Factoriza el denominador usando la fórmula de multiplicación abreviada

Paso 3. Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones elementales:

Tenga en cuenta que el polinomio no se puede factorizar (compruebe que el discriminante sea negativo), por lo que en la parte superior ponemos una función lineal con coeficientes desconocidos, y no solo una letra.

Llevamos la fracción a un denominador común:

Compongamos y resolvamos el sistema:

(1) Expresamos a partir de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema (esta es la forma más racional).

(2) Presentamos términos similares en la segunda ecuación.

(3) Sumamos la segunda y tercera ecuaciones del sistema término por término.

Todos los cálculos posteriores son, en principio, orales, ya que el sistema es sencillo.

(1) Anotamos la suma de fracciones de acuerdo con los coeficientes encontrados.

(2) Usamos las propiedades de linealidad de la integral indefinida. ¿Qué pasó en la segunda integral? Puede familiarizarse con este método en el último párrafo de la lección. Integrando algunas fracciones.

(3) Una vez más utilizamos las propiedades de la linealidad. En la tercera integral comenzamos a aislar el cuadrado completo (penúltimo párrafo de la lección Integrando algunas fracciones).

(4) Tomamos la segunda integral, en la tercera seleccionamos el cuadrado completo.

(5) Tome la tercera integral. Listo.

El material presentado en este tema se basa en la información presentada en el tema "Fracciones racionales. Descomposición de fracciones racionales en fracciones elementales (simples)". Le recomiendo encarecidamente que al menos lea un vistazo a este tema antes de pasar a leer este material. Además, necesitaremos una tabla de integrales indefinidas.

Permítanme recordarles un par de términos. Fueron discutidos en el tema correspondiente, por lo que aquí me limitaré a una breve formulación.

La razón de dos polinomios $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se llama función racional o fracción racional. La fracción racional se llama correcto, si $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется equivocado.

Las fracciones racionales elementales (simples) son fracciones racionales de cuatro tipos:

1. $\frac(A)(xa)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (deseable para una comprensión más completa del texto): mostrar\ocultar

¿Por qué se necesita la condición $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Por ejemplo, para la expresión $x^2+5x+10$ obtenemos: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Dado que $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Por cierto, para esta comprobación no es en absoluto necesario que el coeficiente anterior a $x^2$ sea igual a 1. Por ejemplo, para $5x^2+7x-3=0$ obtenemos: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Dado que $D > 0$, la expresión $5x^2+7x-3$ es factorizable.

Se pueden encontrar ejemplos de fracciones racionales (propias e impropias), así como ejemplos de descomposición de una fracción racional en fracciones elementales. Aquí sólo nos interesarán las cuestiones de su integración. Comencemos con la integración de fracciones elementales. Entonces, cada uno de los cuatro tipos de fracciones elementales anteriores es fácil de integrar usando las fórmulas siguientes. Permítanme recordarles que al integrar fracciones de los tipos (2) y (4), se supone $n=2,3,4,\ldots$. Las fórmulas (3) y (4) requieren el cumplimiento de la condición $p^2-4q< 0$.

\begin(ecuación) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuación)

Para $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se realiza la sustitución $t=x+\frac(p)(2)$, después de lo cual el intervalo resultante es dividido en dos. El primero se calculará ingresando bajo el signo diferencial, y el segundo tendrá la forma $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Esta integral se toma usando la relación de recurrencia.

\begin(ecuación) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Yo_n,\; n\in N\end(ecuación)

El cálculo de dicha integral se analiza en el ejemplo No. 7 (ver la tercera parte).

Esquema para calcular integrales de funciones racionales (fracciones racionales):

1. Si el integrando es elemental, aplique las fórmulas (1)-(4).
2. Si el integrando no es elemental, represéntelo como una suma de fracciones elementales y luego intégrelo usando las fórmulas (1)-(4).

El algoritmo anterior para integrar fracciones racionales tiene una ventaja innegable: es universal. Aquellos. usando este algoritmo puedes integrar cualquier fracción racional. Es por eso que casi todos los cambios de variables en una integral indefinida (Euler, Chebyshev, sustitución trigonométrica universal) se hacen de tal manera que después de este cambio obtenemos una fracción racional bajo el intervalo. Y luego aplíquele el algoritmo. Analizaremos la aplicación directa de este algoritmo mediante ejemplos, tras hacer una pequeña nota.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

En principio, esta integral es fácil de obtener sin aplicación mecánica de la fórmula. Si sacamos la constante $7$ del signo integral y tomamos en cuenta que $dx=d(x+9)$, obtenemos:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para obtener información detallada, recomiendo consultar el tema. Explica en detalle cómo se resuelven dichas integrales. Por cierto, la fórmula se demuestra mediante las mismas transformaciones que se aplicaron en este párrafo al resolverla “manualmente”.

2) Nuevamente, hay dos maneras: usar la fórmula ya preparada o prescindir de ella. Si aplica la fórmula, debe tener en cuenta que el coeficiente delante de $x$ (número 4) deberá eliminarse. Para hacer esto, simplemente eliminemos estos cuatro entre paréntesis:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\izquierda(x+\frac(19)(4)\derecha)^8). $$

Ahora es el momento de aplicar la fórmula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puedes prescindir de utilizar la fórmula. E incluso sin sacar la constante $4$ de paréntesis. Si tomamos en cuenta que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, obtenemos:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Se dan explicaciones detalladas para encontrar tales integrales en el tema “Integración por sustitución (sustitución bajo el signo diferencial)”.

3) Necesitamos integrar la fracción $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Esta fracción tiene la estructura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, donde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Sin embargo, para asegurarse de que se trata realmente de una fracción elemental del tercer tipo, es necesario comprobar que se cumple la condición $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Resolvamos el mismo ejemplo, pero sin utilizar una fórmula ya preparada. Intentemos aislar la derivada del denominador en el numerador. ¿Qué quiere decir esto? Sabemos que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Es la expresión $2x+10$ que tenemos que aislar en el numerador. Hasta ahora, el numerador contiene solo $4x+7$, pero esto no durará mucho. Apliquemos la siguiente transformación al numerador:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Ahora aparece la expresión requerida $2x+10$ en el numerador. Y nuestra integral se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Dividamos el integrando en dos. Bueno, y, en consecuencia, la integral en sí también está "bifurcada":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Primero hablemos de la primera integral, es decir aproximadamente $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Dado que $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, entonces el numerador del integrando contiene el diferencial del denominador. En resumen, en lugar de la expresión $( 2x+10)dx$ escribimos $d(x^2+10x+34)$.

Ahora digamos algunas palabras sobre la segunda integral. Seleccionemos un cuadrado completo en el denominador: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Además, tenemos en cuenta $dx=d(x+5)$. Ahora la suma de integrales que obtuvimos anteriormente se puede reescribir de una forma ligeramente diferente:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Si en la primera integral hacemos el reemplazo $u=x^2+10x+34$, entonces tomará la forma $\int\frac(du)(u)$ y se puede obtener simplemente aplicando la segunda fórmula de . En cuanto a la segunda integral, el cambio $u=x+5$ es factible para ella, después de lo cual tomará la forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Este agua pura undécima fórmula de la tabla de integrales indefinidas. Entonces, volviendo a la suma de integrales, tenemos:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Recibimos la misma respuesta que al aplicar la fórmula, lo que, estrictamente hablando, no es de extrañar. En general, la fórmula se demuestra mediante los mismos métodos que utilizamos para encontrar esta integral. Creo que el lector atento puede tener aquí una pregunta, así que la formularé:

Pregunta número 1

Si aplicamos la segunda fórmula de la tabla de integrales indefinidas a la integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, entonces obtenemos lo siguiente:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

¿Por qué no había ningún módulo en la solución?

Respuesta a la pregunta #1

La pregunta es completamente natural. Faltaba el módulo solo porque la expresión $x^2+10x+34$ para cualquier $x\in R$ es mayor que cero. Esto es bastante fácil de demostrar de varias maneras. Por ejemplo, dado que $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ y $(x+5)^2 ≥ 0$, entonces $(x+5)^2+9 > 0$ . Puedes pensar de otra manera, sin utilizar la selección de un cuadrado completo. Dado que $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para cualquier $x\in R$ (si esta cadena lógica te sorprende, te aconsejo que mires el método de solución gráfica desigualdades cuadráticas). En cualquier caso, dado que $x^2+10x+34 > 0$, entonces $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, es decir En lugar de un módulo, puedes utilizar corchetes normales.

Se han solucionado todos los puntos del ejemplo nº 1, solo queda anotar la respuesta.

Respuesta:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Ejemplo No. 2

Encuentra la integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

A primera vista, la fracción integrando $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ es muy similar a una fracción elemental del tercer tipo, es decir por $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Parece que la única diferencia es el coeficiente de $3$ delante de $x^2$, pero no lleva mucho tiempo eliminar el coeficiente (ponerlo entre paréntesis). Sin embargo, esta similitud es evidente. Para la fracción $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condición $p^2-4q es obligatoria< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Nuestro coeficiente antes de $x^2$ no es igual a uno, por lo tanto verifique la condición $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант ecuación cuadrática$x^2+px+q=0$. Si el discriminante menos que cero, entonces la expresión $x^2+px+q$ no se puede factorizar. Calculemos el discriminante del polinomio $3x^2-5x-2$ ubicado en el denominador de nuestra fracción: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Entonces, $D > 0$, por lo tanto, la expresión $3x^2-5x-2$ se puede factorizar. Esto significa que la fracción $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ no es una fracción elemental del tercer tipo, y aplica $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) a la fórmula integral 5x-2)dx$ no es posible.

Bueno, si la fracción racional dada no es una fracción elemental, entonces es necesario representarla como una suma de fracciones elementales y luego integrarla. En definitiva, aprovecha el sendero. Se describe en detalle cómo descomponer una fracción racional en fracciones elementales. Empecemos factorizando el denominador:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(alineado) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(alineado)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Presentamos la fracción subintercal de esta forma:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Ahora descompongamos la fracción $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en fracciones elementales:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\derecha). $$

Para encontrar los coeficientes $A$ y $B$ hay dos formas estándar: método de coeficientes indeterminados y método de sustitución de valores parciales. Apliquemos el método de sustitución de valores parciales, sustituyendo $x=2$ y luego $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Una vez encontrados los coeficientes, solo queda anotar la expansión terminada:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

En principio puedes dejar esta entrada, pero a mí me gusta una opción más precisa:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Volviendo a la integral original, le sustituimos la expansión resultante. Luego dividimos la integral en dos y aplicamos la fórmula a cada uno. Prefiero colocar inmediatamente las constantes fuera del signo integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Respuesta: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Ejemplo No. 3

Encuentra la integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Necesitamos integrar la fracción $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. El numerador contiene un polinomio de segundo grado y el denominador contiene un polinomio de tercer grado. Dado que el grado del polinomio en el numerador es menor que el grado del polinomio en el denominador, es decir $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Todo lo que tenemos que hacer es dividir la integral dada en tres y aplicar la fórmula a cada una. Prefiero colocar inmediatamente las constantes fuera del signo integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Respuesta: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

La continuación del análisis de ejemplos de este tema se ubica en la segunda parte.

TEMA: Integración de fracciones racionales.

¡Atención! Al estudiar uno de los métodos básicos de integración: la integración de fracciones racionales, se requiere considerar polinomios en el dominio complejo para realizar demostraciones rigurosas. Por lo tanto es necesario estudiar con antelación algunas propiedades de los números complejos y operaciones sobre ellos.

Integración de fracciones racionales simples.

Si PAG(z) Y q(z) son polinomios en el dominio complejo, entonces son fracciones racionales. Se llama correcto, si grado PAG(z) menos grado q(z) , Y equivocado, si grado R no menos de un grado q.

Cualquier fracción impropia se puede representar como: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinomio cuyo grado es menor que el grado q(z).

Así, la integración de fracciones racionales se reduce a la integración de polinomios, es decir, funciones potencia y fracciones propias, ya que es una fracción propia.

Definición 5. Las fracciones más simples (o elementales) son los siguientes tipos de fracciones:

1) , 2) , 3) , 4) .

Averigüemos cómo se integran.

3) (estudiado anteriormente).

Teorema 5. Toda fracción propia se puede representar como una suma de fracciones simples (sin demostración).

Corolario 1. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay raíces reales simples, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del primer tipo:

Ejemplo 1.

Corolario 2. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay múltiples raíces reales, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del primer y segundo tipo. :

Ejemplo 2.

Corolario 3. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay raíces conjugadas complejas simples, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del tercer tipo:

Ejemplo 3.

Corolario 4. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay múltiples raíces conjugadas complejas, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples de la tercera y cuarta. tipos:

Para determinar los coeficientes desconocidos en las expansiones dadas, proceda de la siguiente manera. Los lados izquierdo y derecho del desarrollo que contiene coeficientes desconocidos se multiplican por Se obtiene la igualdad de dos polinomios. A partir de él, se obtienen ecuaciones para los coeficientes requeridos usando:

Primero, la igualdad es verdadera para cualquier valor de X (método del valor parcial). En este caso, se obtiene cualquier número de ecuaciones, cualquier m de las cuales permite encontrar los coeficientes desconocidos.

2. los coeficientes coinciden para los mismos grados de X (método de coeficientes indefinidos). En este caso, se obtiene un sistema de m - ecuaciones con m - incógnitas, a partir del cual se encuentran los coeficientes desconocidos.

3. método combinado.

Ejemplo 5. Expandir una fracción a lo más simple.

Solución:

Encontremos los coeficientes A y B.

Método 1: método de valor privado:

Método 2 – método de coeficientes indeterminados:

Respuesta:

Integrando fracciones racionales.

Teorema 6. La integral indefinida de cualquier fracción racional en cualquier intervalo en el que su denominador no sea igual a cero existe y se expresa mediante funciones elementales, a saber, fracciones racionales, logaritmos y arcotangentes.

Prueba.

Imaginemos una fracción racional en la forma: . En este caso, el último término es una fracción propia y, según el teorema 5, se puede representar como una combinación lineal de fracciones simples. Así, la integración de una fracción racional se reduce a la integración de un polinomio. S(X) y fracciones simples, cuyas antiderivadas, como se ha demostrado, tienen la forma indicada en el teorema.

Comentario. La principal dificultad en este caso es la descomposición del denominador en factores, es decir, la búsqueda de todas sus raíces.

Ejemplo 1. Encuentra la integral

Se realiza una prueba de integración de funciones, incluidas fracciones racionales, a los estudiantes de 1º y 2º año. Los ejemplos de integrales serán de interés principalmente para matemáticos, economistas y estadísticos. Estos ejemplos fueron preguntados sobre trabajo de prueba en LNU que lleva el nombre. Yo, franco. Condiciones siguientes ejemplos“Encontrar la integral” o “Calcular la integral”, por lo que para ahorrar espacio y tiempo no fueron escritos.

Ejemplo 15. Llegamos a la integración de funciones fraccionarias-racionales. Ocupan un lugar especial entre las integrales porque requieren mucho tiempo para calcularlas y ayudan a los profesores a evaluar sus conocimientos no sólo de integración. Para simplificar la función bajo la integral, sumamos y restamos una expresión en el numerador que nos permitirá dividir la función bajo la integral en dos simples.

Como resultado, encontramos una integral con bastante rapidez, en la segunda necesitamos expandir la fracción a una suma de fracciones elementales.

Cuando lo reducimos a un denominador común, obtenemos los siguientes números

A continuación, abra los corchetes y agrupe

Igualamos el valor para las mismas potencias de "x" a la derecha y a la izquierda. Como resultado llegamos a un sistema de tres ecuaciones lineales (SLAE) con tres incógnitas.

Cómo resolver sistemas de ecuaciones se describe en otros artículos del sitio. En la versión final recibirás la siguiente solución SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Sustituimos constantes en la expansión de fracciones en las más simples y realizamos integración.


Esto concluye el ejemplo.

Ejemplo 16. Nuevamente necesitamos encontrar la integral de una función racional fraccionaria. Para empezar, descompondremos la ecuación cúbica contenida en el denominador de la fracción en factores simples.

A continuación, descomponemos la fracción en sus formas más simples.

Reducimos el lado derecho a un denominador común y abrimos los corchetes en el numerador.


Igualamos los coeficientes para los mismos grados de la variable. Volvamos al SLAE con tres incógnitas

sustituyamos valores A, B, C en la expansión y calcular la integral

Los dos primeros términos dan el logaritmo, el último también es fácil de encontrar.

Ejemplo 17. En el denominador de la función racional fraccionaria tenemos la diferencia de cubos. Usando fórmulas de multiplicación abreviadas, lo descomponemos en dos factores simples.

Más recibido función fraccionaria anota la cantidad fracciones simples y reunirlos en un denominador común

En el numerador obtenemos la siguiente expresión.

A partir de él formamos un sistema de ecuaciones lineales para calcular 3 incógnitas.

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Sustituimos A, B, C en la fórmula y realizamos la integración. Como resultado llegamos a la siguiente respuesta:


Aquí el numerador de la segunda integral se convirtió en un logaritmo y el resto de la integral da el arcotangente.
Hay muchos ejemplos similares sobre la integración de fracciones racionales en Internet. Puede encontrar ejemplos similares en los materiales siguientes.