Ecuación general de una recta que pasa por 2 puntos. Ecuación de una recta que pasa por un punto, ecuación de una recta que pasa por dos puntos, ángulo entre dos rectas, pendiente de una recta

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado en una dirección determinada. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. El ángulo entre dos líneas rectas. La condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos líneas.

1. Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(X 1 , y 1) en una dirección determinada, determinada por la pendiente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Esta ecuación define un lápiz de líneas que pasan por un punto. A(X 1 , y 1), que se llama centro del haz.

2. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A(X 1 , y 1) y B(X 2 , y 2), escrito así:

El coeficiente angular de una línea recta que pasa por dos puntos dados está determinado por la fórmula

3. Ángulo entre rectas A Y B es el ángulo que debe girar la primera línea recta A alrededor del punto de intersección de estas líneas en sentido antihorario hasta que coincida con la segunda línea B. Si dos rectas están dadas por ecuaciones con pendiente

y = k 1 X + B 1 ,

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

Además, las constantes A y B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama ecuación general de una recta. Dependiendo de los valores constante A, B y C son posibles los siguientes casos especiales:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la recta pasa por el origen

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - línea recta paralela al eje Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – línea recta paralela al eje Oy

B = C = 0, A ≠0 – la línea recta coincide con el eje Oy

A = C = 0, B ≠0 – la línea recta coincide con el eje Ox

La ecuación de una línea recta se puede representar en en varias formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.

Ecuación de una recta desde un punto y un vector normal

Definición. En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B) es perpendicular a la línea recta dada por la ecuación Ax + By + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x – y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C, sustituimos las coordenadas en la expresión resultante. Punto dado R. Obtenemos: 3 – 2 + C = 0, por lo tanto, C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x – y – 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:

Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En el plano, la ecuación de la recta escrita arriba está simplificada:

si x 1 ≠ x 2 y x = x 1, si x 1 = x 2.

La fracción = k se llama pendiente derecho.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta desde un punto y pendiente

Si el total Ax + Bu + C = 0, se obtiene la forma:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama ecuación de una recta con pendientek.

Ecuación de una recta desde un punto y un vector director

Por analogía con el punto, considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, se puede ingresar la definición de una línea recta que pasa por un punto y el vector director de la línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α 1, α 2), cuyos componentes satisfacen la condición A α 1 + B α 2 = 0 se llama vector director de la línea

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Ax + By + C = 0. De acuerdo con la definición, los coeficientes deben cumplir las condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtenemos C/ A = -3, es decir ecuación requerida:

Ecuación de una recta en segmentos

Si en la ecuación general de la recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por –С, obtenemos: o

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente A es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Ox, y b– la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Oy.

Ejemplo. Colocar ecuación general recta x – y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta

Si ambos lados de la ecuación Ax + By + C = 0 se multiplican por el número Lo que es llamado factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysenφ - p = 0 –

ecuación normal de una recta. El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Ejemplo. Dada la ecuación general de la recta 12x – 5y – 65 = 0. Necesitas escribir Varios tipos ecuaciones de esta recta.

ecuación de esta recta en segmentos:

ecuación de esta recta con pendiente: (dividir entre 5)

; porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, rectas paralelas a los ejes o que pasan por el origen de coordenadas.

Ejemplo. La línea recta corta segmentos positivos iguales en los ejes de coordenadas. Escribe una ecuación para una recta si el área del triángulo formado por estos segmentos es de 8 cm 2.

Solución. La ecuación de la recta tiene la forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. un = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Ejemplo. Escribe una ecuación para una línea recta que pasa por el punto A(-2, -3) y el origen.

Solución. La ecuación de la recta es: , donde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos rectas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, entonces el ángulo agudo entre estas rectas se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Las rectas Ax + Bу + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 son paralelas cuando los coeficientes A 1 = λA, B 1 = λB son proporcionales. Si también C 1 = λC, entonces las rectas coinciden. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada

Definición. Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) y es perpendicular a la recta y = kx + b está representada por la ecuación:

Distancia de un punto a una línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Ax + Bу + C = 0 se determina como

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

(1)

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema está demostrado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x – 5y + 7 = 0 y 10x + 6y – 3 = 0 son perpendiculares.

Solución. Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, por tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Solución. Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Entonces y = . Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3 x + 2 y – 34 = 0.

En este artículo consideraremos la ecuación general de una línea recta en un plano. Demos ejemplos de cómo construir una ecuación general de una recta si se conocen dos puntos de esta recta o si se conocen un punto y el vector normal de esta recta. Introduzcamos métodos para transformar la ecuación en vista general en vistas canónicas y paramétricas.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario. oxi. Considere la ecuación de primer grado o ecuación lineal:

Hacha+por+C=0,

(1)

Dónde A B C− algunas constantes y al menos uno de los elementos. A Y B diferente de cero.

Demostraremos que una ecuación lineal en un plano define una línea recta. Demostremos el siguiente teorema.

Teorema 1. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario en un plano, cada línea recta puede especificarse mediante una ecuación lineal. Por el contrario, cada ecuación lineal (1) en un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario en un plano define una línea recta.

Prueba. Basta demostrar que la recta l está determinado por una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangular cartesiano, ya que entonces estará determinado por una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangular cartesiano elegido.

Sea una línea recta en el avión. l. Elijamos un sistema de coordenadas para que el eje Buey coincidió con una línea recta l, y el eje Oye era perpendicular a él. Entonces la ecuación de la recta l Va a aceptar siguiente vista:

y=0.

(2)

Todos los puntos en una recta l satisfará la ecuación lineal (2), y todos los puntos fuera de esta línea no satisfarán la ecuación (2). La primera parte del teorema ha sido demostrada.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano y una ecuación lineal (1), donde al menos uno de los elementos A Y B diferente de cero. Encontremos el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (1). Dado que al menos uno de los coeficientes A Y B es diferente de cero, entonces la ecuación (1) tiene al menos una solución METRO(X 0 ,y 0). (Por ejemplo, cuando A≠0, punto METRO 0 (−CALIFORNIA, 0) pertenece al lugar geométrico dado de los puntos). Sustituyendo estas coordenadas en (1) obtenemos la identidad

Hacha 0 +Por 0 +C=0.

(3)

Restemos la identidad (3) de (1):

A(X−X 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Obviamente, la ecuación (4) es equivalente a la ecuación (1). Por tanto, basta demostrar que (4) define una determinada recta.

Dado que estamos considerando un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, de la igualdad (4) se deduce que el vector con componentes ( x-x 0 , y-y 0 ) ortogonal al vector norte con coordenadas ( A,B}.

Consideremos una línea recta. l, pasando por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y perpendicular al vector norte(Figura 1). deja el punto METRO(X,y) pertenece a la línea l. Entonces el vector con coordenadas x-x 0 , y-y 0 perpendicular norte y se satisface la ecuación (4) (producto escalar de vectores norte e igual a cero). Por el contrario, si el punto METRO(X,y) no está sobre una recta l, entonces el vector con coordenadas x-x 0 , y-y 0 no es ortogonal al vector norte y la ecuación (4) no se satisface. El teorema está demostrado.

Prueba. Dado que las líneas (5) y (6) definen la misma línea, entonces los vectores normales norte 1 ={A 1 ,B 1) y norte 2 ={A 2 ,B 2) colineal. Desde vectores norte 1 ≠0, norte 2 ≠0, entonces existe tal número λ , Qué norte 2 =norte 1 λ . De aquí tenemos: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Probemos que C 2 =C 1 λ . Obviamente, las líneas coincidentes tienen un punto común. METRO 0 (X 0 , y 0). Multiplicar la ecuación (5) por λ y restándole la ecuación (6) obtenemos:

Dado que las dos primeras igualdades de las expresiones (7) se satisfacen, entonces C 1 λ −C 2 = 0. Aquellos. C 2 =C 1 λ . La observación ha sido probada.

Tenga en cuenta que la ecuación (4) define la ecuación de la línea recta que pasa por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y tener un vector normal norte={A,B). Por tanto, si se conocen el vector normal de una recta y el punto que pertenece a esta recta, entonces la ecuación general de la recta se puede construir mediante la ecuación (4).

Ejemplo 1. Una línea recta pasa por un punto. METRO=(4,−1) y tiene un vector normal norte=(3, 5). Construye la ecuación general de una recta.

Solución. Tenemos: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Para construir la ecuación general de una recta, sustituimos estos valores en la ecuación (4):

Respuesta:

El vector es paralelo a la recta. l y, por tanto, perpendicular al vector normal de la recta l. Construyamos un vector lineal normal. l, teniendo en cuenta que el producto escalar de vectores norte e igual a cero. Podemos escribir, por ejemplo, norte={1,−3}.

Para construir la ecuación general de una línea recta utilizamos la fórmula (4). Sustituyamos las coordenadas del punto en (4) METRO 1 (también podemos tomar las coordenadas del punto METRO 2) y vector normal norte:

Sustituyendo las coordenadas de los puntos. METRO 1 y METRO 2 en (9) podemos asegurarnos de que la línea recta dado por la ecuación(9) pasa por estos puntos.

Respuesta:

Resta (10) de (1):

Hemos obtenido la ecuación canónica de la recta. Vector q={−B, A) es el vector director de la recta (12).

Ver conversión inversa.

Ejemplo 3. Una recta sobre un plano está representada por la siguiente ecuación general:

Movamos el segundo término hacia la derecha y dividimos ambos lados de la ecuación por 2·5.

Este artículo revela la derivación de la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular ubicado en un plano. Derivemos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular. Mostraremos y resolveremos claramente varios ejemplos relacionados con el material tratado.

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Antes de obtener la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario prestar atención a algunos hechos. Existe un axioma que dice que por dos puntos divergentes de un plano es posible trazar una línea recta y sólo uno. En otras palabras, dos puntos dados en un plano están definidos por una línea recta que pasa por esos puntos.

Si el plano está definido por el sistema de coordenadas rectangular Oxy, entonces cualquier línea recta representada en él corresponderá a la ecuación de una línea recta en el plano. También existe una conexión con el vector director de la línea recta. Estos datos son suficientes para compilar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Veamos un ejemplo de cómo resolver un problema similar. Es necesario crear una ecuación para una línea recta a que pasa por dos puntos divergentes M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2), ubicados en el sistema de coordenadas cartesiano.

En la ecuación canónica de una recta en un plano, que tiene la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, un sistema de coordenadas rectangular O x y se especifica con una recta que se cruza con él en un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1) con un vector guía a → = (a x , a y) .

Es necesario crear una ecuación canónica de una recta a, que pasará por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2).

La recta a tiene un vector director M 1 M 2 → con coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ya que cruza los puntos M 1 y M 2. Hemos obtenido los datos necesarios para transformar la ecuación canónica con las coordenadas del vector director M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) y las coordenadas de los puntos M 1 que se encuentran sobre ellos. (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Considere la siguiente figura.

Siguiendo los cálculos, escribimos las ecuaciones paramétricas de una recta en un plano que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Echemos un vistazo más de cerca a la resolución de varios ejemplos.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación de una línea recta que pasa por 2 puntos dados con coordenadas M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Solución

La ecuación canónica para una línea que se cruza en dos puntos con coordenadas x 1, y 1 y x 2, y 2 toma la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Según las condiciones del problema, tenemos que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Es necesario sustituir los valores numéricos en la ecuación x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De aquí obtenemos que la ecuación canónica toma la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Respuesta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Si necesitas resolver un problema con otro tipo de ecuación, primero puedes pasar a la canónica, ya que es más fácil pasar de ella a cualquier otra.

Ejemplo 2

Redacte la ecuación general de una línea recta que pasa por puntos con coordenadas M 1 (1, 1) y M 2 (4, 2) en el sistema de coordenadas O x y.

Solución

Primero, debes escribir la ecuación canónica de una recta dada que pasa por dos puntos dados. Obtenemos una ecuación de la forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Llevemos la ecuación canónica a la forma deseada, luego obtenemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Respuesta: x - 3 y + 2 = 0 .

En los libros de texto escolares se discutieron ejemplos de tales tareas durante las lecciones de álgebra. Los problemas escolares se diferenciaban en que se conocía la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular, que tenía la forma y = k x + b. Si necesita encontrar el valor de la pendiente k y el número b para el cual la ecuación y = k x + b define una recta en el sistema O x y que pasa por los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 ( x 2, y 2), donde x 1 ≠ x 2. Cuando x1 = x2 , entonces el coeficiente angular toma el valor de infinito, y la línea recta M 1 M 2 está definida por una ecuación general incompleta de la forma x - x 1 = 0 .

porque los puntos m 1 Y m2 están en línea recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y 1 = k x 1 + b y y 2 = k x 2 + b. Es necesario resolver el sistema de ecuaciones y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b para k y b.

Para hacer esto, encontramos k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con estos valores de k y b, la ecuación de una recta que pasa por los dos puntos dados queda y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Recuerda esto de inmediato gran cantidad Las fórmulas no funcionarán. Para ello, es necesario aumentar el número de repeticiones en la resolución de problemas.

Ejemplo 3

Escriba la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular que pasa por puntos con coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solución

Para resolver el problema, usamos una fórmula con un coeficiente angular de la forma y = k x + b. Los coeficientes k y b deben tomar un valor tal que esta ecuación corresponda a una línea recta que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (- 7, - 5) y M 2 (2, 1).

Puntos m 1 Y m2 están ubicados en una línea recta, entonces sus coordenadas deben hacer que la ecuación y = k x + b sea una verdadera igualdad. De esto obtenemos que - 5 = k · (- 7) + b y 1 = k · 2 + b. Combinemos la ecuación en el sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b y resolvamos.

Al sustituirlo obtenemos que

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ahora los valores k = 2 3 y b = - 1 3 se sustituyen en la ecuación y = k x + b. Encontramos que la ecuación requerida que pasa por los puntos dados será una ecuación de la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Este método de solución predetermina la pérdida de mucho tiempo. Hay una manera de resolver el problema literalmente en dos pasos.

Escribamos la ecuación canónica de la recta que pasa por M 2 (2, 1) y M 1 (- 7, - 5), que tiene la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ahora pasemos a la ecuación de la pendiente. Obtenemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Respuesta: y = 2 3 x - 1 3 .

si en espacio tridimensional hay un sistema de coordenadas rectangular O x y z con dos puntos dados no coincidentes con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), una línea recta M 1 M 2 pasando por ellos, es necesario obtener la ecuación de esta recta.

Tenemos que ecuaciones canónicas de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z y ecuaciones paramétricas de la forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ son capaces de definir una recta en el sistema de coordenadas O x y z, que pasa por puntos que tienen coordenadas (x 1, y 1, z 1) con un vector director a → = (a x, a y, a z).

Recto M 1 M 2 tiene un vector de dirección de la forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), donde la línea recta pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2 , y 2 , z 2), por lo tanto, la ecuación canónica puede tener la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, a su vez paramétrico x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Considere un dibujo que muestra 2 puntos dados en el espacio y la ecuación de una línea recta.

Ejemplo 4

Escribe la ecuación de una recta definida en un sistema de coordenadas rectangular O x y z del espacio tridimensional, que pasa por dos puntos dados con coordenadas M 1 (2, - 3, 0) y M 2 (1, - 3, - 5).

Solución

Es necesario encontrar la ecuación canónica. Porque estamos hablando acerca de sobre el espacio tridimensional, lo que significa que cuando una línea recta pasa por puntos dados, la ecuación canónica deseada tomará la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Por condición tenemos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. De ello se deduce que las ecuaciones necesarias se escribirán de la siguiente manera:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Respuesta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Ecuación de una recta en un plano.

Como se sabe, cualquier punto del plano está determinado por dos coordenadas en algún sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas pueden ser diferentes según la elección de la base y el origen.

Definición. Ecuación lineal Se llama relación y = f(x) entre las coordenadas de los puntos que forman esta recta.

Tenga en cuenta que la ecuación de una recta se puede expresar de forma paramétrica, es decir, cada coordenada de cada punto se expresa a través de algún parámetro independiente. t.

Un ejemplo típico es la trayectoria de un punto en movimiento. En este caso, el papel del parámetro lo desempeña el tiempo.

Ecuación de una recta en un plano.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

Además, las constantes A y B no son iguales a cero al mismo tiempo, es decir A 2 + B 2  0. Esta ecuación de primer orden se llama ecuación general de una recta.

Dependiendo de los valores de las constantes A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:

C = 0, A  0, B  0 – la recta pasa por el origen

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - línea recta paralela al eje Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – línea recta paralela al eje Oy

B = C = 0, A  0 – la línea recta coincide con el eje Oy

A = C = 0, B  0 – la línea recta coincide con el eje Ox

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.

Definición. En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B) es perpendicular a la línea recta dada por la ecuación Ax + By + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x – y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C, sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante.

Obtenemos: 3 – 2 + C = 0, por lo tanto C = -1.

Total: la ecuación requerida: 3x – y – 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero.

En el plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

si x 1  x 2 y x = x 1, si x 1 = x 2.

Fracción
=k se llama pendiente derecho.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se reduce a la forma:

y designar
, entonces la ecuación resultante se llama ecuación de una recta con pendientek.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.

Definición. Cada vector distinto de cero ( 1,  2), cuyos componentes satisfacen la condición A 1 + B 2 = 0 se llama vector director de la línea

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director. (1, -1) y pasando por el punto A(1, 2).

Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Ax + By + C = 0. De acuerdo con la definición, los coeficientes deben cumplir las condiciones:

1A + (-1)B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir ecuación requerida:

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la recta Ах + Ву + С = 0 С 0, entonces, dividiendo por –С, obtenemos:
o

, Dónde

Ejemplo. Se da la ecuación general de la recta x – y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Ax + By + C = 0 se dividen por el número
Lo que es llamado factor de normalización, entonces obtenemos

xcos + ysen - p = 0 –

ecuación normal de una recta.

El signo  del factor de normalización debe elegirse de modo que С< 0.

p es la longitud de la perpendicular que cae desde el origen hasta la recta, y  es el ángulo que forma esta perpendicular con la dirección positiva del eje Ox.

Ejemplo. Se da la ecuación general de la recta 12x – 5y – 65 = 0. Se requiere escribir varios tipos de ecuaciones para esta recta.

ecuación de esta recta en segmentos:

ecuación de esta recta con pendiente: (dividir entre 5)

ecuación normal de una recta:

; porque = 12/13; pecado = -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, rectas paralelas a los ejes o que pasan por el origen de coordenadas.

Ejemplo. La línea recta corta segmentos positivos iguales en los ejes de coordenadas. Escribe una ecuación para una recta si el área del triángulo formado por estos segmentos es de 8 cm 2.

La ecuación de la recta es:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 no es adecuado según las condiciones del problema.

Total:
o x + y – 4 = 0.

Ejemplo. Escribe una ecuación para una línea recta que pasa por el punto A(-2, -3) y el origen.

La ecuación de la recta es:
, donde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

El ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos rectas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, entonces el ángulo agudo entre estas rectas se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2.

Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Líneas directas Ax + Wu + C = 0 y A 1 x+B 1 y + C 1 = 0 son paralelos cuando los coeficientes A son proporcionales 1 =  A, B 1 =  B. Si también C 1 =  C, entonces las líneas coinciden.

Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado

perpendicular a esta línea.

Definición. Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) y es perpendicular a la recta y = kx + b está representada por la ecuación:

Distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da el punto M(x) 0 , y 0 ), entonces la distancia a la línea recta Ах + Ву + С =0 se define como

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una recta dada.

Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema está demostrado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x – 5y + 7 = 0 y 10x + 6y – 3 = 0 son perpendiculares.

Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, por tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Encontramos la ecuación del lado AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k = . Entonces y =
. Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación:
de donde b = 17. Total:
.

Respuesta: 3x + 2y – 34 = 0.

Geometría analítica en el espacio.

Ecuación de una recta en el espacio.

Ecuación de una recta en el espacio dado un punto y

vector de dirección.

Tomemos una recta arbitraria y un vector. (m, n, p), paralela a la recta dada. Vector llamado vector guía derecho.

En línea recta tomamos dos puntos arbitrarios M 0 (x 0 , y 0 , z 0) y M (x, y, z).

m 1

Denotemos los vectores de radio de estos puntos como Y , es obvio que - =
.

Porque vectores
Y son colineales, entonces la relación es verdadera
= t, donde t es algún parámetro.

En total podemos escribir: = + t.

Porque esta ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto de la recta, entonces la ecuación resultante es ecuación paramétrica de una recta.

Esta ecuación vectorial se puede representar en forma de coordenadas:

Transformando este sistema e igualando los valores del parámetro t, obtenemos las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio:

Definición. Cosenos de dirección directos son los cosenos directores del vector , que se puede calcular mediante las fórmulas:

;

.

De aquí obtenemos: m: n: p = cos : cos : cos.

Los números m, n, p se llaman coeficientes de ángulo derecho. Porque es un vector distinto de cero, entonces m, n y p no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo, pero uno o dos de estos números pueden ser iguales a cero. En este caso, en la ecuación de la recta, los numeradores correspondientes deben igualarse a cero.

Ecuación de una recta en el espacio que pasa

a través de dos puntos.

Si en una línea recta en el espacio marcamos dos puntos arbitrarios M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), entonces las coordenadas de estos puntos deben satisfacer la ecuación de la línea recta. obtenido arriba: