Fundamentos de la teoría de la probabilidad para actuarios. Conceptos básicos del equilibrio del juego: aleatoriedad y probabilidad de que ocurran varios eventos

Inicialmente, siendo sólo una colección de información y observaciones empíricas sobre el juego de dados, la teoría de la probabilidad se convirtió en una ciencia completa. Los primeros en darle un marco matemático fueron Fermat y Pascal.

Del pensamiento de lo eterno a la teoría de la probabilidad

Los dos individuos a quienes la teoría de la probabilidad debe muchas de sus fórmulas fundamentales, Blaise Pascal y Thomas Bayes, son conocidos como personas profundamente religiosas, siendo este último un ministro presbiteriano. Al parecer, el deseo de estos dos científicos de demostrar la falacia de la opinión de que cierta Fortuna daba buena suerte a sus favoritos impulsó la investigación en este campo. Después de todo, de hecho, cualquier juego de apuestas con sus ganancias y pérdidas es sólo una sinfonía de principios matemáticos.

Gracias a la pasión del señor de Mere, que igualmente Como jugador y persona no indiferente a la ciencia, Pascal se vio obligado a encontrar una manera de calcular la probabilidad. De Mere estaba interesado en la siguiente pregunta: "¿Cuántas veces hay que lanzar dos dados en parejas para que la probabilidad de obtener 12 puntos supere el 50%?" La segunda pregunta, que fue de gran interés para el caballero: "¿Cómo dividir la apuesta entre los participantes en el juego inacabado?" Por supuesto, Pascal respondió con éxito a ambas preguntas de De Mere, quien se convirtió en el iniciador involuntario del desarrollo de la teoría de la probabilidad. Es interesante que la persona de De Mere siguiera siendo conocida en esta zona y no en la literatura.

Hasta ahora, ningún matemático había intentado calcular las probabilidades de eventos, ya que se creía que se trataba sólo de una solución de conjetura. Blaise Pascal dio la primera definición de probabilidad de un evento y demostró que figura específica, que puede justificarse matemáticamente. La teoría de la probabilidad se ha convertido en la base de la estadística y se utiliza ampliamente en la ciencia moderna.

¿Qué es la aleatoriedad?

Si consideramos una prueba que se puede repetir un número infinito de veces, entonces podemos definir un evento aleatorio. Este es uno de los resultados probables del experimento.

La experiencia es la implementación de acciones específicas en condiciones constantes.

Para poder trabajar con los resultados del experimento, los eventos se suelen designar con las letras A, B, C, D, E...

Probabilidad de un evento aleatorio

Para comenzar con la parte matemática de la probabilidad, es necesario definir todos sus componentes.

La probabilidad de un evento es una medida numérica de la posibilidad de que algún evento (A o B) ocurra como resultado de una experiencia. La probabilidad se denota como P(A) o P(B).

En teoría de la probabilidad distinguen:

• confiable se garantiza que el evento ocurrirá como resultado de la experiencia P(Ω) = 1;
• imposible el evento nunca puede ocurrir P(Ø) = 0;
• aleatorio un evento se encuentra entre confiable e imposible, es decir, la probabilidad de que ocurra es posible, pero no está garantizada (la probabilidad de un evento aleatorio siempre está dentro del rango 0≤Р(А)≤ 1).

Relaciones entre eventos

Se considera tanto uno como la suma de los eventos A+B, cuando el evento se cuenta cuando se cumple al menos uno de los componentes, A o B, o ambos, A y B.

En relación entre sí, los eventos pueden ser:

• Igualmente posible.
• Compatible.
• Incompatible.
• Opuesto (mutuamente excluyente).
• Dependiente.

Si dos eventos pueden suceder con igual probabilidad, entonces igualmente posible.

Si la ocurrencia del evento A no reduce a cero la probabilidad de que ocurra el evento B, entonces compatible.

Si los eventos A y B nunca ocurren simultáneamente en la misma experiencia, entonces se llaman incompatible. Lanzamiento de la moneda - buen ejemplo: la aparición de cabezas es automáticamente la no aparición de cabezas.

La probabilidad de la suma de dichos eventos incompatibles consiste en la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Si la ocurrencia de un evento imposibilita la ocurrencia de otro, entonces se llaman opuestos. Entonces uno de ellos se designa como A y el otro como Ā (léase "no A"). La ocurrencia del evento A significa que Ā no sucedió. Estos dos eventos forman un grupo completo con una suma de probabilidades igual a 1.

Los eventos dependientes tienen influencia mutua, disminuyendo o aumentando la probabilidad de que se produzcan entre sí.

Relaciones entre eventos. Ejemplos

Usando ejemplos es mucho más fácil entender los principios de la teoría de la probabilidad y las combinaciones de eventos.

El experimento que se realizará consiste en sacar bolas de una caja, y el resultado de cada experimento es un resultado elemental.

Un evento es uno de los posibles resultados de un experimento: una bola roja, una bola azul, una bola con el número seis, etc.

Prueba número 1. Hay 6 bolas involucradas, tres de las cuales son azules con números impares y las otras tres son rojas con números pares.

Prueba número 2. 6 bolas involucradas de color azul con números del uno al seis.

Basándonos en este ejemplo, podemos nombrar combinaciones:

• Evento confiable. En español No. 2 el evento “sacar la bola azul” es confiable, ya que la probabilidad de que ocurra es igual a 1, ya que todas las bolas son azules y no se puede fallar. Mientras que el evento “sacar la pelota con el número 1” es aleatorio.
• Evento imposible. En español No. 1 con bolas azules y rojas, el evento “sacar la bola morada” es imposible, ya que la probabilidad de que ocurra es 0.
• Eventos igualmente posibles. En español No. 1, los eventos “sacar la pelota con el número 2” y “sacar la pelota con el número 3” son igualmente posibles, y los eventos “sacar la pelota con un número par” y “sacar la pelota con el número 2” ”tienen diferentes probabilidades.
• Eventos compatibles. Obtener un seis dos veces seguidas al lanzar un dado es un evento compatible.
• Eventos incompatibles. En el mismo español. N° 1, los eventos “saca una bola roja” y “saca una bola con número impar” no se pueden combinar en la misma experiencia.
• Eventos opuestos. Mayoría ejemplo brillante Esto es lanzar una moneda, donde sacar cara equivale a no sacar cruz, y la suma de sus probabilidades es siempre 1 (grupo completo).
• Eventos dependientes. Entonces, en español. No. 1, puedes establecer el objetivo de sacar la bola roja dos veces seguidas. El hecho de que se recupere o no la primera vez afecta la probabilidad de que se recupere la segunda vez.

Se puede observar que el primer evento afecta significativamente la probabilidad del segundo (40% y 60%).

Fórmula de probabilidad de evento

La transición de la adivinación a los datos precisos se produce mediante la traducción del tema al plano matemático. Es decir, los juicios sobre un evento aleatorio como “alta probabilidad” o “mínima probabilidad” pueden traducirse en datos numéricos específicos. Ya está permitido evaluar, comparar e introducir dicho material en cálculos más complejos.

Desde el punto de vista del cálculo, determinar la probabilidad de un evento es la relación entre el número de resultados positivos elementales y el número de todos los resultados posibles de la experiencia con respecto a un evento específico. La probabilidad se denota por P(A), donde P significa la palabra "probabilite", que se traduce del francés como "probabilidad".

Entonces, la fórmula para la probabilidad de un evento es:

Donde m es el número de resultados favorables para el evento A, n es la suma de todos los resultados posibles para esta experiencia. En este caso, la probabilidad de un evento siempre está entre 0 y 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Cálculo de la probabilidad de un evento. Ejemplo

Tomemos el español. No. 1 con bolas, como se describió anteriormente: 3 bolas azules con los números 1/3/5 y 3 bolas rojas con los números 2/4/6.

A partir de esta prueba se pueden considerar varios problemas diferentes:

• A - bola roja que se cae. Hay 3 bolas rojas y hay 6 opciones en total. ejemplo más simple, en el que la probabilidad del evento es igual a P(A)=3/6=0,5.
• B - sacar un número par. Hay 3 números pares (2,4,6) y el número total de opciones numéricas posibles es 6. La probabilidad de este evento es P(B)=3/6=0,5.
• C - la aparición de un número mayor que 2. Hay 4 de estas opciones (3,4,5,6) de un número total de resultados posibles de 6. La probabilidad del evento C es igual a P(C)=4 /6=0,67.

Como puede verse en los cálculos, el evento C tiene una probabilidad mayor, ya que el número de resultados positivos probables es mayor que en A y B.

Eventos incompatibles

Tales acontecimientos no pueden aparecer simultáneamente en la misma experiencia. como en español No. 1 es imposible sacar una bola azul y una roja al mismo tiempo. Es decir, puedes obtener una bola azul o roja. Del mismo modo, en un dado no pueden aparecer al mismo tiempo un número par y uno impar.

La probabilidad de dos eventos se considera como la probabilidad de su suma o producto. La suma de tales eventos A+B se considera un evento que consiste en la ocurrencia del evento A o B, y el producto de ellos AB es la ocurrencia de ambos. Por ejemplo, la aparición de dos seises a la vez en las caras de dos dados en un solo lanzamiento.

La suma de varios eventos es un evento que presupone la ocurrencia de al menos uno de ellos. La producción de varios acontecimientos es la ocurrencia conjunta de todos ellos.

En la teoría de la probabilidad, por regla general, el uso de la conjunción "y" denota una suma, y ​​la conjunción "o" - multiplicación. Las fórmulas con ejemplos te ayudarán a comprender la lógica de la suma y la multiplicación en la teoría de la probabilidad.

Probabilidad de la suma de eventos incompatibles.

Si se considera la probabilidad eventos incompatibles, entonces la probabilidad de la suma de eventos es igual a la suma de sus probabilidades:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Por ejemplo: calculemos la probabilidad de que en español. No. 1 con bolas azules y rojas, aparecerá un número entre 1 y 4. Calcularemos no en una acción, sino por la suma de las probabilidades de los componentes elementales. Entonces, en tal experimento solo hay 6 bolas o 6 de todos los resultados posibles. Los números que cumplen la condición son 2 y 3. La probabilidad de obtener el número 2 es 1/6, la probabilidad de obtener el número 3 también es 1/6. La probabilidad de obtener un número entre 1 y 4 es:

La probabilidad de la suma de eventos incompatibles de un grupo completo es 1.

Entonces, si en un experimento con un cubo sumamos las probabilidades de que aparezcan todos los números, el resultado será uno.

Esto también es válido para eventos opuestos, por ejemplo en el experimento con una moneda, donde una cara es el evento A y la otra es el evento opuesto Ā, como se sabe,

P(A) + P(Ā) = 1

Probabilidad de que ocurran eventos incompatibles

La multiplicación de probabilidad se utiliza cuando se considera la ocurrencia de dos o más eventos incompatibles en una observación. La probabilidad de que los eventos A y B aparezcan simultáneamente en él es igual al producto de sus probabilidades, o:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Por ejemplo, la probabilidad de que en español No. 1, como resultado de dos intentos, aparecerá dos veces una bola azul, igual a

Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento cuando, como resultado de dos intentos de extraer bolas, solo se extraen bolas azules es del 25%. Es muy fácil hacer experimentos prácticos sobre este problema y ver si realmente es así.

Eventos conjuntos

Se consideran eventos conjuntos cuando la ocurrencia de uno de ellos puede coincidir con la ocurrencia de otro. A pesar de que son conjuntos, se considera la probabilidad de eventos independientes. Por ejemplo, lanzar dos dados puede dar un resultado cuando en ambos aparece el número 6, aunque los eventos coincidieron y aparecieron al mismo tiempo, son independientes entre sí: solo un seis podría caer, el segundo dado no. influencia sobre el mismo.

La probabilidad de eventos conjuntos se considera la probabilidad de su suma.

Probabilidad de la suma de eventos conjuntos. Ejemplo

La probabilidad de la suma de los eventos A y B, que son conjuntos entre sí, es igual a la suma de las probabilidades del evento menos la probabilidad de que ocurran (es decir, su ocurrencia conjunta):

junta R (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Supongamos que la probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo es 0,4. Entonces el evento A es dar en el blanco en el primer intento, B en el segundo. Estos eventos son conjuntos, ya que es posible que puedas dar en el blanco tanto con el primer como con el segundo disparo. Pero los acontecimientos no dependen. ¿Cuál es la probabilidad del evento de dar en el blanco con dos disparos (al menos con uno)? Según la fórmula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

La respuesta a la pregunta es: "La probabilidad de dar en el blanco con dos disparos es del 64%".

Esta fórmula para la probabilidad de un evento también se puede aplicar a eventos incompatibles, donde la probabilidad de que ocurra conjuntamente un evento P(AB) = 0. Esto significa que la probabilidad de la suma de eventos incompatibles puede considerarse un caso especial. de la fórmula propuesta.

Geometría de probabilidad para mayor claridad.

Curiosamente, la probabilidad de la suma de eventos conjuntos se puede representar como dos áreas A y B, que se cruzan entre sí. Como puede verse en la imagen, el área de su unión es igual a área total menos el área de su intersección. Esta explicación geométrica hace más comprensible la fórmula aparentemente ilógica. Tenga en cuenta que las soluciones geométricas no son infrecuentes en la teoría de la probabilidad.

Determinar la probabilidad de la suma de muchos (más de dos) eventos conjuntos es bastante engorroso. Para calcularlo es necesario utilizar las fórmulas que se proporcionan para estos casos.

Eventos dependientes

Los eventos se denominan dependientes si la ocurrencia de uno (A) de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia de otro (B). Además, se tiene en cuenta la influencia tanto de la ocurrencia del evento A como de su no ocurrencia. Aunque los eventos se denominan dependientes por definición, sólo uno de ellos es dependiente (B). La probabilidad ordinaria se denota como P(B) o la probabilidad de eventos independientes. En el caso de eventos dependientes, se introduce un nuevo concepto: probabilidad condicional P A (B), que es la probabilidad de un evento dependiente B, sujeto a la ocurrencia del evento A (hipótesis), del cual depende.

Pero el evento A también es aleatorio, por lo que también tiene una probabilidad que necesita y puede tenerse en cuenta en los cálculos realizados. El siguiente ejemplo mostrará cómo trabajar con eventos dependientes y una hipótesis.

Un ejemplo de cálculo de la probabilidad de eventos dependientes.

Un buen ejemplo para calcular eventos dependientes sería plataforma estándar kart.

Usando una baraja de 36 cartas como ejemplo, veamos los eventos dependientes. Necesitamos determinar la probabilidad de que la segunda carta extraída de la baraja sea de diamantes si la primera carta extraída es:

1. Bubnovaya.
2. Un color diferente.

Obviamente, la probabilidad del segundo evento B depende del primero A. Entonces, si la primera opción es cierta, que hay 1 carta (35) y 1 diamante (8) menos en la baraja, la probabilidad del evento B:

R A (B) =8/35=0,23

Si la segunda opción es verdadera, entonces la baraja tiene 35 cartas y aún se conserva el número total de diamantes (9), entonces la probabilidad del siguiente evento B:

R A (B) =9/35=0,26.

Se puede observar que si el evento A está condicionado al hecho de que la primera carta sea un diamante, entonces la probabilidad del evento B disminuye, y viceversa.

Multiplicar eventos dependientes

Guiados por el capítulo anterior, aceptamos el primer evento (A) como un hecho, pero en esencia es de naturaleza aleatoria. La probabilidad de este evento, es decir, sacar un diamante de una baraja de cartas, es igual a:

P(A) = 9/36=1/4

Dado que la teoría no existe por sí sola, sino que está destinada a cumplir propósitos prácticos, es justo señalar que lo que más a menudo se necesita es la probabilidad de producir eventos dependientes.

Según el teorema sobre el producto de probabilidades de eventos dependientes, la probabilidad de ocurrencia de eventos A y B conjuntamente dependientes es igual a la probabilidad de un evento A, multiplicada por la probabilidad condicional del evento B (dependiente de A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Entonces, en el ejemplo de la baraja, la probabilidad de sacar dos cartas del palo de diamantes es:

9/36*8/35=0,0571, o 5,7%

Y la probabilidad de extraer primero no diamantes, sino diamantes, es igual a:

27/36*9/35=0,19, o 19%

Se puede observar que la probabilidad de que ocurra el evento B es mayor siempre que la primera carta extraída sea de un palo distinto al de diamantes. Este resultado es bastante lógico y comprensible.

Probabilidad total de un evento

Cuando un problema con probabilidades condicionales se vuelve multifacético, no se puede calcular utilizando métodos convencionales. Cuando hay más de dos hipótesis, concretamente A1, A2,…, An, ..forma un grupo completo de eventos siempre que:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Entonces la fórmula probabilidad total para el evento B con un grupo completo de eventos aleatorios A1, A2,..., y n es igual a:

Una mirada al futuro

La probabilidad de un evento aleatorio es extremadamente necesaria en muchas áreas de la ciencia: econometría, estadística, física, etc. Dado que algunos procesos no pueden describirse de manera determinista, ya que ellos mismos son de naturaleza probabilística, se requieren métodos de trabajo especiales. La teoría de la probabilidad de eventos se puede utilizar en cualquier campo tecnológico como una forma de determinar la posibilidad de un error o mal funcionamiento.

Podemos decir que al reconocer la probabilidad, de alguna manera damos un paso teórico hacia el futuro, mirándolo a través del prisma de las fórmulas.

Un apostador profesional debe comprender bien las cuotas, de forma rápida y correcta. estimar la probabilidad de un evento por coeficiente y, si es necesario, poder convertir probabilidades de un formato a otro. En este manual hablaremos sobre qué tipos de coeficientes existen y también usaremos ejemplos para mostrar cómo se pueden calcular la probabilidad usando un coeficiente conocido y viceversa.

¿Qué tipos de probabilidades existen?

Hay tres tipos principales de probabilidades que las casas de apuestas ofrecen a los jugadores: probabilidades decimales, probabilidades fraccionarias(Inglés y probabilidades americanas. Las cuotas más comunes en Europa son decimales. EN América del norte Las probabilidades estadounidenses son populares. Las probabilidades fraccionarias son el tipo más tradicional; reflejan inmediatamente información sobre cuánto debes apostar para obtener una determinada cantidad.

Cuotas decimales

Decimal o también se llaman probabilidades europeas es el formato de número familiar representado por decimal con una precisión de centésimas y, a veces, incluso de milésimas. Un ejemplo de impar decimal es 1,91. Calcular el beneficio en el caso de cuotas decimales es muy sencillo; sólo necesitas multiplicar el importe de tu apuesta por esta cuota. Por ejemplo, en el partido "Manchester United" - "Arsenal", la victoria del "Manchester United" se calcula con un coeficiente de 2,05, el empate se calcula con un coeficiente de 3,9 y la victoria del "Arsenal" es igual a 2,95. Digamos que confiamos en que United ganará y apostamos 1.000 dólares por ellos. Entonces nuestro posibles ingresos calculado de la siguiente manera:

2.05 * $1000 = $2050;

Realmente no es tan complicado, ¿verdad? Los posibles ingresos se calculan de la misma forma al apostar por el empate o la victoria del Arsenal.

Dibujar: 3.9 * $1000 = $3900;
Victoria del Arsenal: 2.95 * $1000 = $2950;

¿Cómo calcular la probabilidad de un evento usando probabilidades decimales?

Ahora imagine que necesitamos determinar la probabilidad de un evento en función de las probabilidades decimales establecidas por la casa de apuestas. Esto también se hace de forma muy sencilla. Para ello dividimos uno por este coeficiente.

Tomemos los datos existentes y calculemos la probabilidad de cada evento:

Victoria del Manchester United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Dibujar: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Victoria del Arsenal: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Cuotas fraccionarias (inglés)

Como el nombre sugiere coeficiente fraccionario representado por una fracción ordinaria. Un ejemplo de probabilidades en inglés es 5/2. El numerador de la fracción contiene un número que es la cantidad potencial de ganancias netas, y el denominador contiene un número que indica la cantidad que se debe apostar para recibir esta ganancia. En pocas palabras, tenemos que apostar $2 dólares para ganar $5. Las probabilidades de 3/2 significa que para obtener $3 en ganancias netas, tendremos que apostar $2.

¿Cómo calcular la probabilidad de un evento usando probabilidades fraccionarias?

Tampoco es difícil calcular la probabilidad de un evento usando probabilidades fraccionarias; solo necesitas dividir el denominador por la suma del numerador y el denominador.

Para la fracción 5/2 calculamos la probabilidad: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Para la fracción 3/2 calculamos la probabilidad:

probabilidades americanas

probabilidades americanas impopular en Europa, pero mucho más en América del Norte. Tal vez, este tipo Los coeficientes son los más complejos, pero esto es sólo a primera vista. De hecho, no hay nada complicado en este tipo de coeficientes. Ahora averigüemos todo en orden.

La característica principal de las cuotas americanas es que pueden ser positivo, entonces negativo. Ejemplo de probabilidades americanas: (+150), (-120). Las probabilidades americanas (+150) significan que para ganar $150 necesitamos apostar $100. En otras palabras, un coeficiente americano positivo refleja las ganancias netas potenciales con una apuesta de 100 dólares. Las probabilidades americanas negativas reflejan la cantidad de apuesta que se debe hacer para obtener una ganancia neta de $100. Por ejemplo, el coeficiente (-120) nos dice que apostando 120$ ganaremos 100$.

¿Cómo calcular la probabilidad de un evento usando cuotas americanas?

La probabilidad de un evento utilizando el coeficiente americano se calcula mediante las siguientes fórmulas:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), donde M es un coeficiente americano negativo;
100/(P+100), donde P es un coeficiente americano positivo;

Por ejemplo, tenemos un coeficiente (-120), entonces la probabilidad se calcula de la siguiente manera:

(-(M))/((-(M)) + 100); sustituir el valor (-120) por “M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Así, la probabilidad de un evento con cuota americana (-120) es del 54,5%.

Por ejemplo, tenemos un coeficiente (+150), entonces la probabilidad se calcula de la siguiente manera:

100/(P+100); sustituir el valor (+150) por “P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Por tanto, la probabilidad de un evento con cuota americana (+150) es del 40%.

¿Cómo, conociendo el porcentaje de probabilidad, convertirlo en un coeficiente decimal?

Para calcular el coeficiente decimal basándose en un porcentaje de probabilidad conocido, es necesario dividir 100 por la probabilidad del evento como porcentaje. Por ejemplo, la probabilidad de un evento es del 55%, entonces el coeficiente decimal de esta probabilidad será igual a 1,81.

100 / 55% = 1,81

¿Cómo, conociendo el porcentaje de probabilidad, convertirlo en un coeficiente fraccionario?

Para calcular el coeficiente fraccionario basándose en un porcentaje conocido de probabilidad, debes restar uno de dividir 100 por la probabilidad de un evento como porcentaje. Por ejemplo, si tenemos un porcentaje de probabilidad del 40%, entonces el coeficiente fraccionario de esta probabilidad será igual a 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
El coeficiente fraccionario es 1,5/1 o 3/2.

¿Cómo, conociendo el porcentaje de probabilidad, convertirlo en un coeficiente americano?

Si la probabilidad de que ocurra un evento es superior al 50%, entonces el cálculo se realiza mediante la fórmula:

- ((V) / (100 - V)) * 100, donde V es probabilidad;

Por ejemplo, si la probabilidad de un evento es del 80%, entonces el coeficiente americano de esta probabilidad será igual a (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Si la probabilidad de que ocurra un evento es inferior al 50%, entonces el cálculo se realiza mediante la fórmula:

((100 - V) / V) * 100, donde V es probabilidad;

Por ejemplo, si tenemos un porcentaje de probabilidad de un evento del 20%, entonces el coeficiente americano de esta probabilidad será igual a (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

¿Cómo convertir el coeficiente a otro formato?

Hay ocasiones en las que es necesario convertir cuotas de un formato a otro. Por ejemplo, tenemos una probabilidad fraccionaria de 3/2 y necesitamos convertirla a decimal. Para convertir probabilidades fraccionarias en probabilidades decimales, primero determinamos la probabilidad de un evento con probabilidades fraccionarias y luego convertimos esta probabilidad en probabilidades decimales.

La probabilidad de un evento con probabilidades fraccionarias de 3/2 es del 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Ahora conviertamos la probabilidad de un evento en un coeficiente decimal para hacer esto, divida 100 por la probabilidad del evento como porcentaje:

100 / 40% = 2.5;

Por lo tanto, las probabilidades fraccionarias de 3/2 son iguales a las probabilidades decimales de 2,5. De manera similar, por ejemplo, las probabilidades americanas se convierten a fraccionarias, decimales a americanas, etc. Lo más difícil de todo esto son los cálculos.

La teoría de la probabilidad es una rama independiente bastante extensa de las matemáticas. En el curso escolar, la teoría de la probabilidad se discute de manera muy superficial, pero en el Examen Estatal Unificado y en la Academia de Exámenes Estatales surgen problemas sobre este tema. Sin embargo, resolver problemas curso escolar no es tan difícil (al menos en lo que respecta a operaciones aritméticas): no es necesario contar derivadas, tomar integrales y resolver complejos transformaciones trigonométricas- lo principal es poder manejar números primos y fracciones.

Teoría de la probabilidad: términos básicos

Los términos principales de la teoría de la probabilidad son prueba, resultado y evento aleatorio. Una prueba en teoría de la probabilidad es un experimento: lanzar una moneda, sacar una carta, echar suertes; todas estas son pruebas. El resultado de la prueba, como habrás adivinado, se llama resultado.

¿Qué es un evento aleatorio? En teoría de la probabilidad, se supone que la prueba se realiza más de una vez y que hay muchos resultados. Un evento aleatorio es un conjunto de resultados de un ensayo. Por ejemplo, si lanzas una moneda, pueden ocurrir dos eventos aleatorios: cara o cruz.

No confunda los conceptos de resultado y evento aleatorio. Un resultado es el resultado de un ensayo. Evento al azar- este es un conjunto de posibles resultados. Por cierto, existe el término evento imposible. Por ejemplo, el evento "tirar el número 8" en un dado estándar es imposible.

¿Cómo encontrar la probabilidad?

Todos entendemos a grandes rasgos qué es la probabilidad y, con bastante frecuencia, utilizamos esta palabra en nuestro vocabulario. Además, incluso podemos sacar algunas conclusiones sobre la probabilidad de que ocurra un evento en particular, por ejemplo, si hay nieve fuera de la ventana, lo más probable es que podamos decir que no es verano. Sin embargo, ¿cómo podemos expresar numéricamente esta suposición?

Para introducir una fórmula para encontrar la probabilidad, introducimos un concepto más: un resultado favorable, es decir, un resultado que es favorable para un evento en particular. Por supuesto, la definición es bastante ambigua, pero según las condiciones del problema siempre queda claro qué resultado es favorable.

Por ejemplo: hay 25 personas en la clase, tres de ellas son Katya. La maestra asigna a Olya el deber y ella necesita un compañero. ¿Cuál es la probabilidad de que Katya se convierta en tu pareja?

EN en este ejemplo resultado favorable - socia Katya. Resolveremos este problema un poco más tarde. Pero primero, usando una definición adicional, introducimos una fórmula para encontrar la probabilidad.

• P = A/N, donde P es la probabilidad, A es el número de resultados favorables, N es el número total de resultados.

Todos los problemas escolares giran en torno a esta única fórmula y la principal dificultad suele radicar en encontrar los resultados. A veces son fáciles de encontrar, otras no tanto.

¿Cómo resolver problemas de probabilidad?

Problema 1

Así que ahora resolvamos el problema anterior.

El número de resultados favorables (el maestro elegirá a Katya) es tres, porque hay tres Katyas en la clase y los resultados totales son 24 (25-1, porque Olya ya ha sido elegida). Entonces la probabilidad es: P = 3/24=1/8=0,125. Por tanto, la probabilidad de que la pareja de Olya sea Katya es del 12,5%. No es difícil, ¿verdad? Veamos algo un poco más complicado.

Problema 2

La moneda se lanzó dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga una cara y otra cruz?

Entonces, consideremos los resultados generales. ¿Cómo pueden caer las monedas: cara/cara, cruz/cruz, cara/cruz, cruz/cara? Esto significa que el número total de resultados es 4. ¿Cuántos resultados favorables? Dos: cara/cruz y cruz/cara. Por tanto, la probabilidad de obtener una combinación cara/cruz es:

• P = 2/4 = 0,5 o 50 por ciento.

Ahora veamos este problema. Masha tiene 6 monedas en su bolsillo: dos con un valor nominal de 5 rublos y cuatro con un valor nominal de 10 rublos. Masha movió 3 monedas a otro bolsillo. ¿Cuál es la probabilidad de que monedas de 5 rublos terminen en bolsillos diferentes?

Para simplificar, designemos las monedas con números: 1,2 - monedas de cinco rublos, 3,4,5,6 - monedas de diez rublos. Entonces, ¿cómo pueden estar las monedas en tu bolsillo? Hay 20 combinaciones en total:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

A primera vista puede parecer que faltan algunas combinaciones, por ejemplo 231, pero en nuestro caso las combinaciones 123, 231 y 321 son equivalentes.

Ahora contamos cuántos resultados favorables tenemos. Para ellos tomamos aquellas combinaciones que contienen el número 1 o el número 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Hay 12 de ellos. probabilidad es igual a:

• P = 12/20 = 0,6 o 60%.

Los problemas de probabilidad que se presentan aquí son bastante simples, pero no piense que la probabilidad es una simple rama de las matemáticas. Si decides continuar tu educación en una universidad (a excepción de humanidades), definitivamente tendrás pares de Matemáticas avanzadas, donde se le presentarán términos más complejos de esta teoría y las tareas serán mucho más difíciles.

Todo en el mundo sucede de forma determinista o por casualidad...
Aristóteles

Probabilidad: reglas básicas

La teoría de la probabilidad calcula las probabilidades de varios eventos. Fundamental para la teoría de la probabilidad es el concepto de evento aleatorio.

Por ejemplo, lanzas una moneda y cae aleatoriamente en cara o cruz. No sabes de antemano en qué cara caerá la moneda. Celebra un contrato de seguro; no sabe de antemano si se realizarán los pagos o no.

En los cálculos actuariales, es necesario poder estimar la probabilidad de varios eventos, por lo que la teoría de la probabilidad juega un papel clave. Ninguna otra rama de las matemáticas puede abordar las probabilidades de eventos.

Echemos un vistazo más de cerca al lanzamiento de una moneda. Hay 2 resultados mutuamente excluyentes: el escudo de armas se cae o las colas se caen. El resultado del lanzamiento es aleatorio, ya que el observador no puede analizar y tener en cuenta todos los factores que influyen en el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que se caiga el escudo de armas? La mayoría responderá ½, pero ¿por qué?

Que sea formal A indica la pérdida del escudo de armas. Deja que la moneda se lance norte una vez. Entonces la probabilidad del evento A Se puede definir como la proporción de aquellos lanzamientos que resultan en un escudo de armas:

Dónde norte número total de lanzamientos, n / A) el número de escudos de armas disminuye.

La relación (1) se llama frecuencia eventos A en una larga serie de pruebas.

Resulta que en varias series de pruebas la frecuencia correspondiente en general norte se agrupa alrededor de algún valor constante PENSILVANIA). Esta cantidad se llama probabilidad de un evento A y se designa con la letra R- abreviatura de palabra inglesa probabilidad - probabilidad.

Formalmente tenemos:

(2)

Esta ley se llama ley de los grandes números.

Si la moneda es justa (simétrica), entonces la probabilidad de obtener un escudo de armas es igual a la probabilidad de obtener cara y es igual a ½.

Dejar A Y EN algunos eventos, por ejemplo, si ocurrió o no un evento asegurado. La unión de dos eventos es un evento que consiste en la ejecución de un evento. A, eventos EN, o ambos eventos juntos. La intersección de dos acontecimientos. A Y EN llamado un evento que consiste en la implementación como un evento A y eventos EN.

Reglas básicas El cálculo de probabilidades de eventos es el siguiente:

1. La probabilidad de cualquier evento está entre cero y uno:

2. Sean A y B dos eventos, entonces:

Se lee así: la probabilidad de que dos eventos se combinen es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos menos la probabilidad de que los eventos se crucen. Si los eventos son incompatibles o no se superponen, entonces la probabilidad de la combinación (suma) de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades. Esta ley se llama ley. suma probabilidades.

Decimos que un evento es confiable si su probabilidad es igual a 1. Al analizar ciertos fenómenos, surge la pregunta de cómo afecta la ocurrencia de un evento. EN ante la ocurrencia de un evento A. Para hacer esto, ingrese la probabilidad condicional :

(4)

Se lee así: probabilidad de ocurrencia A dado que EN es igual a la probabilidad de intersección A Y EN, dividido por la probabilidad del evento EN.
La fórmula (4) supone que la probabilidad de un evento EN Por encima de cero.

La fórmula (4) también se puede escribir como:

(5)

Esta es la fórmula multiplicar probabilidades.

La probabilidad condicional también se llama posteriormente probabilidad de un evento A- probabilidad de ocurrencia A después del ataque EN.

En este caso, la probabilidad misma se llama a priori probabilidad. Hay varias otras fórmulas importantes que se utilizan intensamente en los cálculos actuariales.

Fórmula de probabilidad total

Supongamos que se está llevando a cabo un experimento cuyas condiciones pueden determinarse de antemano. mutuamente supuestos mutuamente excluyentes (hipótesis):

Suponemos que existe una hipótesis, o...o. Las probabilidades de estas hipótesis son conocidas e iguales:

Entonces la fórmula se cumple lleno probabilidades :

(6)

Probabilidad de que ocurra un evento A igual a la suma de los productos de la probabilidad de ocurrencia A para cada hipótesis sobre la probabilidad de esta hipótesis.

fórmula de bayes

fórmula de bayes permite recalcular la probabilidad de las hipótesis a la luz de la nueva información proporcionada por el resultado A.

La fórmula de Bayes, en cierto sentido, es la inversa de la fórmula de probabilidad total.

Considere el siguiente problema práctico.

Problema 1

Supongamos que se produce un accidente aéreo y los expertos están ocupados investigando sus causas. Se conocen de antemano 4 razones por las que ocurrió el desastre: la causa, o, o, o. Según las estadísticas disponibles, estas razones tienen las siguientes probabilidades:

Al examinar el lugar del accidente, se encontraron rastros de ignición de combustible, según las estadísticas, la probabilidad de que este evento ocurra por una razón u otra es la siguiente:

Pregunta: ¿cuál es la causa más probable del desastre?

Calculemos las probabilidades de las causas en las condiciones de ocurrencia de un evento. A.

De esto se desprende que la razón más probable es la primera, ya que su probabilidad es máxima.

Problema 2

Considere un avión que aterriza en un aeródromo.

Al aterrizar, las condiciones climáticas pueden ser las siguientes: sin nubes bajas (), presencia de nubes bajas (). En el primer caso, la probabilidad de un aterrizaje seguro es P1. En el segundo caso - P2. Está claro que P1>P2.

Los dispositivos que proporcionan un aterrizaje ciego tienen una probabilidad de funcionar sin problemas. R. Si hay nubes bajas y los instrumentos de aterrizaje ciego han fallado, la probabilidad de un aterrizaje exitoso es P3, y P3<Р2 . Se sabe que para un aeródromo determinado la proporción de días al año con nubes bajas es igual a .

Calcula la probabilidad de que el avión aterrice de forma segura.

Necesitamos encontrar la probabilidad.

Hay dos opciones mutuamente excluyentes: los dispositivos de aterrizaje ciego están funcionando, los dispositivos de aterrizaje ciego han fallado, por lo que tenemos:

Por tanto, según la fórmula de probabilidad total:

Problema 3

Una compañía de seguros ofrece seguros de vida. El 10% de los asegurados por esta compañía son fumadores. Si el asegurado no fuma, la probabilidad de que fallezca durante el año es 0,01. Si es fumador, entonces esta probabilidad es 0,05.

¿Cuál es la proporción de fumadores entre los asegurados que fallecieron durante el año?

Respuestas posibles: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

Solución

Entremos en los eventos:

La condición del problema significa que

Además, dado que los eventos forman un grupo completo de eventos incompatibles por pares, entonces .
La probabilidad que nos interesa es .

Usando la fórmula de Bayes tenemos:

por lo tanto la opción correcta es ( EN).

Problema 4

La compañía de seguros vende contratos de seguros de vida en tres categorías: estándar, preferente y ultraprivilegiado.

El 50% de los asegurados son estándar, el 40% son preferentes y el 10% son ultraprivilegiados.

La probabilidad de muerte dentro de un año para un asegurado estándar es 0,010, para uno privilegiado - 0,005 y para uno ultraprivilegiado - 0,001.

¿Cuál es la probabilidad de que el asegurado fallecido sea ultraprivilegiado?

Solución

Introduzcamos los siguientes eventos en consideración:

En términos de estos eventos, la probabilidad que nos interesa es . Por condición:

Dado que los eventos , forman un grupo completo de eventos incompatibles por pares, usando la fórmula de Bayes tenemos:

Variables aleatorias y sus características.

Sea alguna variable aleatoria, por ejemplo, los daños causados ​​por un incendio o el monto de los pagos del seguro.
Una variable aleatoria se caracteriza completamente por su función de distribución.

Definición. Función llamado función de distribución variable aleatoria ξ .

Definición. Si existe una función tal que para arbitrario a hecho

entonces dicen que la variable aleatoria ξ Tiene función de densidad de probabilidad f(x).

Definición. Dejar . Para una función de distribución continua F α-cuantil teórico se llama solución de la ecuación.

Esta solución puede no ser la única.

Nivel cuantil ½ llamado teórico mediana , niveles cuantiles ¼ Y ¾ -cuartiles inferior y superior respectivamente.

En aplicaciones actuariales, juega un papel importante. La desigualdad de Chebyshev:

a cualquiera

Símbolo de expectativa matemática.

Se lee así: la probabilidad de que el módulo sea mayor o igual a la expectativa matemática del módulo dividida por.

La vida como variable aleatoria

La incertidumbre del momento de la muerte es un factor de riesgo importante en los seguros de vida.

No se puede decir nada definitivo sobre el momento de la muerte de un individuo. Sin embargo, si estamos tratando con un grupo grande y homogéneo de personas y no estamos interesados ​​en el destino de las personas individuales de este grupo, entonces estamos dentro del marco de la teoría de la probabilidad como ciencia de los fenómenos aleatorios masivos que tienen la propiedad de estabilidad de frecuencia. .

Respectivamente, Podemos hablar de esperanza de vida como una variable aleatoria T.

Función de supervivencia

La teoría de la probabilidad describe la naturaleza estocástica de cualquier variable aleatoria. t función de distribución F(x), que se define como la probabilidad de que la variable aleatoria t menos que el numero X:

.

En matemáticas actuariales es bueno trabajar no con la función de distribución, sino con la función de distribución adicional. . En términos de longevidad, esta es la probabilidad de que una persona viva hasta envejecer. X años.

llamado función de supervivencia(función de supervivencia):

La función de supervivencia tiene las siguientes propiedades:

Las tablas de vida generalmente suponen que hay algo limite de edad (edad límite) (generalmente años) y, en consecuencia, en x>.

Al describir la mortalidad mediante leyes analíticas, generalmente se supone que el tiempo de vida es ilimitado, pero el tipo y los parámetros de las leyes se seleccionan de modo que la probabilidad de vida más allá de cierta edad sea insignificante.

La función de supervivencia tiene un significado estadístico simple.

Digamos que estamos observando un grupo de recién nacidos (normalmente), a quienes observamos y podemos registrar los momentos de su muerte.

Denotemos el número de representantes vivos de este grupo por edad por . Entonces:

.

Símbolo mi aquí y abajo se utiliza para denotar expectativa matemática.

Entonces, la función de supervivencia es igual a la proporción promedio de aquellos que sobreviven hasta la edad de algún grupo fijo de recién nacidos.

En matemáticas actuariales, a menudo no se trabaja con la función de supervivencia, sino con el valor recién introducido (fijación del tamaño inicial del grupo).

La función de supervivencia se puede reconstruir a partir de la densidad:

Características de la vida útil

Desde un punto de vista práctico, las siguientes características son importantes:

1 . Promedio toda la vida

,
2 . Dispersión toda la vida

,
Dónde
,

Sección 1. Eventos Aleatorios (50 horas)

Plan temático de la disciplina para estudiantes a tiempo parcial y a tiempo parcial.

Plan temático de la disciplina para estudiantes de educación a distancia.

2.3. Diagrama estructural y lógico de la disciplina.

Matemáticas parte 2. Teoría de la probabilidad y elementos de la estadística matemática. Teoría.

Sección 1 Eventos aleatorios

Sección 3 Elementos de la estadística matemática

Sección 2 Variables aleatorias

2.5. Bloque práctico

2.6. Sistema de calificación de puntos

Recursos de información de la disciplina.

Bibliografía Principal:

3.2. Apuntes básicos para el curso “Matemáticas parte 2. Teoría de la probabilidad y elementos de la estadística matemática” introducción

Sección 1. Eventos aleatorios

1.1. El concepto de evento aleatorio.

1.1.1. Información de la teoría de conjuntos

1.1.2. Espacio de eventos elementales.

1.1.3. Clasificación de eventos

1.1.4. Suma y producto de eventos.

1.2. Probabilidades de eventos aleatorios.

1.2.1. Frecuencia relativa de un evento, axiomas de la teoría de la probabilidad. Definición clásica de probabilidad

1.2.2. Definición geométrica de probabilidad.

Calcular la probabilidad de un evento mediante elementos de análisis combinatorio

1.2.4. Propiedades de las probabilidades de eventos

1.2.5. Eventos independientes

1.2.6. Cálculo de la probabilidad de funcionamiento sin fallos del dispositivo.

Fórmulas para calcular la probabilidad de eventos.

1.3.1. Secuencia de pruebas independientes (circuito Bernoulli)

1.3.2. Probabilidad condicional de un evento

1.3.4. Fórmula de probabilidad total y fórmula de Bayes

Sección 2. Variables aleatorias

2.1. Descripción de variables aleatorias.

2.1.1. Definición y métodos para especificar una variable aleatoria Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el concepto de variable aleatoria. Veamos algunos ejemplos de variables aleatorias:

Para especificar una variable aleatoria, debe especificar su ley de distribución. Las variables aleatorias generalmente se denotan con letras griegas ,,, y sus posibles valores, con letras latinas con índices xi, yi, zi.

2.1.2. Variables aleatorias discretas

Considere los eventos Ai que contienen todos los eventos elementales  que conducen al valor XI:

Sea pi la probabilidad del evento Ai:

2.1.3. Variables aleatorias continuas

2.1.4. Función de distribución y sus propiedades.

2.1.5. Densidad de distribución de probabilidad y sus propiedades.

2.2. Características numéricas de variables aleatorias.

2.2.1. Expectativa de una variable aleatoria

2.2.2. Varianza de una variable aleatoria

2.2.3. Distribución normal de una variable aleatoria.

2.2.4. Distribución binomial

2.2.5. distribución de veneno

Sección 3. Elementos de la estadística matemática

3.1. Definiciones basicas

gráfico de barras

3.3. Estimaciones puntuales de parámetros de distribución.

Conceptos básicos

Estimaciones puntuales de expectativa y varianza.

3.4. Estimaciones de intervalo

El concepto de estimación de intervalo.

Construcción de estimaciones de intervalo.

Distribuciones estadísticas básicas

Estimaciones de intervalo de la expectativa matemática de una distribución normal.

Estimación por intervalos de la varianza de una distribución normal.

Conclusión

Glosario

4. Directrices para la realización de trabajos de laboratorio.

Bibliografía

Trabajo de laboratorio 1 descripción de variables aleatorias. Características numéricas

Procedimiento para realizar trabajos de laboratorio.

Trabajo de laboratorio 2 Definiciones básicas. Sistematización de la muestra. Estimaciones puntuales de parámetros de distribución. Estimaciones de intervalo.

El concepto de hipótesis estadística sobre el tipo de distribución.

Procedimiento para realizar trabajos de laboratorio.

Valor de celda Valor de celda

5. Pautas para completar la prueba Tarea para la prueba

Pautas para realizar la prueba: Eventos y sus probabilidades

Variables aleatorias

Desviación Estándar

Elementos de la estadística matemática.

6. Unidad de control para el dominio de la disciplina.

Preguntas para el examen del curso “Matemáticas Parte 2. Teoría de la probabilidad y elementos de la estadística matemática".

La tabla continúa en

Fin de la mesa en

Números aleatorios distribuidos uniformemente

Contenido

Sección 1. Eventos aleatorios……………………………………. 18

Sección 2. Variables aleatorias………………………… ….. 41

Sección 3. Elementos de la estadística matemática.................... 64

4. Pautas para la realización de pruebas de laboratorio.

5. Pautas para realizar la prueba

1. Fórmulas para calcular la probabilidad de eventos.

1.3.1. Secuencia de pruebas independientes (circuito Bernoulli)

Supongamos que se puede realizar algún experimento repetidamente en las mismas condiciones. Que se haga esta experiencia norte veces, es decir, una secuencia de norte pruebas.

Definición. Subsecuencia norte las pruebas se llaman mutuamente independientes , si cualquier evento relacionado con una prueba determinada es independiente de cualquier evento relacionado con otras pruebas.

Supongamos que algún evento A probable que suceda pag como resultado de una prueba o no es probable que suceda q= 1- pag.

Definición . Secuencia de norte Las pruebas forman un esquema de Bernoulli si se cumplen las siguientes condiciones:

subsecuencia norte las pruebas son mutuamente independientes,

2) probabilidad de un evento A no cambia de una prueba a otra y no depende del resultado de otras pruebas.

Evento A se llama "éxito" de la prueba, y el evento opuesto se llama "fracaso". Considere el evento

=( en norte las pruebas sucedieron exactamente metro"éxito").

Para calcular la probabilidad de este evento es válida la fórmula de Bernoulli

pag() =
, metro = 1, 2, …, norte , (1.6)

Dónde - número de combinaciones de norte elementos por metro :

=
=
.

Ejemplo 1.16. Se lanza el dado tres veces. Encontrar:

a) la probabilidad de que 6 puntos aparezcan dos veces;

b) la probabilidad de que el número de seises no aparezca más de dos veces.

Solución . Consideraremos el “éxito” de la prueba cuando aparezca en el dado la cara con la imagen de 6 puntos.

a) Número total de pruebas – norte=3, número de “éxitos” – metro = 2. Probabilidad de “éxito” - pag=, y la probabilidad de “fracaso” es q= 1 - =. Entonces, según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad de que, como resultado de lanzar un dado tres veces, el lado con seis puntos aparezca dos veces, será igual a

.

b) Denotemos por A un evento que significa que un equipo con una puntuación de 6 aparecerá no más de dos veces. Entonces el evento se puede representar como la suma de tres incompatibles eventos A=
,

Dónde EN 3 0 – un evento en el que el límite de interés nunca aparece,

EN 3 1 - evento en el que el borde de interés aparece una vez,

EN 3 2 - evento en el que el borde de interés aparece dos veces.

Usando la fórmula de Bernoulli (1.6) encontramos

pag(A) = pag (
) = pag(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Probabilidad condicional de un evento

La probabilidad condicional refleja la influencia de un evento sobre la probabilidad de otro. Cambiar las condiciones bajo las cuales se lleva a cabo el experimento también afecta

sobre la probabilidad de ocurrencia del evento de interés.

Definición. Dejar A Y B– algunos eventos y probabilidad pag(B)> 0.

La probabilidad condicional eventos A siempre que el “evento Bya sucedió” es la relación entre la probabilidad de que ocurran estos eventos y la probabilidad de un evento que ocurrió antes que el evento cuya probabilidad se requiere encontrar. La probabilidad condicional se denota como pag(A B). Entonces por definición

pag (A  B) =
. (1.7)

Ejemplo 1.17. Se lanzan dos dados. El espacio de eventos elementales está formado por pares ordenados de números.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

En el ejemplo 1.16 se determinó que el evento A=(número de puntos en el primer dado > 4) y evento C=(la suma de puntos es 8) dependiente. hagamos una relacion

.

Esta relación se puede interpretar de la siguiente manera. Supongamos que se sabe que el resultado de la primera tirada es que el número de puntos del primer dado es > 4. De ello se deduce que lanzar el segundo dado puede conducir a uno de los 12 resultados que componen el evento. A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

en este evento C sólo dos de ellos pueden coincidir con (5,3) (6,2). En este caso, la probabilidad del evento C será igual
. Por tanto, la información sobre la ocurrencia de un evento. A influyó en la probabilidad de un evento C.

Probabilidad de que ocurran eventos.

Teorema de multiplicación

Probabilidad de que ocurran eventos.A 1 A 2  A norte está determinado por la fórmula

pag(A 1 A 2  A norte)=p(A 1)pag(A 2  A 1)) pag(A norte  A 1 A 2  A norte- 1). (1.8)

Para el producto de dos eventos se sigue que

pag(AB)=p(A B)p{B)=p(B A)pag{A). (1.9)

Ejemplo 1.18. En un lote de 25 productos, 5 productos están defectuosos. Se seleccionan 3 elementos al azar en sucesión. Determine la probabilidad de que todos los productos seleccionados sean defectuosos.

Solución. Denotemos los eventos:

A 1 = (el primer producto está defectuoso),

A 2 = (el segundo producto está defectuoso),

A 3 = (el tercer producto está defectuoso),

A = (todos los productos son defectuosos).

Evento A es el producto de tres eventos A = A 1 A 2 A 3 .

Del teorema de la multiplicación (1.6) obtenemos

pag(A)= pag( A 1 A 2 A 3 ) = pag(A 1) pag(A 2  A 1))pag(A 3  A 1 A 2).

La definición clásica de probabilidad nos permite encontrar pag(A 1) es la relación entre el número de productos defectuosos y el número total de productos:

pag(A 1)= ;

pag(A 2) – Este la relación entre el número de productos defectuosos que quedan después de la eliminación de uno y el número total de productos restantes:

pag(A 2  A 1))= ;

pag(A 3) – esto es la relación entre el número de productos defectuosos que quedan después de la eliminación de dos defectuosos y el número total de productos restantes:

pag(A 3  A 1 A 2)=.

Entonces la probabilidad del evento A será igual

pag(A) ==
.