El teorema de Pitágoras sólo funciona en triángulos rectángulos. Cómo aplicar el teorema de Pitágoras

Teorema de pitágoras

El destino de otros teoremas y problemas es peculiar... ¿Cómo explicar, por ejemplo, tal atención excepcional por parte de los matemáticos y amantes de las matemáticas al teorema de Pitágoras? ¿Por qué muchos de ellos no se contentaron con pruebas ya conocidas, sino que encontraron las suyas propias, elevando el número de pruebas a varios cientos en veinticinco siglos relativamente previsibles?
Cuando estamos hablando acerca de En cuanto al teorema de Pitágoras, lo inusual comienza con su nombre. Se cree que no fue Pitágoras quien lo formuló por primera vez. También se considera dudoso que haya dado prueba de ello. Si Pitágoras es una persona real (¡algunos incluso lo dudan!), lo más probable es que vivió en los siglos VI-V. antes de Cristo mi. Él mismo no escribió nada, se llamó a sí mismo filósofo, lo que, en su opinión, significaba "luchar por la sabiduría" y fundó la Unión Pitagórica, cuyos miembros estudiaron música, gimnasia, matemáticas, física y astronomía. Al parecer, también era un excelente orador, como lo demuestra la siguiente leyenda relativa a su estancia en la ciudad de Crotona: “La primera aparición de Pitágoras ante el pueblo de Crotona comenzó con un discurso a los jóvenes, en el que estuvo tan estricto, pero al mismo tiempo tan fascinante describía los deberes de los jóvenes, y los ancianos de la ciudad pidieron no dejarlos sin instrucción. En este segundo discurso señaló la legalidad y la pureza de las costumbres como fundamentos de la familia; en los dos siguientes se dirigió a niños y mujeres. La consecuencia del último discurso, en el que condenó especialmente el lujo, fue que miles de vestidos preciosos fueron entregados al templo de Hera, pues ya ni una sola mujer se atrevió a aparecer en la calle con ellos...” Sin embargo, incluso en En el siglo II d.C., es decir, 700 años después, vivieron y trabajaron personas muy reales, científicos extraordinarios que estaban claramente bajo la influencia de la Unión Pitagórica y que tenían un gran respeto por lo que, según la leyenda, creó Pitágoras.
Tampoco hay duda de que el interés por el teorema se debe tanto a que ocupa uno de los lugares centrales de las matemáticas como a la satisfacción de los autores de las demostraciones, que superaron las dificultades que el poeta romano Quintus Horace Flaccus, quien vivió antes de nuestra era, bien dijo: “Es difícil expresar hechos bien conocidos”.
Inicialmente, el teorema establecía la relación entre las áreas de cuadrados construidos sobre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo:
.
Formulación algebraica:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por c, y las longitudes de los catetos por a y b: a 2 + b 2 =c 2. Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental y no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras inverso. Para cualquier tripleta de números positivos a, b y c tales que
a 2 + b 2 = c 2, hay un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c.

Prueba

Actualmente, se han registrado en la literatura científica 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema de Pitágoras sea el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Esta diversidad sólo puede explicarse por la importancia fundamental del teorema para la geometría.
Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. Las más famosas: pruebas por el método de áreas, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, mediante ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas, construida directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto C. Dibuje la altitud desde C y denote su base por H. El triángulo ACH es similar al triángulo ABC en dos ángulos.
De manera similar, el triángulo CBH es similar a ABC. Introduciendo la notación

obtenemos

que es equivalente

Sumandolo obtenemos

o

Pruebas utilizando el método del área.

Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos utilizan propiedades del área, cuya demostración es más compleja que la del propio teorema de Pitágoras.

Prueba mediante equicomplementación

1. Coloca cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la figura.
2. Un cuadrilátero de lados c es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
3. El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a + b), y por otro lado, a la suma de las áreas de cuatro triángulos y la plaza interior.



Q.E.D.

Pruebas por equivalencia

Un ejemplo de una de esas pruebas se muestra en el dibujo de la derecha, donde un cuadrado construido sobre la hipotenusa se reorganiza en dos cuadrados construidos sobre los lados.

La prueba de Euclides

La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medias áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales. Miremos el dibujo de la izquierda. En él construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, que corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos correspondientes. Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK. Para ello usaremos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que. el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que a su vez es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK. Demostremos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que hay que hacer para esto es demostrar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia, los triángulos son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos. Es decir - AB=AK,AD=AC - la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método del movimiento: giramos el triángulo CAK 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en La pregunta coincidirá (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°). El razonamiento para la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y del rectángulo BHJI es completamente similar. Así, demostramos que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa se compone de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Prueba de Leonardo da Vinci

Los elementos principales de la prueba son la simetría y el movimiento.

Consideremos el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento CI corta el cuadrado ABHJ en dos partes idénticas (ya que los triángulos ABC y JHI son iguales en construcción). Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario, vemos la igualdad de las figuras sombreadas CAJI y GDAB. Ahora queda claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, más el área del triángulo original. El último paso de la prueba queda en manos del lector.

(según papiro 6619 del Museo de Berlín). Según Cantor, los harpedonaptes, o “tiradores de cuerdas”, construían ángulos rectos utilizando triángulos rectángulos con lados de 3, 4 y 5.

Es muy fácil reproducir su método de construcción. Tomemos una cuerda de 12 m de largo y le atemos una tira de color a una distancia de 3 m de un extremo y 4 metros del otro. El ángulo recto tendrá entre lados 3 y 4 metros de largo. A los Harpedonaptios se les podría objetar que su método de construcción se vuelve superfluo si se utiliza, por ejemplo, una escuadra de madera, que utilizan todos los carpinteros. De hecho, se conocen dibujos egipcios en los que se encuentra dicha herramienta, por ejemplo, dibujos que representan un taller de carpintería.

Se sabe algo más sobre el teorema de Pitágoras entre los babilonios. En un texto que se remonta a la época de Hammurabi, es decir, al año 2000 a.C. mi. , se da un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. De esto podemos concluir que en Mesopotamia se podían realizar cálculos con triángulos rectángulos, al menos en algunos casos. Basándose, por un lado, en el nivel actual de conocimiento sobre las matemáticas egipcias y babilónicas, y por otro, en un estudio crítico de fuentes griegas, Van der Waerden (un matemático holandés) concluyó que existe una alta probabilidad de que El teorema del cuadrado de la hipotenusa ya se conocía en la India alrededor del siglo XVIII a.C. mi.

Alrededor del 400 a.C. Antes de Cristo, según Proclo, Platón dio un método para encontrar tripletes pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Alrededor del 300 a.C. mi. La prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras apareció en los Elementos de Euclides.

Formulaciones

Formulación geométrica:

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

Formulación algebraica:

Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por , y las longitudes de los catetos por y :

Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental y no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras inverso:

Prueba

Hasta el momento, en la literatura científica se han registrado 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema de Pitágoras sea el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Esta diversidad sólo puede explicarse por la importancia fundamental del teorema para la geometría.

Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. Las más famosas: pruebas por el método de áreas, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, mediante ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas, construida directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotamos su base por h. Triángulo ACH similar a un triangulo A B C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C. Introduciendo la notación

obtenemos

que es equivalente

Sumandolo obtenemos

, que es lo que había que demostrar

Pruebas utilizando el método del área.

Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos utilizan propiedades del área, cuya demostración es más compleja que la del propio teorema de Pitágoras.

Prueba mediante equicomplementación

1. Organicemos cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
2. Cuadrilátero con lados C es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
3. El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a + b), y por otro lado, a la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el Área de la plaza interior.

Q.E.D.

La prueba de Euclides

La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medias áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales.

Miremos el dibujo de la izquierda. En él construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, que corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos correspondientes.

Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK. Para ello usaremos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que. el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que a su vez es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK.

Demostremos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que hay que hacer para esto es demostrar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia: los triángulos son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos. Es decir - AB=AK, AD=AC - la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método del movimiento: rotamos el triángulo CAK 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en La pregunta coincidirá (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°).

El razonamiento para la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y del rectángulo BHJI es completamente similar.

Así, demostramos que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa se compone de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra con más detalle en la animación anterior.

Prueba de Leonardo da Vinci

Los principales elementos de la prueba son la simetría y el movimiento.

Consideremos el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento corta el cuadrado en dos partes idénticas (ya que los triángulos son iguales en construcción).

Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del punto, vemos la igualdad de las figuras sombreadas y.

Ahora queda claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados pequeños (construidos sobre los catetos) y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado grande (construido sobre la hipotenusa) más el área del triángulo original. Así, la mitad de la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual a la mitad del área del cuadrado grande y, por tanto, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre los hipotenusa.

Prueba por el método infinitesimal

La siguiente demostración mediante ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.

Mirando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado. a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos laterales infinitesimales Con Y a(usando similitud de triángulos):

Usando el método de separación de variables, encontramos

Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados.

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos

Llegamos así a la respuesta deseada.

Como es fácil de ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está asociada con contribuciones independientes del incremento de diferentes catetos.

Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que uno de los catetos no experimenta un incremento (en este caso el cateto). Entonces para la constante de integración obtenemos

Variaciones y generalizaciones.

Formas geométricas similares en tres lados.

Generalización para triángulos semejantes, área de las formas verdes A + B = área de la azul C

Teorema de Pitágoras usando triángulos rectángulos semejantes

Euclides generalizó el teorema de Pitágoras en su obra. Principios, expandiendo las áreas de los cuadrados de los lados a áreas de similar formas geométricas :

Si construimos figuras geométricas similares (ver geometría euclidiana) en los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las dos figuras más pequeñas será igual al área de la figura más grande.

La idea principal de esta generalización es que el área de tal figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales y, en particular, al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, para figuras similares con áreas A, B Y C construido en lados con longitud a, b Y C, tenemos:

Pero, según el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = C 2 entonces A + B = C.

Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C para tres figuras geométricas similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos probar el teorema mismo, moviéndonos en la dirección opuesta. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede reutilizar como triángulo. C en la hipotenusa y dos triángulos rectángulos semejantes ( A Y B), construido sobre los otros dos lados, que se forman dividiendo el triángulo central por su altura. La suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es obviamente igual al área del tercero, por lo tanto A + B = C y, cumpliendo la prueba anterior en orden inverso, obtenemos el teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema del coseno

El teorema de Pitágoras es caso especial un teorema más general de los cosenos, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario:

donde θ es el ángulo entre los lados a Y b.

Si θ es de 90 grados entonces cos θ = 0 y la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras habitual.

Triángulo libre

A cualquier esquina seleccionada de un triángulo arbitrario con lados a B C Inscribamos un triángulo isósceles de tal manera que los ángulos iguales en su base θ sean iguales al ángulo elegido. Supongamos que el ángulo seleccionado θ se encuentra opuesto al lado designado C. Como resultado, obtuvimos el triángulo ABD con un ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado a y fiestas r. El segundo triángulo está formado por el ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado b y fiestas Con longitud s, como se muestra en la imagen. Thabit Ibn Qurra argumentó que los lados de estos tres triángulos están relacionados de la siguiente manera:

A medida que el ángulo θ se acerca a π/2, la base del triángulo isósceles se vuelve más pequeña y los dos lados r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π/2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = C y obtenemos el teorema de Pitágoras inicial.

Consideremos uno de los argumentos. El triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Los dos triángulos tienen un ángulo común en el vértice B, ambos tienen un ángulo θ y también tienen el mismo tercer ángulo, basado en la suma de los ángulos del triángulo) En consecuencia, ABC es similar a la reflexión ABD del triángulo DBA, como se muestra en la figura inferior. Anotemos la relación entre los lados opuestos y los adyacentes al ángulo θ,

También un reflejo de otro triángulo,

Multipliquemos las fracciones y sumemos estas dos razones:

Q.E.D.

Generalización para triángulos arbitrarios mediante paralelogramos.

Generalización para triángulos arbitrarios,
Area verde parcela = área azul

Prueba de la tesis de que en la figura anterior

Hagamos una generalización adicional para triángulos no rectángulos usando paralelogramos en tres lados en lugar de cuadrados. (Los cuadrados son un caso especial). La figura superior muestra que para un triángulo agudo, el área del paralelogramo en el lado largo es igual a la suma de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo El lado se construye como se muestra en la figura (las dimensiones indicadas por las flechas son las mismas y determinan los lados del paralelogramo inferior). Esta sustitución de cuadrados por paralelogramos guarda un claro parecido con el teorema inicial de Pitágoras, que se cree que fue formulado por Pappus de Alejandría en el año 4 d.C. mi.

La figura inferior muestra el progreso de la prueba. Miremos el lado izquierdo del triángulo. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el lado izquierdo del paralelogramo azul porque tienen la misma base. b y altura h. Además, el paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierdo en la imagen superior porque comparten una base común (el lado superior izquierdo del triángulo) y una altura común perpendicular a ese lado del triángulo. Usando un razonamiento similar para el lado derecho del triángulo, demostraremos que el paralelogramo inferior tiene la misma área que los dos paralelogramos verdes.

Números complejos

El teorema de Pitágoras se utiliza para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas cartesiano y este teorema es válido para todas las coordenadas verdaderas: distancia s entre dos puntos ( a, b) Y ( cd) es igual

No hay problemas con la fórmula si los números complejos se tratan como vectores con componentes reales X + yo y = (X, y). . Por ejemplo, distancia s entre 0 + 1 i y 1 + 0 i calculado como el módulo del vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

Sin embargo, para operaciones con vectores de coordenadas complejas, es necesario realizar algunas mejoras a la fórmula pitagórica. Distancia entre puntos con números complejos ( a, b) Y ( C, d); a, b, C, Y d todo complejo, formulemos usando valores absolutos. Distancia s basado en la diferencia de vectores (a − C, b − d) V el siguiente formulario: deja la diferencia a − C = pag+yo q, Dónde pag- parte real de la diferencia, q es la parte imaginaria, y i = √(−1). De la misma manera, dejemos b − d = r+yo s. Entonces:

¿Dónde está el número complejo conjugado de ? Por ejemplo, la distancia entre puntos. (a, b) = (0, 1) Y (C, d) = (i, 0) , calculemos la diferencia (a − C, b − d) = (−i, 1) y el resultado sería 0 si no se utilizaran conjugados complejos. Por lo tanto, usando la fórmula mejorada, obtenemos

El módulo se define de la siguiente manera:

Estereometría

Una generalización significativa del teorema de Pitágoras para el espacio tridimensional es el teorema de De Goy, que lleva el nombre de J.-P. de Gois: si un tetraedro tiene un ángulo recto (como en un cubo), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Esta conclusión se puede resumir como " norte-Teorema de Pitágoras dimensional":

Teorema de pitágoras espacio tridimensional conecta la diagonal AD con tres lados.

Otra generalización: el teorema de Pitágoras se puede aplicar a la estereometría de la siguiente forma. Considere un paralelepípedo rectangular como se muestra en la figura. Encontremos la longitud de la diagonal BD usando el teorema de Pitágoras:

donde los tres lados forman un triángulo rectángulo. Usamos la diagonal horizontal BD y la arista vertical AB para encontrar la longitud de la diagonal AD, para esto usamos nuevamente el teorema de Pitágoras:

o, si escribimos todo en una ecuación:

Este resultado es una expresión tridimensional para determinar la magnitud del vector. v(diagonal AD), expresada en términos de sus componentes perpendiculares ( v k ) (tres lados mutuamente perpendiculares):

Esta ecuación puede considerarse como una generalización del teorema de Pitágoras para el espacio multidimensional. Sin embargo, el resultado en realidad no es más que la aplicación repetida del teorema de Pitágoras a una secuencia de triángulos rectángulos en planos sucesivamente perpendiculares.

Espacio vectorial

En el caso de un sistema ortogonal de vectores, existe una igualdad, que también se llama teorema de Pitágoras:

Si estas son proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, entonces esta fórmula coincide con la distancia euclidiana y significa que la longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

El análogo de esta igualdad en el caso de un sistema infinito de vectores se llama igualdad de Parseval.

Geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, no es válido para la geometría no euclidiana, en la forma en que está escrito anteriormente. (Es decir, el teorema de Pitágoras resulta ser una especie de equivalente al postulado de paralelismo de Euclides). En otras palabras, en geometría no euclidiana la relación entre los lados de un triángulo necesariamente tendrá una forma diferente a la del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo (digamos a, b Y C), que limitan el octante (octava parte) de la esfera unitaria, tienen una longitud de π/2, lo que contradice el teorema de Pitágoras, porque a 2 + b 2 ≠ C 2 .

Consideremos aquí dos casos de geometría no euclidiana: la geometría esférica y la hiperbólica; en ambos casos, como en el espacio euclidiano para triángulos rectángulos, el resultado, que reemplaza al teorema de Pitágoras, se deriva del teorema del coseno.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo válido para la geometría hiperbólica y elíptica si el requisito de que el triángulo sea rectangular se reemplaza por la condición de que la suma de dos ángulos del triángulo debe ser igual al tercero, digamos A+B = C. Entonces la relación entre los lados se ve así: la suma de las áreas de círculos con diámetros a Y b igual al área de un círculo con diámetro C.

Geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera con radio R(por ejemplo, si el ángulo γ en un triángulo es recto) con lados a, b, C La relación entre las partes quedará así:

Esta igualdad se puede derivar como un caso especial del teorema del coseno esférico, que es válido para todos los triángulos esféricos:

donde cosh es el coseno hiperbólico. Esta fórmula es un caso especial del teorema del coseno hiperbólico, que es válido para todos los triángulos:

donde γ es el ángulo cuyo vértice es opuesto al lado C.

Dónde gramo yo llamado tensor métrico. Puede ser una función de la posición. Dichos espacios curvilíneos incluyen la geometría de Riemann como ejemplo general. Esta formulación también es adecuada para el espacio euclidiano cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, para coordenadas polares:

Ilustraciones vectoriales

El teorema de Pitágoras conecta dos expresiones para la magnitud de un producto vectorial. Un enfoque para definir un producto cruzado requiere que satisfaga la ecuación:

Esta fórmula utiliza el producto escalar. El lado derecho de la ecuación se llama determinante de Gram para a Y b, que es igual al área del paralelogramo formado por estos dos vectores. Basado en este requisito, así como en el requisito de que el producto vectorial sea perpendicular a sus componentes a Y b de ello se deduce que, excepto en casos triviales del espacio de 0 y 1 dimensión, el producto cruzado se define sólo en tres y siete dimensiones. Usamos la definición del ángulo en norte-espacio dimensional:

Esta propiedad de un producto cruzado da su magnitud de la siguiente manera:

A través de fundamentales identidad trigonométrica Pitágoras obtenemos otra forma de escribir su valor:

Un enfoque alternativo para definir un producto cruzado es utilizar una expresión para su magnitud. Luego, razonando en orden inverso, obtenemos una conexión con el producto escalar:

ver también

Notas

1. Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas
2. ( , pág. 351) pág.
3. ( , Tomo I, pág. 144)
4. Discusión hechos históricos dado en (, p. 351) p.
5. Kurt Von Fritz (abril de 1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipasus de Metapontum". Los Anales de las Matemáticas, Segunda Serie(Anales de las Matemáticas) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, “La historia con nudos”, M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Episodios de la historia temprana de las matemáticas. - Asociación Matemática de América, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Proposición de Python por Eliseo Scott Loomis
9. Euclides Elementos: Libro VI, Proposición VI 31: “En los triángulos rectángulos, la figura del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras semejantes y descritas de manera similar en los lados que contienen el ángulo recto”.
10. Lawrence Leff trabajo citado. - Serie educativa de Barron - P. 326. - ISBN 0764128922.
11. Howard Whitley Evas§4.8:...generalización del teorema de Pitágoras // Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650). - Asociación Matemática de América, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (nombre completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.C.) fue un médico que vivió en Bagdad y escribió extensamente sobre los Elementos de Euclides y otros temas matemáticos.
13. Aydin Sayili (marzo de 1960). "Generalización del teorema de Pitágoras de Thâbit ibn Qurra". Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Ejercicio 2.10 (ii) // Trabajo citado. - Pág. 62. - ISBN 0821844032
15. Para el detalles de tal construcción, ver George Jennings Figura 1.32: El teorema de Pitágoras generalizado // Geometría moderna con aplicaciones: con 150 figuras. - 3º. - Springer, 1997. - Pág. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artículo C: Norma para un arbitrario norte-tuple... // Una introducción al análisis. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Ver también las páginas 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simón Salamón Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica. - 3º. - Prensa CRC, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Análisis matricial. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking trabajo citado. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric Weisstein Enciclopedia concisa de matemáticas CRC. - 2do. - 2003. - Pág. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alejandro R. Pruss

El teorema de Pitágoras es el enunciado más importante de la geometría. El teorema se formula de la siguiente manera: el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos.

El descubrimiento de esta afirmación suele atribuirse a filósofo griego antiguo y el matemático Pitágoras (siglo VI a.C.). Pero un estudio de tablillas cuneiformes babilónicas y manuscritos chinos antiguos (copias de manuscritos aún más antiguos) demostró que esta afirmación se conocía mucho antes que Pitágoras, tal vez un milenio antes que él. El mérito de Pitágoras fue que descubrió la demostración de este teorema.

Es probable que el hecho enunciado en el teorema de Pitágoras se haya establecido por primera vez para los triángulos rectángulos isósceles. Basta con mirar el mosaico de triángulos negros y claros que se muestra en la Fig. 1, para verificar la validez del teorema de un triángulo: un cuadrado construido sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos y un cuadrado que contiene 2 triángulos se construye en cada lado. Para probar el caso general en India antigua Se colocaron de dos maneras: en un cuadrado con un lado, representaron cuatro triángulos rectángulos con catetos de longitudes y (Fig. 2, a y 2, b), después de lo cual escribieron una palabra "¡Mira!" Y efectivamente, mirando estos dibujos, vemos que a la izquierda hay una figura libre de triángulos, que consta de dos cuadrados con lados y, en consecuencia, su área es igual a , y a la derecha hay un cuadrado con un lado - su área es igual a . Esto significa que esto constituye el enunciado del teorema de Pitágoras.

Sin embargo, durante dos mil años, no fue esta prueba visual la que se utilizó, sino una prueba más compleja inventada por Euclides, que se encuentra en su famoso libro "Elementos" (ver Euclides y sus "Elementos"), Euclides bajó la altura. desde el vértice de un ángulo recto hasta la hipotenusa y demostró que su continuación divide el cuadrado construido sobre la hipotenusa en dos rectángulos, cuyas áreas son iguales a las áreas de los cuadrados correspondientes construidos sobre los catetos (Fig. 3). El dibujo utilizado para demostrar este teorema se llama en broma “pantalones pitagóricos”. Durante mucho tiempo fue considerado uno de los símbolos de la ciencia matemática.

Hoy en día se conocen varias docenas de demostraciones diferentes del teorema de Pitágoras. Algunos de ellos se basan en la partición de cuadrados, en la que un cuadrado construido sobre la hipotenusa consta de partes incluidas en las particiones de cuadrados construidos sobre los catetos; otros - además de cifras iguales; el tercero, en el hecho de que la altura bajada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa divide un triángulo rectángulo en dos triángulos semejantes a él.

El teorema de Pitágoras subyace a la mayoría de los cálculos geométricos. Incluso en la antigua Babilonia, se utilizaba para calcular la longitud de la altura de un triángulo isósceles a partir de las longitudes de la base y el lado, la flecha de un segmento a partir del diámetro del círculo y la longitud de la cuerda, y establecía las relaciones entre los elementos de algunos polígonos regulares. Utilizando el teorema de Pitágoras demostramos su generalización, que nos permite calcular la longitud del lado opuesto a un ángulo agudo u obtuso:

De esta generalización se deduce que la presencia de un ángulo recto en no solo es una condición suficiente, sino también necesaria para que se cumpla la igualdad. De la fórmula (1) se sigue la relación entre las longitudes de las diagonales y los lados de un paralelogramo, con la ayuda del cual es fácil encontrar la longitud de la mediana de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados.

A partir del teorema de Pitágoras, se deriva una fórmula que expresa el área de cualquier triángulo a través de las longitudes de sus lados (ver fórmula de Heron). Por supuesto, el teorema de Pitágoras también se utilizó para resolver diversos problemas prácticos.

En lugar de cuadrados, puedes construir figuras similares (triángulos equiláteros, semicírculos, etc.) en los lados de un triángulo rectángulo. En este caso, el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos. Otra generalización está asociada con la transición del avión al espacio. Se formula de la siguiente manera: el cuadrado de la longitud diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones (largo, ancho y alto). Un teorema similar es válido en casos multidimensionales e incluso de dimensiones infinitas.

El teorema de Pitágoras existe sólo en la geometría euclidiana. No ocurre ni en la geometría de Lobachevsky ni en otras geometrías no euclidianas. No existe ningún análogo del teorema de Pitágoras sobre la esfera. Dos meridianos que forman un ángulo de 90° y el ecuador limitan sobre una esfera un triángulo esférico equilátero cuyos tres ángulos son rectos. Para él, no como en un avión.

Usando el teorema de Pitágoras, calcula la distancia entre puntos y el plano coordenado usando la fórmula

.

Después de que se descubrió el teorema de Pitágoras, surgió la pregunta de cómo encontrar todos los tripletes de números naturales que pueden ser lados de triángulos rectángulos (ver el último teorema de Fermat). Fueron descubiertos por los pitagóricos, pero los babilonios ya conocían algunos métodos generales para encontrar estos tripletes de números. Una de las tablillas cuneiformes contiene 15 tripletes. Entre ellos hay trillizos formados por tantos números grandes, que no es posible encontrarlos mediante selección.

fosa hipocrática

Las lunas hipocráticas son figuras delimitadas por los arcos de dos círculos y, además, tales que utilizando los radios y la longitud de la cuerda común de estos círculos, utilizando un compás y una regla, se pueden construir cuadrados de igual tamaño.

De la generalización del teorema de Pitágoras a semicírculos se deduce que la suma de las áreas de los grumos rosados ​​que se muestran en la figura de la izquierda es igual al área del triángulo azul. Por lo tanto, si tomas un triángulo rectángulo isósceles, obtendrás dos agujeros, el área de cada uno de los cuales será igual a la mitad del área del triángulo. Al intentar resolver el problema de la cuadratura de un círculo (ver Problemas clásicos de la antigüedad), el antiguo matemático griego Hipócrates (siglo V a. C.) encontró varios agujeros más, cuyas áreas se expresan en términos de áreas de figuras rectilíneas.

Sólo en los siglos XIX y XX se obtuvo una lista completa de lúnulas hipomarginales. gracias al uso de los métodos de la teoría de Galois.

El potencial de la creatividad se suele atribuir a las humanidades, dejando las ciencias naturales al análisis, al enfoque práctico y al lenguaje seco de fórmulas y números. Las matemáticas no pueden clasificarse como una materia de humanidades. Pero sin creatividad no se llegará muy lejos en la "reina de todas las ciencias"; la gente lo sabe desde hace mucho tiempo. Desde la época de Pitágoras, por ejemplo.

Desafortunadamente, los libros de texto escolares generalmente no explican que en matemáticas es importante no solo estudiar teoremas, axiomas y fórmulas. Es importante comprender y sentir sus principios fundamentales. Y al mismo tiempo, trate de liberar su mente de clichés y verdades elementales; sólo en tales condiciones nacen todos los grandes descubrimientos.

Tales descubrimientos incluyen lo que hoy conocemos como el teorema de Pitágoras. Con su ayuda, intentaremos demostrar que las matemáticas no sólo pueden, sino que deben ser apasionantes. Y que esta aventura es apta no sólo para nerds con gafas gruesas, sino para todos los que son fuertes de mente y de espíritu.

De la historia del problema.

Estrictamente hablando, aunque el teorema se llama “teorema de Pitágoras”, el propio Pitágoras no lo descubrió. El triángulo rectángulo y sus propiedades especiales se estudiaron mucho antes que él. Hay dos puntos de vista opuestos sobre este tema. Según una versión, Pitágoras fue el primero en encontrar una demostración completa del teorema. Según otro, la prueba no pertenece a la autoría de Pitágoras.

Hoy ya no se puede comprobar quién tiene razón y quién no. Lo que se sabe es que la prueba de Pitágoras, si alguna vez existió, no ha sobrevivido. Sin embargo, hay sugerencias de que la famosa prueba de los Elementos de Euclides puede pertenecer a Pitágoras, y Euclides sólo la registró.

También se sabe hoy que los problemas sobre un triángulo rectángulo se encuentran en fuentes egipcias de la época del faraón Amenemhat I, en tablillas de arcilla babilónicas del reinado del rey Hammurabi, en el antiguo tratado indio "Sulva Sutra" y en la antigua obra china " Zhou-bi suan jin”.

Como puedes ver, el teorema de Pitágoras ha ocupado la mente de los matemáticos desde la antigüedad. Esto lo confirman alrededor de 367 pruebas diferentes que existen en la actualidad. En esto ningún otro teorema puede competir con él. Entre los autores famosos de pruebas podemos recordar a Leonardo da Vinci y al vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Garfield. Todo esto habla de la extrema importancia de este teorema para las matemáticas: la mayoría de los teoremas de la geometría se derivan de él o están de alguna manera relacionados con él.

Pruebas del teorema de Pitágoras

Los libros de texto escolares ofrecen principalmente demostraciones algebraicas. Pero la esencia del teorema está en la geometría, así que consideremos primero las demostraciones del famoso teorema que se basan en esta ciencia.

Evidencia 1

Para la demostración más sencilla del teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo, es necesario establecer condiciones ideales: deja que el triángulo no solo sea rectangular, sino también isósceles. Hay motivos para creer que fue precisamente este tipo de triángulo el que consideraron inicialmente los antiguos matemáticos.

Declaración “un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos” se puede ilustrar con el siguiente dibujo:

Mira el triángulo rectángulo isósceles ABC: sobre la hipotenusa AC, puedes construir un cuadrado que consta de cuatro triángulos iguales al ABC original. Y en los lados AB y BC se construye un cuadrado, cada uno de los cuales contiene dos triángulos semejantes.

Por cierto, este dibujo formó la base de numerosos chistes y caricaturas dedicadas al teorema de Pitágoras. El más famoso es probablemente "Los pantalones pitagóricos son iguales en todas direcciones":

Evidencia 2

Este método combina álgebra y geometría y puede considerarse una variante de la antigua prueba india del matemático Bhaskari.

Construye un triángulo rectángulo con lados. a, b y c(Figura 1). Luego construye dos cuadrados con lados iguales a la suma de las longitudes de los dos catetos. (a+b). En cada uno de los cuadrados haz construcciones como en las Figuras 2 y 3.

En el primer cuadrado, construye cuatro triángulos similares a los de la Figura 1. El resultado son dos cuadrados: uno de lado a, el segundo de lado b.

En el segundo cuadrado, cuatro triángulos semejantes construidos forman un cuadrado con un lado igual a la hipotenusa. C.

La suma de las áreas de los cuadrados construidos en la Fig. 2 es igual al área del cuadrado que construimos con el lado c en la Fig. 3. Esto se puede comprobar fácilmente calculando el área de los cuadrados de la Fig. 2 según la fórmula. Y el área del cuadrado inscrito en la Figura 3. restando las áreas de cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el cuadrado del área de un cuadrado grande con un lado (a+b).

Anotando todo esto tenemos: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Abra los corchetes, realice todos los cálculos algebraicos necesarios y obtenga eso un 2 +b 2 = un 2 +b 2. En este caso, el área inscrita en la Fig. 3. El cuadrado también se puede calcular usando la fórmula tradicional. S=c2. Aquellos. a 2 +b 2 =c 2– has demostrado el teorema de Pitágoras.

Evidencia 3

La propia prueba india antigua fue descrita en el siglo XII en el tratado "La Corona del Conocimiento" ("Siddhanta Shiromani") y como argumento principal el autor utiliza un llamamiento dirigido a los talentos matemáticos y las habilidades de observación de estudiantes y seguidores: " ¡Mirar!"

Pero analizaremos esta prueba con más detalle:

Dentro del cuadrado, construye cuatro triángulos rectángulos como se indica en el dibujo. Denotamos el lado del cuadrado grande, también conocido como hipotenusa, Con. Llamemos a los catetos del triángulo. A Y b. Según el dibujo, el lado del cuadrado interior es (a-b).

Usa la fórmula para el área de un cuadrado. S=c2 para calcular el área del cuadrado exterior. Y al mismo tiempo calcula el mismo valor sumando el área del cuadrado interior y las áreas de los cuatro triángulos rectángulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puedes utilizar ambas opciones para calcular el área de un cuadrado y asegurarte de que den el mismo resultado. Y esto te da derecho a escribir eso. c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado de la solución, recibirás la fórmula del teorema de Pitágoras. c 2 =a 2 +b 2. El teorema está demostrado.

Prueba 4

Esta curiosa prueba china antigua fue llamada la “Silla de la Novia”, debido a la figura en forma de silla que resulta de todas las construcciones:

Utiliza el dibujo que ya hemos visto en la Fig. 3 en la segunda prueba. Y el cuadrado interior con lado c se construye de la misma manera que en la antigua prueba india dada anteriormente.

Si cortas mentalmente dos triángulos rectangulares verdes del dibujo de la Fig. 1, los mueves a lados opuestos del cuadrado con el lado c y unes las hipotenusas a las hipotenusas de los triángulos lilas, obtendrás una figura llamada "silla de la novia". (Figura 2). Para mayor claridad, puedes hacer lo mismo con cuadrados y triángulos de papel. Te asegurarás de que la “silla de la novia” esté formada por dos cuadrados: pequeños con un lado b y grande con un lado a.

Estas construcciones permitieron a los antiguos matemáticos chinos y a nosotros, siguiéndolos, llegar a la conclusión de que c 2 =a 2 +b 2.

Evidencia 5

Esta es otra forma de encontrar una solución al teorema de Pitágoras usando geometría. Se llama Método Garfield.

construir un triangulo rectángulo A B C. Necesitamos demostrar que antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2.

Para ello, continúa la pierna. C.A. y construir un segmento CD, que es igual al cateto AB. Bajar la perpendicular ANUNCIO segmento de línea DE. Segmentos DE Y C.A. son iguales. Conecta los puntos mi Y EN, y mi Y CON y obtén un dibujo como el de la siguiente imagen:

Para demostrar la torre, volvemos a recurrir al método que ya hemos probado: encontramos el área de la figura resultante de dos formas y equiparamos las expresiones entre sí.

Encuentra el área de un polígono UNA CAMA se puede hacer sumando las áreas de los tres triángulos que lo forman. Y uno de ellos, URE, no sólo es rectangular, sino también isósceles. Tampoco olvidemos que AB=CD, CA=ED Y BC=SE– esto nos permitirá simplificar la grabación y no sobrecargarla. Entonces, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Al mismo tiempo, es obvio que UNA CAMA- Este es un trapezoide. Por tanto, calculamos su área mediante la fórmula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Para nuestros cálculos, es más conveniente y claro representar el segmento. ANUNCIO como la suma de segmentos C.A. Y CD.

Anotemos ambas formas de calcular el área de una figura, poniendo un signo igual entre ellas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos la igualdad de segmentos que ya conocemos y descrita anteriormente para simplificar el lado derecho de la notación: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ahora abramos los corchetes y transformemos la igualdad: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Habiendo completado todas las transformaciones, obtenemos exactamente lo que necesitamos: antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2. Hemos demostrado el teorema.

Por supuesto, esta lista de pruebas está lejos de ser completa. El teorema de Pitágoras también se puede demostrar utilizando vectores, números complejos, ecuaciones diferenciales, estereometría, etc. E incluso los físicos: si, por ejemplo, se vierte líquido en volúmenes cuadrados y triangulares similares a los que se muestran en los dibujos. Al verter líquido, se puede demostrar la igualdad de áreas y, como resultado, el teorema mismo.

Algunas palabras sobre los trillizos pitagóricos

Este tema se estudia poco o nada en el currículo escolar. Mientras tanto, es muy interesante y de gran importancia en geometría. Las ternas pitagóricas se utilizan para resolver muchos problemas matemáticos. Comprenderlos puede resultarle útil en sus estudios superiores.

Entonces, ¿qué son los trillizos pitagóricos? Este es el nombre de los números naturales agrupados en grupos de tres, cuya suma de los cuadrados de dos de ellos es igual al tercer número al cuadrado.

Las ternas pitagóricas pueden ser:

• primitivo (los tres números son primos relativos);
• no primitivo (si cada número de un triple se multiplica por el mismo número, se obtiene un nuevo triple, que no es primitivo).

Incluso antes de nuestra era, los antiguos egipcios estaban fascinados por la manía por los números de los trillizos pitagóricos: en los problemas consideraban un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades. Por cierto, cualquier triángulo cuyos lados sean iguales a los números del triple pitagórico es rectangular por defecto.

Ejemplos de trillizos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicación práctica del teorema.

El teorema de Pitágoras se utiliza no sólo en matemáticas, sino también en arquitectura y construcción, astronomía e incluso literatura.

Primero sobre la construcción: el teorema de Pitágoras se usa ampliamente en problemas niveles diferentes dificultades. Por ejemplo, mire una ventana románica:

Denotaremos el ancho de la ventana como b, entonces el radio del semicírculo mayor se puede denotar como R y expresar a través de b: R=b/2. El radio de semicírculos más pequeños también se puede expresar mediante b:r=b/4. En este problema estamos interesados ​​en el radio del círculo interior de la ventana (llamémoslo pag).

El teorema de Pitágoras sólo sirve para calcular R. Para hacer esto, usamos un triángulo rectángulo, que se indica con una línea de puntos en la figura. La hipotenusa de un triángulo consta de dos radios: b/4+p. Un cateto representa el radio b/4, otro b/2p. Utilizando el teorema de Pitágoras escribimos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. A continuación, abrimos los corchetes y obtenemos b 2 /16+ pb/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-pb+p 2. Transformemos esta expresión en pb/2=b 2 /4-pb. Y luego dividimos todos los términos por b, te presentamos otros similares para conseguir 3/2*p=b/4. Y al final encontramos que p=b/6- que es lo que necesitábamos.

Usando el teorema, puedes calcular la longitud de las vigas para techo a dos aguas. Determina la altura de la torre. comunicaciones móviles la señal debe alcanzar un cierto asentamiento. E incluso instalar de manera constante árbol de Navidad en la plaza de la ciudad. Como puede ver, este teorema no solo se encuentra en las páginas de los libros de texto, sino que a menudo resulta útil en la vida real.

En literatura, el teorema de Pitágoras ha inspirado a escritores desde la antigüedad y continúa haciéndolo en nuestro tiempo. Por ejemplo, el escritor alemán del siglo XIX Adelbert von Chamisso se inspiró para escribir un soneto:

La luz de la verdad no se disipará pronto,
Pero, habiendo brillado, es poco probable que se disipe.
Y, como hace miles de años,
No causará dudas ni disputas.

El más sabio cuando toca tu mirada.
Luz de la verdad, gracias a los dioses;
Y cien toros, degollados, yacen.
Un regalo de regreso del afortunado Pitágoras.

Desde entonces los alcistas han estado rugiendo desesperadamente:
Siempre alarmó a la tribu de los toros.
Evento mencionado aquí.

Les parece: el tiempo está por llegar,
Y serán sacrificados nuevamente
Algún gran teorema.

(traducción de Viktor Toporov)

Y en el siglo XX, el escritor soviético Evgeny Veltistov, en su libro "Las aventuras de la electrónica", dedicó un capítulo entero a las demostraciones del teorema de Pitágoras. Y otro medio capítulo más a la historia sobre el mundo bidimensional que podría existir si el teorema de Pitágoras se convirtiera en ley fundamental e incluso en religión para un solo mundo. Vivir allí sería mucho más fácil, pero también mucho más aburrido: por ejemplo, nadie entiende el significado de las palabras "redondo" y "esponjoso".

Y en el libro "Las aventuras de la electrónica", el autor, por boca del profesor de matemáticas Taratar, dice: "Lo principal en matemáticas es el movimiento del pensamiento, las nuevas ideas". Es precisamente este vuelo creativo del pensamiento el que da origen al teorema de Pitágoras; no en vano tiene tantas y variadas demostraciones. Le ayuda a ir más allá de los límites de lo familiar y a mirar las cosas familiares de una manera nueva.

Conclusión

Este artículo fue creado para que pueda mirar más allá del plan de estudios escolar en matemáticas y aprender no solo las demostraciones del teorema de Pitágoras que se dan en los libros de texto "Geometría 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) y "Geometría 7". 11” (A.V. Pogorelov), pero también otras formas interesantes de demostrar el famoso teorema. Y vea también ejemplos de cómo se puede aplicar el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana.

En primer lugar, esta información le permitirá obtener puntuaciones más altas en las lecciones de matemáticas; la información sobre el tema procedente de fuentes adicionales siempre es muy valorada.

En segundo lugar, queríamos ayudarte a sentir lo interesantes que son las matemáticas. Cerciorarse ejemplos específicos que siempre hay un lugar para la creatividad en él. Esperamos que el teorema de Pitágoras y este artículo lo inspiren a explorar de forma independiente y realizar descubrimientos interesantes en matemáticas y otras ciencias.

Cuéntenos en los comentarios si encontró interesante la evidencia presentada en el artículo. ¿Le resultó útil esta información en sus estudios? Escríbanos lo que piensa sobre el teorema de Pitágoras y este artículo; estaremos encantados de discutir todo esto con usted.

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