Cómo dividir un círculo en 20 partes iguales. Dividir un círculo en seis partes iguales y construir un hexágono regular inscrito

A la pregunta: ¿cómo dividir un círculo en tres partes iguales usando un compás)? dime esto por favor!! dado por el autor Embajada la mejor respuesta es
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Sea un círculo de radio R. Necesitamos dividirlo en tres partes iguales usando un compás. Abre la brújula al tamaño del radio del círculo. Puedes usar una regla o puedes colocar la aguja del compás en el centro del círculo y mover la pata hasta el eslabón que describe el círculo. En cualquier caso, la regla te será útil más adelante.
Coloque la aguja de la brújula en un lugar aleatorio de la circunferencia del círculo y, con un lápiz, dibuje un pequeño arco que cruce el contorno exterior del círculo. Luego instale la aguja de la brújula en el punto de referencia encontrado y vuelva a dibujar un arco con el mismo radio (igual al radio del círculo).
Repita estos pasos hasta que el siguiente punto de intersección coincida con el primero. Obtendrá seis enlaces en círculos espaciados a intervalos iguales. Todo lo que queda es seleccionar tres puntos a través de uno y usar una regla para conectarlos al centro del círculo, y obtendrás un círculo dividido en tres.
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Un círculo se puede dividir en tres partes si, con un compás, desde el punto de intersección de una línea recta trazada por el centro del círculo O, se hacen con un compás las muescas B y C en la línea del círculo con un valor igual al radio de este círculo.
Por lo tanto, se encontrarán dos puntos requeridos y el tercero es el punto opuesto A, donde se cruzan el círculo y la línea recta.
Además, si es necesario, utilice una regla y un lápiz.

puedes dibujar un triángulo incrustado.

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Para marcar en tres partes usamos el radio del círculo.

Gira la brújula al revés. Coloque la aguja
la intersección de la línea central con el círculo y el lápiz en el centro. describir
un arco que corta a un círculo.

Los puntos de intersección serán los vértices del triángulo.

Con un compás y una regla, puedes dividir un círculo en cualquier cantidad de partes. Los matemáticos han demostrado que es posible dividir en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,..., 257,... partes, pero no en 7, 9, 11, 13, 14,... partes.

Desafortunadamente, no existe una única forma de dividir. Enumeremos los más importantes.

1) Dividiendo el círculo por 6, 3, 12, 24,…, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) a partes iguales.

Empecemos con dividir un círculo en 6 partes. Para hacer esto, usando la misma solución de brújula que se usó para dibujar el círculo, debe dibujar un círculo desde cualquier punto del círculo, como desde el centro. Luego repita el procedimiento, tomando como centro el punto de intersección de los círculos inicial y nuevo.

Para dividir un círculo en 3 partes, debes dividirlo en 6 partes y tomar puntos a través de una (Fig. 5a). Para dividir un círculo en 12 partes, debes dividirlo en 6 partes y dividir cada arco por la mitad, luego el proceso de dividir los arcos por la mitad se puede continuar indefinidamente.

La longitud de la perpendicular trazada desde el centro del círculo hasta el lado del hexágono es una buena aproximación de la longitud del lado del heptágono inscrito en el círculo (que se muestra sombreado en la Figura 5a). La longitud de la perpendicular es ≈0,866R, la longitud del lado del heptágono es ≈0,868R; la precisión es ≈2%.

2) Dividir el círculo en 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) partes iguales.

Puedes dividir un círculo en 2 partes usando una regla dibujando una línea recta que pase por el centro del círculo. Pero puedes trazar el radio del círculo 3 veces desde cualquier punto del círculo. Los puntos inicial y final dividen el círculo por la mitad (el diámetro se puede dibujar a través de ellos - Fig. 5a). Para dividir un círculo en 4 partes, debes dividir los arcos resultantes por la mitad. Dividir consistentemente los arcos resultantes por la mitad asegura dividir el círculo en 8, 16, etc. partes.

3) Dividir el círculo en 5 partes.

El método de construcción aceptado en el dibujo utiliza la relación entre el lado de un decágono regular ( un 10)Y pentágono regular (un 5)- a 5 2 =R 2 +a 10 2 . La construcción se lleva a cabo de la siguiente manera. Dibujemos 2 líneas perpendiculares que pasen por el centro del círculo O. A y B son los puntos de su intersección con el círculo. Desde el punto A, como desde el centro, dibujamos un círculo del mismo radio (encontramos la mitad del segmento AO - punto C). Desde el centro del segmento AO del punto C trazamos otra circunferencia de radio NE. El segmento BE es igual al lado del pentágono, OE es igual al lado del decágono (Fig. 5b).

Puede dividir el círculo en 5 y 10 partes de la manera que se muestra en la Figura 5c. El segmento BC es un lado de un pentágono, AC es un lado de un decágono. Hablaremos sobre las notables propiedades del pentágono y el decágono y por qué el método de construcción que se muestra en la Figura 5c es correcto en el próximo capítulo.

Madraza Kukeldash (siglo XVI, Tashkent)

La Figura 5d demuestra el método de solución geométrica aproximada al problema de dividir un círculo en cualquier número de partes. Supongamos, por ejemplo, que desea dividir un círculo determinado en 7 partes iguales. Construyamos un triángulo equilátero ABC sobre el diámetro del círculo AB y dividamos el diámetro AB por el punto D en la relación AD:AB=2:7 (en caso general 2:n). Para hacer esto, debe dibujar una línea auxiliar, colocarle n+2 segmentos idénticos, conectar el punto extremo con el punto B y dibujar una línea paralela a la línea BF a través del segundo punto. Dibujemos una línea recta DC hasta que cruce el círculo. El arco AE será la séptima parte del círculo (en general caso enésimo). Este método para n<11 дает погрешность не более 1%.

Los algoritmos para dividir un círculo en partes iguales se pueden utilizar, por ejemplo, para construir puntos de referencia de espirales: la espiral de Arquímedes, que lleva el nombre del gran científico griego Arquímedes (siglo III a. C.), que estudió por primera vez esta línea, y la logarítmica. espiral.

Un círculo es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto dado, llamado centro, a una distancia determinada distinta de cero, llamada radio.

En este artículo aprenderás cómo dividir un círculo en 3-6, 4-8, 5-10 y n partes.

Cómo dividir un círculo en 3 y 6 partes

Para dividir un círculo en 3, 6 y un múltiplo de ellos, dibuja un círculo de un radio determinado y los ejes correspondientes. La división puede comenzar desde el punto de intersección del eje vertical u horizontal con el círculo. El radio especificado del círculo se traza 6 veces sucesivamente. Luego, los puntos resultantes en el círculo se conectan secuencialmente mediante líneas rectas y forman un hexágono regular inscrito. Conectando los puntos a través de uno se obtiene un triángulo equilátero y dividiendo el círculo en 3 partes iguales.

Dividiendo el círculo en 3-6 partes iguales

Cómo dividir un círculo en 5 y 10 partes

Para dividir un círculo en 5 y 10 partes iguales, es necesario construir un pentágono regular. Para construirlo necesitas hacer lo siguiente. Dibujamos dos ejes circulares mutuamente perpendiculares iguales al diámetro del círculo. Divida la mitad derecha del diámetro horizontal por la mitad usando el arco R1. Desde el punto resultante "a" en el medio de este segmento con radio R2, dibuje un arco circular hasta que se cruce con el diámetro horizontal en el punto "b". Con radio R3, desde el punto “1”, traza un arco circular hasta intersecar con un círculo dado (punto 5) y obtiene el lado de un pentágono regular, luego traza la distancia resultante a lo largo del círculo 5 veces hasta obtener un pentágono regular. . La distancia "b-0" da el lado de un pentágono regular.

Dividiendo el círculo en 5-10 partes iguales

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Cómo dividir un círculo en n partes iguales

De lo contrario, necesitas construir un polígono regular con n lados. Dibujamos los ejes del círculo horizontal y vertical mutuamente perpendiculares. Desde el punto superior "1" del círculo, dibuje una línea recta en un ángulo arbitrario con respecto al eje vertical. En él colocamos segmentos iguales de longitud arbitraria, cuyo número es igual al número de partes en las que dividimos el círculo dado, por ejemplo 9. Conectamos el final del último segmento al punto inferior del diámetro vertical. Trazar una línea paralela a la resultante desde los extremos de los segmentos reservados hasta que se cruce con el diámetro vertical, dividiendo así el diámetro vertical de un círculo determinado en un número determinado de partes. Con un radio igual al diámetro del círculo, desde el punto inferior del eje vertical trazamos un arco MN hasta que se cruza con la continuación del eje horizontal del círculo. Desde los puntos M y N dibujamos rayos a través de puntos de división pares (o impares) del diámetro vertical hasta que se cruzan con el círculo. Los segmentos del círculo resultantes serán los requeridos, ya que los puntos 1, 2,... 9 dividen el círculo en 9 (N) partes iguales.

Dividir un círculo en n partes iguales

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La división de un círculo en un número arbitrario de partes iguales se puede realizar utilizando una tabla de cuerdas, cuya expresión numérica se determina multiplicando el radio de un círculo dado por el coeficiente correspondiente al número de división presentado en la tabla.

Tabla de acordes (coeficientes para dividir un círculo)

	Coeficiente	Número de partes de divisiones circulares.	Coeficiente	Número de partes de divisiones circulares.	Coeficiente
1	0,000	11	0,282	21	0,149
2	1,000	12	0,258	22	0,142
3	0,866	13	0,239	23	0,136
4	0,707	14	0,223	24	0,130
5	0,588	15	0,208	25	0,125
6	0,500	16	0,195	26	0,120
7	0,434	17	0,184	27	0,116
8	0,383	18	0,178	28	0,112
9	0,342	19	0,165	29	0,108
10	0,309	20	0,156	30	0,104

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Cómo encontrar el centro de un arco circular

Es necesario hacer lo siguiente: en este arco marcamos cuatro puntos arbitrarios A, B, C, D y los conectamos en pares con las cuerdas AB y CD.

Dividimos cada una de las cuerdas por la mitad utilizando un compás, obteniendo así una perpendicular que pasa por el medio de la cuerda correspondiente. La intersección mutua de estas perpendiculares da el centro del arco dado y su círculo correspondiente.

División aproximada de un arco circular en un número arbitrario de partes iguales Se puede realizar utilizando una brújula utilizando el método de aproximación sucesiva.

Dividir un círculo en tres partes iguales. Instale un cuadrado con ángulos de 30 y 60° con el lado grande paralelo a una de las líneas centrales. A lo largo de la hipotenusa desde el punto 1 (primera división) dibuja una cuerda (Fig. 2.11, A), obteniendo la segunda división - punto 2. Al darle la vuelta al cuadrado y dibujando la segunda cuerda, obtenemos la tercera división - punto 3 (Figura 2.11, b). Puntos de conexión 2 y 3; 3 Y 1 líneas rectas, obtenemos un triángulo equilátero.

Arroz. 2.11.

a B C usando un cuadrado; V- usando una brújula

El mismo problema se puede resolver usando una brújula. Colocando la pata de apoyo de la brújula en el extremo inferior o superior del diámetro (Fig. 2.11, V), describe un arco cuyo radio es igual al radio del círculo. Consigue la primera y segunda división. La tercera división está en el extremo opuesto del diámetro.

Dividir un círculo en seis partes iguales

La apertura de la brújula se iguala al radio. R círculos. Desde los extremos de uno de los diámetros del círculo (desde puntos 1, 4 ) describen arcos (Fig. 2.12, a, b). Puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 divide el círculo en seis partes iguales. Al conectarlos con líneas rectas, se obtiene un hexágono regular (Fig. 2.12, b).

Arroz. 2.12.

La misma tarea se puede realizar usando una regla y una escuadra con ángulos de 30 y 60° (figura 2.13). La hipotenusa del triángulo debe pasar por el centro del círculo.

Arroz. 2.13.

Dividir un círculo en ocho partes iguales

Puntos 1, 3, 5, 7 se encuentran en la intersección de las líneas centrales con el círculo (Fig. 2.14). Se encuentran cuatro puntos más usando un cuadrado de 45°. Al recibir puntos 2, 4, 6, 8 La hipotenusa del triángulo pasa por el centro del círculo.

Arroz. 2.14.

Dividir un círculo en cualquier número de partes iguales.

Para dividir un círculo en cualquier número de partes iguales, utilice los coeficientes que figuran en la tabla. 2.1.

Longitud yo la cuerda que se traza en un círculo dado está determinada por la fórmula yo = Dk, Dónde yo– longitud de la cuerda; d– diámetro de un círculo determinado; k– coeficiente determinado según la tabla. 1.2.

Tabla 2.1

Coeficientes para dividir círculos.

Para dividir un círculo de un diámetro determinado de 90 mm, por ejemplo, en 14 partes, proceda de la siguiente manera.

En la primera columna de la tabla. 2.1 encontrar el número de divisiones PAG, aquellos. 14. Escribe el coeficiente de la segunda columna. k, correspondiente al número de divisiones PAG. En este caso es igual a 0,22252. El diámetro de un círculo dado se multiplica por un coeficiente para obtener la longitud de la cuerda. l=dk= 90 0,22252 = 0,22 mm. La longitud de la cuerda resultante se traza con un compás 14 veces en un círculo determinado.

Encontrar el centro del arco y determinar el radio.

Se da un arco de círculo cuyo centro y radio se desconocen.

Para determinarlos, es necesario dibujar dos cuerdas no paralelas (Fig. 2.15, A) y restaurar las perpendiculares a los puntos medios de las cuerdas (Fig. 2.15, b). Centro ACERCA DE El arco está en la intersección de estas perpendiculares.

Arroz. 2.15.

compañeros

Al realizar dibujos de ingeniería mecánica, así como al marcar piezas en bruto en producción, a menudo es necesario conectar suavemente líneas rectas con arcos circulares o un arco circular con arcos de otros círculos, es decir, realizar el emparejamiento.

Emparejamiento Se llama transición suave de una línea recta a un arco circular o de un arco a otro.

Para construir relaciones de posición, necesita conocer el radio de las relaciones de posición, encontrar los centros desde donde se dibujan los arcos, es decir, centros de mate(Figura 2.16). Luego necesitas encontrar los puntos en los que una línea se convierte en otra, es decir puntos mate. Al construir un dibujo, las líneas de conexión deben llevarse exactamente a estos puntos. El punto de unión de un arco circular y una línea recta se encuentra en la perpendicular, bajada desde el centro del arco hasta la línea recta coincidente (Fig. 2.17, A), o en la línea que conecta los centros de los arcos de acoplamiento (Fig. 2.17, b). Por lo tanto, para construir cualquier conjugación con un arco de un radio dado, es necesario encontrar centro de mate Y punto (puntos) emparejamiento.

Arroz. 2.16.

Arroz. 2.17.

Conjugación de dos rectas que se cruzan con un arco de radio determinado. Se dan líneas rectas que se cruzan en ángulos rectos, agudos y obtusos (Fig. 2.18, A). Es necesario construir mates de estas líneas rectas con un arco de un radio dado. r.

Arroz. 2.18.

Para los tres casos, se puede aplicar la siguiente construcción.

1. Encuentra un punto ACERCA DE– el centro del mate, que debe estar a cierta distancia R desde los lados del ángulo, es decir en el punto de intersección de líneas paralelas a los lados de un ángulo a una distancia R de ellos (Fig. 2.18, b).

Dibujar líneas rectas paralelas a los lados de un ángulo desde puntos arbitrarios tomados en líneas rectas usando una solución de compás igual a R, hacer muescas y dibujarles tangentes (Fig. 2.18, b).

• 2. Encuentre los puntos de conexión (Fig. 2.18, c). Para hacer esto desde el punto ACERCA DE colocar perpendiculares en líneas dadas.
• 3. Desde el punto O, como desde el centro, describa un arco de un radio dado. R entre los puntos de interfaz (Fig. 2.18, c).

Dividir un círculo en partes iguales, construir polígonos regulares.

Dividir un círculo en 4 y 8 partes iguales.

Extremos de diámetros mutuamente perpendiculares.C.A.YBD(Fig.1) divida un círculo con centro en el puntoACERCA DEen 4 partes iguales. Al conectar los extremos de estos diámetros, puedes obtener un cuadrado.ASolD.

Si el ánguloSOAentre diámetros mutuamente perpendicularesAEYCONGRAMO(Fig. 2) divida por la mitad y dibuje diámetros mutuamente perpendicularesD.H.YB.F., entonces sus extremos dividirán un círculo con el centro en el puntoACERCA DEen 8 partes iguales. Al conectar los extremos de estos diámetros, puedes obtener un octágono regular.ABCDEFGH.

Arroz. 1 figura. 2

Dividir un círculo en 3, 6 y 12 partes.

Para dividir un círculo en 6 partes iguales, use la igualdad de los lados de un hexágono regular con el radio del círculo circunscrito. Dada una circunferencia con centro en el puntoACERCA DE(Fig.3) y radioR, luego desde los extremos de uno de sus diámetros (puntosAYD), a partir de los centros, dibujar arcos de círculo con un radioR. Los puntos de intersección de estos arcos con un círculo dado lo dividirán en 6 partes iguales. Conectando secuencialmente los puntos encontrados, se obtiene un hexágono regular.A B C D E F.

Si una circunferencia tiene un punto en su centroACERCA DE(Fig.4) se debe dividir en 3 partes iguales, luego con un radio igual al radio de este círculo, se debe trazar un arco desde un solo extremo del diámetro, por ejemplo un puntoD. PuntosENYCONintersección de este arco con un círculo dado, así como un puntoAdivida este último en 3 partes iguales. Conectando los puntosA, ENYCON, puedes obtener un triángulo equiláteroA B C.

Arroz. 3 figura. 4

Para dividir el círculo en 12 partes, se repite dos veces la división del círculo en 6 partes (Fig.5), utilizando como centros los extremos de diámetros mutuamente perpendiculares: puntosAYGRAMO, DYj. Los puntos de intersección de los arcos dibujados con un círculo determinado lo dividirán en 12 partes. Al conectar los puntos construidos, puedes obtener un doce gon regular.

Arroz. 5

Dividir un círculo en 5 partes

ACERCA DE(Fig. 6) en 5 partes, proceda de la siguiente manera. Uno de los radios del círculo, por ejemplo.om, dividido por la mitad como se describió anteriormente. Desde la mitad del segmentoompuntonorteradioR1 , igual al segmentoAnorte, dibuja un arco circular y marca un puntoRintersección de este arco con el diámetro al que pertenece el radioom. Segmento de líneaArkansasigual al lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia. Por lo tanto desde el finalAdiámetro perpendicular aom, radioR2 , igual al segmentoArkansas, dibuja un arco circular. PuntosENYmilas intersecciones de este arco con una circunferencia dada nos permiten marcar los dos vértices del pentágono.

Dos picos más (CONYD) son los puntos de intersección de arcos de circunferencia con radioR2 con centros en puntosENYmicon un círculo dado centrado en puntosACERCA DE. Vértices de un pentágono regularA B C D Edivide el círculo dado en 5 partes iguales.

Arroz. 6

Dividir un círculo en 7 partes

Para dividir un círculo centrado en un puntoACERCA DE(Fig.6) en 7 partes, es necesario dibujar un arco auxiliar con un radio desde el punto 1R, igual al radio de un círculo dado que corta al círculo en el puntoMETRO. desde el puntonorteBajo la perpendicular a la línea central horizontal. desde el puntoAcon un radio igual al radioMinnesota, haga 7 muescas alrededor del círculo y obtenga los siete puntos requeridos, al conectarlos obtendrán un heptágono regularABCDEFG.

Arroz. 7

Dividir un círculo en un número arbitrario de partes iguales.

Si ninguna de las opciones consideradas anteriormente satisface las condiciones del problema, utilice una técnica que le permita dividir el círculo en un número arbitrario de partes iguales y construir polígonos regulares con un número arbitrario de lados inscritos en consecuencia.

Consideremos esta construcción usando el ejemplo de dividir un círculo con centro en el puntoACERCA DE(Fig. 8a) en 7 partes iguales. Primero necesitas dibujar dos diámetros mutuamente perpendiculares, uno de los cuales, por ejemplo, pasa por un punto.A, debe dividirse en 7 partes iguales, limitadas por los puntos 1...7. desde el puntoA, a partir del centro, radioRigual al diámetro de un círculo dado, es necesario trazar un arco, cuya intersección con la continuación del segundo diámetro determinará los puntosR1 YR2 . Luego a través de los puntosR1 YR2 (Fig. 8b), y puntos pares obtenidos dividiendo el diámetroA7(puntos 2. 4 y 6), trazar líneas rectas. PuntosEN, CON, DYmi, F, GRAMOla intersección de estas líneas con un círculo dado y el puntoAdividir el círculo con el centroACERCA DEen 7 partes iguales. Al conectar secuencialmente los puntos construidos, se puede representar un heptágono regular inscrito en un círculo.

Arroz. 8