Cómo extraer parcialmente la raíz de un número. Extraer la raíz cuadrada de un número de varios dígitos

Capítulo primero.

Encontrar la raíz cuadrada entera más grande de un número entero dado.

170. Observaciones preliminares.

A) Como hablaremos de extraer sólo la raíz cuadrada, para acortar el discurso en este capítulo, en lugar de raíz “cuadrada” diremos simplemente “raíz”.

b) Si elevamos al cuadrado los números de la serie natural: 1,2,3,4,5. . . , luego obtenemos la siguiente tabla de cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Obviamente, hay muchos números enteros que no están en esta tabla; Por supuesto, es imposible extraer la raíz completa de tales números. Por lo tanto, si necesita extraer la raíz de cualquier número entero, por ejemplo. requerido para encontrar √4082, entonces aceptamos entender este requisito de la siguiente manera: extraer la raíz completa de 4082, si es posible; si no es posible, entonces debemos encontrar el número entero más grande cuyo cuadrado sea 4082 (tal número es 63, ya que 63 2 = 3969 y 64 2 = 4090).

V) Si este número es menor que 100, entonces su raíz se encuentra usando la tabla de multiplicar; Así, √60 sería 7, ya que siete 7 es igual a 49, que es menor que 60, y ocho 8 es igual a 64, que es mayor que 60.

171. Extraer la raíz de un número menor que 10.000 pero mayor que 100. Digamos que necesitamos encontrar √4082. Como este número es menor que 10.000, su raíz es menor que √l0,000 = 100. Por otro lado, este número es mayor que 100; esto significa que la raíz del mismo es mayor (o igual a 10). (Si, por ejemplo, fuera necesario encontrar √ 120 , entonces aunque el número 120 > 100, sin embargo √ 120 es igual a 10, porque 11 2 = 121.) Pero todo número mayor que 10 pero menor que 100 tiene 2 dígitos; Esto significa que la raíz requerida es la suma:

decenas + unidades,

y por tanto su cuadrado debe ser igual a la suma:

Esta suma debe ser el mayor cuadrado de 4082.

Tomemos el mayor de ellos, 36, y supongamos que el cuadrado de la raíz de las decenas será exactamente igual a este cuadrado más grande. Entonces el número de decenas en la raíz debe ser 6. Comprobemos ahora que siempre debe ser así, es decir, el número de decenas en la raíz siempre es igual a la raíz entera más grande del número de centenas del radical.

De hecho, en nuestro ejemplo, el número de decenas de la raíz no puede ser mayor que 6, ya que (7 dic.) 2 = 49 centenas, que excede 4082. Pero no puede ser menor que 6, ya que 5 dic. (con unidades) es menor que 6 des., y mientras tanto (6 des.) 2 = 36 centenas, que es menor que 4082. Y como estamos buscando la raíz entera más grande, no debemos tomar 5 des por raíz, cuando incluso 6 decenas no son muchas.

Entonces, hemos encontrado el número de decenas de la raíz, es decir, 6. Escribimos este número a la derecha del signo =, recordando que significa decenas de la raíz. Elevándolo al cuadrado, obtenemos 36 centenas. Restamos estas 36 centenas de las 40 centenas del número radical y restamos los dos dígitos restantes de este número. El resto 482 debe contener 2 (6 dec.) (unidades) + (unidades)2. El producto (6 dec.) (unidades) debe ser decenas; por tanto, el producto doble de decenas por unidades hay que buscarlo en las decenas del resto, es decir, en 48 (obtenemos su número separando una cifra a la derecha en el resto de 48"2). Las decenas duplicadas de la raíz formamos 12. Esto significa que si multiplicamos 12 por las unidades de la raíz (que aún se desconocen), entonces deberíamos obtener el número contenido en 48. Por lo tanto, dividimos 48 entre 12.

Para ello, trazamos una línea vertical a la izquierda del resto y detrás de ella (alejándonos de la línea un lugar hacia la izquierda para el propósito que ahora aparecerá) escribimos el doble del primer dígito de la raíz, es decir, 12, y dividimos 48 por él. En el cociente obtenemos 4.

Sin embargo, no podemos garantizar de antemano que el número 4 pueda tomarse como unidad de la raíz, ya que ahora hemos dividido por 12 el número total de decenas del resto, mientras que algunas de ellas pueden no pertenecer al doble producto de decenas por unidades, pero son parte del cuadrado de unidades. Por tanto, el número 4 puede ser grande. Necesitamos probarlo. Obviamente es adecuado si la suma 2 (6 dec.) 4 + 4 2 no es mayor que el resto 482.

Como resultado, obtenemos la suma de ambos a la vez. El producto resultante resultó ser 496, que es mayor que el resto 482; Eso significa que el número 4 es grande. Luego probemos el siguiente número más pequeño, 3, de la misma manera.

Ejemplos.

En el ejemplo 4, al dividir las 47 decenas del resto entre 4, obtenemos 11 como cociente pero como el número de unidades de la raíz no puede ser un número de dos cifras 11 o 10, debemos probar directamente el número 9.

En el ejemplo 5, después de restar 8 de la primera cara del cuadrado, el resto resulta ser 0 y la siguiente cara también consta de ceros. Esto muestra que la raíz deseada consta de solo 8 decenas y, por lo tanto, se debe colocar un cero en lugar de las unidades.

172. Extrayendo la raíz de un número mayor que 10000. Digamos que necesitamos encontrar √35782. Como el número radical supera 10.000, la raíz del mismo es mayor que √10000 = 100 y, por tanto, consta de 3 cifras o más. No importa de cuántos dígitos esté formado, siempre podemos considerarlo como la suma de sólo decenas y unidades. Si, por ejemplo, la raíz resulta ser 482, entonces podemos contarla como la cantidad de 48 des. + 2 unidades Entonces el cuadrado de la raíz estará formado por 3 términos:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (unidad) + (unidad) 2 .

Ahora podemos razonar exactamente de la misma manera que cuando encontramos √4082 (en el párrafo anterior). La única diferencia será que para encontrar las decenas de la raíz de 4082 tuvimos que extraer la raíz de 40, y esto se podría hacer usando la tabla de multiplicar; ahora bien, para obtener decenas√35782, tendremos que sacar la raíz de 357, lo cual no se puede hacer usando la tabla de multiplicar. Pero podemos encontrar √357 usando la técnica que se describió en el párrafo anterior, ya que el número 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

A continuación procedemos como lo hicimos al encontrar √4082, es decir: a la izquierda del resto 3382 trazamos una línea vertical y detrás de ella escribimos (alejándonos un espacio de la línea) el doble de decenas de la raíz encontrada, es decir, 36 (el doble de 18). En el resto, separamos un dígito de la derecha y dividimos el número de decenas del resto, es decir, 338, entre 36. En el cociente obtenemos 9. Probamos este número, para lo cual lo asignamos al 36 de la derecha y multiplica por ello. El producto resultó ser 3321, que es menor que el resto. Esto significa que el número 9 es adecuado, lo escribimos en la raíz.

En general, para extraer Raíz cuadrada de cualquier número entero, primero debes extraer la raíz de sus centenas; si este número es mayor que 100, entonces tendrás que buscar la raíz del número de centenas de estas centenas, es decir, de las decenas de miles de este número; si este número es mayor que 100, tendrás que sacar la raíz del número de centenas de decenas de miles, es decir, de los millones de un número determinado, etc.

Ejemplos.

EN último ejemplo, habiendo encontrado el primer dígito y restando su cuadrado, obtenemos el resto 0. Restamos los siguientes 2 dígitos 51. Separando las decenas, obtenemos 5 des, mientras que el doble dígito encontrado de la raíz es 6. Esto significa que de dividir 5 entre 6 obtenemos 0. Ponemos en la raíz 0 que está en segundo lugar y sumamos los siguientes 2 dígitos al resto; obtenemos 5110. Luego continuamos como de costumbre.

En este ejemplo, la raíz requerida consta solo de 9 centenas y, por lo tanto, se deben colocar ceros en los lugares de las decenas y en los lugares de las unidades.

Regla. Para extraer la raíz cuadrada de un número entero dado, lo dividen, de derecha a izquierda, por el borde, con 2 dígitos en cada uno, excepto el último, que puede tener un dígito.
Para encontrar el primer dígito de la raíz, toma la raíz cuadrada de la primera cara.
Para encontrar el segundo dígito, se resta el cuadrado del primer dígito de la raíz de la primera cara, la segunda cara se lleva al resto y el número de decenas del número resultante se divide por el doble del primer dígito de la raíz. ; se prueba el número entero resultante.
Esta prueba se realiza así: detrás de la línea vertical (a la izquierda del resto) se escribe dos veces el número de la raíz previamente encontrado y a él, en el lado derecho, se le suma el dígito probado, el número resultante, después de esta suma. , se multiplica por el dígito probado. Si después de la multiplicación el resultado es un número mayor que el resto, entonces el dígito probado no es adecuado y se debe probar el siguiente dígito más pequeño.
Los siguientes dígitos de la raíz se encuentran utilizando la misma técnica.
Si, después de quitar una cara, el número de decenas del número resultante resulta ser menor que el divisor, es decir, menos del doble de la parte encontrada de la raíz, entonces ponen 0 en la raíz, quitan la siguiente cara y continuar la acción más allá.

173. Número de dígitos de la raíz. De la consideración del proceso de encontrar la raíz, se deduce que hay tantos dígitos en la raíz como caras de 2 dígitos cada una en el número radical (la cara izquierda puede tener un dígito).

Capitulo dos.

Extrayendo confidentes raíces cuadradas de números enteros y fraccionarios .

Para la extracción de la raíz cuadrada de polinomios, véanse los añadidos a la 2.ª parte de los artículos 399 y siguientes.

174. Signos de una raíz cuadrada exacta. La raíz cuadrada exacta de un número dado es un número cuyo cuadrado es exactamente igual al número dado. Indiquemos algunos signos mediante los cuales se puede juzgar si se puede extraer una raíz exacta de un número dado o no:

A) Si no se extrae la raíz entera exacta de un número entero dado (el resto se obtiene al extraer), entonces la raíz exacta fraccionaria no se puede encontrar a partir de dicho número, ya que cualquier fracción que no sea igual a un número entero, cuando se multiplica por sí misma , también produce una fracción en el producto, no un número entero.

b) Desde la raíz de la fracción igual a la raíz del numerador dividido por la raíz del denominador, entonces la raíz exacta de una fracción irreducible no se puede encontrar si no se puede extraer del numerador o del denominador. Por ejemplo, la raíz exacta no se puede extraer de las fracciones 4/5, 8/9 y 11/15, ya que en la primera fracción no se puede extraer del denominador, en la segunda - del numerador, y en la tercera - ni del numerador ni del denominador.

De los números de los que no se puede extraer la raíz exacta, sólo se pueden extraer raíces aproximadas.

175. Raíz aproximada con precisión de 1. Una raíz cuadrada aproximada, con una precisión de 1, de un número dado (entero o fraccionario, no importa) es un número entero que satisface los dos requisitos siguientes:

1) el cuadrado de este número no es mayor que el número dado; 2) pero el cuadrado de este número aumentado en 1 es mayor que este número. En otras palabras, una raíz cuadrada aproximada con precisión de 1 es la raíz cuadrada entera más grande de un número dado, es decir, la raíz que aprendimos a encontrar en el capítulo anterior. Esta raíz se llama aproximada con una precisión de 1, porque para obtener una raíz exacta, tendríamos que sumarle alguna fracción menor que 1 a esta raíz aproximada, por lo que si en lugar de la raíz exacta desconocida tomamos esta aproximada, haremos un error menor que 1.

Regla. Para extraer una raíz cuadrada aproximada con una precisión de 1, debe extraer la raíz entera más grande de la parte entera del número dado.

El número encontrado por esta regla es una raíz aproximada con desventaja, ya que carece de la raíz exacta de una determinada fracción (menor que 1). Si aumentamos esta raíz en 1, obtenemos otro número en el que hay algo de exceso sobre la raíz exacta, y este exceso es menor que 1. Esta raíz aumentada en 1 también se puede llamar raíz aproximada con una precisión de 1, pero con un exceso. (Los nombres: “con deficiencia” o “con exceso” en algunos libros de matemáticas son sustituidos por otros equivalentes: “por deficiencia” o “por exceso”).

176. Raíz aproximada con una precisión de 1/10. Digamos que necesitamos encontrar √2.35104 con una precisión de 1/10. Esto significa que necesitas encontrar una fracción decimal que esté formada por unidades enteras y décimas y que satisfaga los dos requisitos siguientes:

1) el cuadrado de esta fracción no supera 2,35104, pero 2) si lo aumentamos en 1/10, entonces el cuadrado de esta fracción aumentada supera 2,35104.

Para encontrar dicha fracción, primero encontramos una raíz aproximada con precisión de 1, es decir, extraemos la raíz solo del número entero 2. Obtenemos 1 (y el resto es 1). Escribimos el número 1 en la raíz y le ponemos una coma después. Ahora buscaremos el número de décimas. Para ello, bajamos al resto 1 los dígitos 35 a la derecha de la coma decimal, y continuamos la extracción como si estuviéramos extrayendo la raíz del número entero 235. Escribimos el número resultante 5 en la raíz en el lugar de décimas. No necesitamos los dígitos restantes del número radical (104). A continuación se puede ver que el número resultante 1,5 será en realidad una raíz aproximada con una precisión de 1/10. Si tuviéramos que encontrar la raíz entera más grande de 235 con una precisión de 1, obtendríamos 15. Entonces:

15 2 < 235, pero 16 2 >235.

Dividiendo todos estos números por 100, obtenemos:

Esto significa que el número 1,5 es la fracción decimal a la que llamamos raíz aproximada con una precisión de 1/10.

Usando esta técnica, también podemos encontrar las siguientes raíces aproximadas con una precisión de 0,1:

177. Raíz cuadrada aproximada entre 1/100 y 1/1000, etc.

Supongamos que necesitamos encontrar un √248 aproximado con una precisión de 1/100. Esto significa: encontrar una fracción decimal que conste de partes enteras, décimas y centésimas y que satisfaga dos requisitos:

1) su cuadrado no excede 248, pero 2) si aumentamos esta fracción en 1/100, entonces el cuadrado de esta fracción aumentada excede 248.

Encontraremos dicha fracción en la siguiente secuencia: primero encontraremos el número entero, luego las décimas y luego las centésimas. La raíz de un número entero es 15 números enteros. Para obtener la cifra de las décimas, como hemos visto, es necesario sumar al resto 23 2 dígitos más a la derecha de la coma decimal. En nuestro ejemplo, estos números no están presentes en absoluto; ponemos ceros en su lugar. Sumándolos al resto y continuando como si estuviéramos encontrando la raíz del número entero 24.800, obtendremos la cifra de las décimas 7. Falta encontrar la cifra de las centésimas. Para ello, sumamos 2 ceros más al resto 151 y continuamos con la extracción, como si estuviéramos encontrando la raíz del número entero 2.480.000. Obtenemos 15,74. A continuación se puede ver que este número es realmente una raíz aproximada de 248 con una precisión de 1/100. Si tuviéramos que encontrar la raíz cuadrada entera más grande del número entero 2.480.000, obtendríamos 1574; Medio:

1574 2 < 2.480.000, pero 1575 2 > 2.480.000.

Dividiendo todos los números por 10.000 (= 100 2), obtenemos:

Esto significa que 15,74 es esa fracción decimal que llamamos raíz aproximada con una precisión de 1/100 de 248.

Aplicando esta técnica para encontrar una raíz aproximada con una precisión de 1/1000 a 1/10000, etc., encontramos lo siguiente.

Regla. Para extraer de esto numeros enteros o de una fracción decimal dada una raíz aproximada con una precisión de 1/10 a 1/100 a 1/100, etc., primero encuentre una raíz aproximada con una precisión de 1, extrayendo la raíz del número entero (si no es allí, escribe sobre la raíz 0 entera).

Luego encuentran el número de décimos. Para hacer esto, agregue al resto los 2 dígitos del número radical a la derecha del punto decimal (si no están, agregue dos ceros al resto) y continúe con la extracción como se hace al extraer la raíz de un número entero. . El número resultante se escribe en la raíz en lugar de las décimas.

Luego encuentra el número de centésimas. Para ello se suman al resto dos números a la derecha de los que se acaban de eliminar, etc.

Así, al extraer la raíz de un número entero con fracción decimal, es necesario dividir en caras de 2 dígitos cada una, comenzando desde la coma decimal, tanto a la izquierda (en la parte entera del número) como a la derecha (en la parte fraccionaria).

Ejemplos.

1) Encuentra hasta 1/100 raíces: a) √2; b) √0,3;

En el último ejemplo, convertimos la fracción 3/7 a decimal calculando 8 decimales para formar las 4 caras necesarias para encontrar los 4 decimales de la raíz.

178. Descripción de la tabla de raíces cuadradas. Al final de este libro hay una tabla de raíces cuadradas calculadas con cuatro dígitos. Con esta tabla, puedes encontrar rápidamente la raíz cuadrada de un número entero (o fracción decimal) que se expresa con no más de cuatro dígitos. Antes de explicar cómo está estructurada esta tabla, observamos que siempre podemos encontrar el primer dígito significativo de la raíz deseada sin ayuda de tablas con solo mirar el número radical; También podemos determinar fácilmente a qué decimal se refiere el primer dígito de la raíz y, por tanto, en qué parte de la raíz, cuando encontremos sus dígitos, debemos poner una coma. Aquí hay unos ejemplos:

1) √5"27,3 . El primer dígito será 2, ya que el lado izquierdo del número radical es 5; y la raíz de 5 es igual a 2. Además, como en la parte entera del radical solo hay 2 caras, entonces en la parte entera de la raíz deseada debe haber 2 dígitos y, por lo tanto, su primer dígito 2 debe medias decenas.

2) √9.041. Evidentemente, en esta raíz el primer dígito serán 3 unidades primas.

3) √0.00"83"4. Primero figura significativa es 9, ya que la cara de la cual habría que sacar la raíz para obtener el primer dígito significativo es 83, y la raíz de 83 es ​​9. Dado que el número requerido no tendrá números enteros ni décimos, el primer dígito 9 debe significa centésimas.

4) √0,73"85. La primera cifra significativa es 8 décimas.

5) √0.00"00"35"7. La primera cifra significativa será 5 milésimas.

Hagamos una observación más. Supongamos que necesitamos extraer la raíz de un número que, tras descartar la palabra ocupada en él, queda representado por una serie de números como esta: 5681. Esta raíz puede ser una de las siguientes:

Si tomamos las raíces que subrayamos con una línea, entonces todas estarán expresadas por la misma serie de números, precisamente aquellos números que se obtienen al extraer la raíz de 5681 (estos serán los números 7, 5, 3, 7 ). La razón de esto es que las caras en las que se tiene que dividir el número radical al encontrar los dígitos de la raíz serán las mismas en todos estos ejemplos, por lo tanto los dígitos para cada raíz serán los mismos (solo la posición del decimal el punto será, por supuesto, diferente). De la misma forma, en todas las raíces subrayadas por nosotros con dos líneas, deberíamos obtener mismos números, precisamente aquellos por los que se expresa √568.1 (estos números serán 2, 3, 8, 3), y por el mismo motivo. Así, los dígitos de las raíces de los números representados (eliminando la coma) por la misma fila de números 5681 serán de dos (y sólo dos) tipos: o esta es la fila 7, 5, 3, 7, o la fila 2, 3, 8, 3. Lo mismo, obviamente, puede decirse de cualquier otra serie de números. Por tanto, como veremos ahora, en la tabla, cada fila de dígitos del número radical corresponde a 2 filas de dígitos de las raíces.

Ahora podemos explicar la estructura de la tabla y cómo usarla. Para mayor claridad de la explicación, hemos mostrado aquí el comienzo de la primera página de la tabla.

Esta tabla se encuentra en varias páginas. Sobre cada uno de ellos, en la primera columna de la izquierda, se colocan los números 10, 11, 12... (hasta el 99). Estos números expresan los 2 primeros dígitos del número del que se busca la raíz cuadrada. En la línea horizontal superior (así como en la inferior) están los números: 0, 1, 2, 3... 9, que representan el tercer dígito de este número, y luego más a la derecha están los números 1, 2, 3. . . 9, que representa el cuarto dígito de este número. Todas las demás líneas horizontales contienen 2 números de cuatro dígitos que expresan las raíces cuadradas de los números correspondientes.

Supongamos que necesitas encontrar la raíz cuadrada de algún número, entero o expresado. decimal. En primer lugar encontramos, sin ayuda de tablas, la primera cifra de la raíz y su cifra. Luego descartaremos la coma en este número, si la hay. Supongamos primero que después de descartar la coma, solo quedarán, por ejemplo, 3 dígitos. 114. Encontramos en las tablas en la columna más a la izquierda los primeros 2 dígitos, es decir, 11, y nos movemos desde ellos hacia la derecha a lo largo de la línea horizontal hasta llegar a la columna vertical, en la parte superior (e inferior) de la cual está el tercer dígito. del número , es decir 4. En este lugar encontramos dos números de cuatro dígitos: 1068 y 3376. Cuál de estos dos números se debe tomar y dónde colocar la coma en él, esto lo determina el primer dígito de la raíz y su dígito, que encontramos anteriormente. Entonces, si necesitamos encontrar √0.11"4, entonces el primer dígito de la raíz es 3 décimos y, por lo tanto, debemos tomar 0.3376 como raíz. Si necesitáramos encontrar √1.14, entonces el primer dígito de la raíz sería 1, y entonces tomaríamos 1.068.

De esta manera podemos encontrar fácilmente:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, etc.

Supongamos ahora que necesitamos encontrar la raíz de un número expresado (eliminando el punto decimal) en 4 dígitos, por ejemplo, √7"45.6. Observando que el primer dígito de la raíz es 2 decenas, encontramos para el el número 745, como ya se ha explicado, los dígitos 2729 (solo notamos este número con el dedo, pero no lo anotamos). Luego nos movemos más hacia la derecha desde este número hasta estar en el lado derecho de la tabla (detrás). la última línea en negrita) nos encontramos con la columna vertical que está marcada en la parte superior (e inferior) 4. el décimo dígito de este número, es decir, el número 6, y encontramos el número 1 allí. Esta será una enmienda que deberá aplicarse. (en la mente) al número encontrado anteriormente 2729; obtenemos 2730. Anotamos este número y le ponemos una coma en el lugar correspondiente: 27,30.

De esta forma encontramos, por ejemplo:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107, etc.

Si el número radical se expresa con solo uno o dos dígitos, entonces podemos suponer que estos dígitos van seguidos de uno o dos ceros y luego proceder como se explica para un número de tres dígitos. Por ejemplo, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, etc.

Finalmente, si el número radical se expresa con más de 4 dígitos, entonces tomaremos solo los primeros 4 de ellos, y descartaremos el resto, y para reducir el error, si el primero de los dígitos descartados es 5 o más de 5, luego aumentaremos en l el cuarto de los dígitos retenidos. Entonces:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; etcétera.

Comentario. Las tablas indican la raíz cuadrada aproximada, a veces con deficiencia, a veces con exceso, es decir, aquella de estas raíces aproximadas que más se acerca a la raíz exacta.

179. Extracción de raíces cuadradas de fracciones ordinarias. La raíz cuadrada exacta de una fracción irreducible sólo se puede extraer cuando ambos términos de la fracción son cuadrados exactos. En este caso, basta con extraer la raíz del numerador y del denominador por separado, por ejemplo:

La forma más sencilla de encontrar la raíz cuadrada aproximada de una fracción ordinaria con cierta precisión decimal es convertir primero la fracción ordinaria a decimal, calculando en esta fracción el número de decimales después de la coma que sería el doble mas numero decimales en la raíz deseada.

Sin embargo, puedes hacerlo de otra manera. Expliquemos esto en siguiente ejemplo:

Encuentra aproximado √ 5 / 24

Hagamos del denominador un cuadrado exacto. Para ello bastaría con multiplicar ambos términos de la fracción por el denominador 24; pero en este ejemplo puedes hacerlo de manera diferente. Descompongamos 24 en factores primos: 24 = 2 2 2 3. De esta descomposición se desprende claramente que si se multiplica 24 por 2 y otro por 3, entonces en el producto cada factor simple se repetirá un número par de veces y, por tanto, , el denominador pasará a ser un cuadrado:

Queda por calcular √30 con cierta precisión y dividir el resultado entre 12. Hay que tener en cuenta que dividir entre 12 también reducirá la fracción que indica el grado de precisión. Entonces, si encontramos √30 con una precisión de 1/10 y dividimos el resultado por 12, obtendremos una raíz aproximada de la fracción 5/24 con una precisión de 1/120 (es decir, 54/120 y 55/120).

Capítulo tres.

Gráfica de una funciónx = √y .

180. Función inversa. Sea alguna ecuación que determine en como una función de X , por ejemplo, así: y = x 2 . Podemos decir que determina no sólo en como una función de X , pero también, a la inversa, determina X como una función de en , aunque de forma implícita. Para hacer explícita esta función, necesitamos resolver esta ecuación para X , tomando en detrás numero conocido; Entonces, de la ecuación que tomamos encontramos: y = x 2 .

La expresión algebraica obtenida para x después de resolver la ecuación que define y en función de x se llama función inversa de la que define y.

Entonces la función x = √y función inversa y = x 2 . Si, como es habitual, denotamos la variable independiente X y el dependiente en , entonces la función inversa obtenida ahora se puede expresar de la siguiente manera: y = √x . Por lo tanto, para obtener una función inversa a una dada (directa), es necesario derivar de la ecuación que define esta función dada X dependiendo de y y en la expresión resultante reemplazar y en X , A X en y .

181. Gráfica de una función y = √x . Esta función no es posible con un valor negativo. X , pero se puede calcular (con cierta precisión) para cualquier valor positivo X , y por cada uno de esos valores la función recibe dos diferentes significados con el mismo valor absoluto, pero con signos opuestos. Si estas familiarizado √ Si denotamos solo el valor aritmético de la raíz cuadrada, entonces estos dos valores de la función se pueden expresar de la siguiente manera: y = ± √x Para trazar una gráfica de esta función, primero debes compilar una tabla de sus valores. La forma más sencilla de crear esta tabla es a partir de la tabla de valores de funciones directas:

y = x 2 .

X

y

si los valores en tomar como valores X , y viceversa:

y = ± √x

Al trazar todos estos valores en el dibujo, obtenemos el siguiente gráfico.

En el mismo dibujo representamos (con una línea discontinua) la gráfica de la función directa y = x 2 . Comparemos estos dos gráficos entre sí.

182. La relación entre las gráficas de funciones directas e inversas. Para crear una tabla de valores función inversa y = ± √x tomamos por X esos números que están en la tabla de la función directa y = x 2 sirvieron como valores para en , y para en tomó esos números; cuales en esta tabla eran los valores para X . De esto se deduce que ambas gráficas son iguales, solo que la gráfica de la función directa está ubicada así con respecto al eje. en - cómo se ubica la gráfica de la función inversa con respecto al eje X - ov. Como resultado, si doblamos el dibujo alrededor de una línea recta. OA bisectar un ángulo recto xoy , de modo que la parte del dibujo que contiene el semieje UNED , cayó sobre la parte que contiene el semieje Oh , Eso UNED compatible con Oh , todas las divisiones UNED coincidirá con las divisiones Oh y puntos de parábola y = x 2 se alineará con los puntos correspondientes en el gráfico y = ± √x . Por ejemplo, puntos METRO Y norte , cuya ordenada 4 , y las abscisas 2 Y - 2 , coincidirá con los puntos METRO" Y NORTE" , para lo cual la abscisa 4 , y las ordenadas 2 Y - 2 . Si estos puntos coinciden, significa que las rectas milímetro" Y NN" perpendicular a OA y divide esta línea recta por la mitad. Lo mismo puede decirse de todos los demás puntos correspondientes en ambos gráficos.

Por lo tanto, la gráfica de la función inversa debe ser la misma que la gráfica de la función directa, pero estas gráficas están ubicadas de manera diferente, es decir, simétricamente entre sí con respecto a la bisectriz del ángulo. xoy . Podemos decir que la gráfica de la función inversa es un reflejo (como en un espejo) de la gráfica de la función directa con respecto a la bisectriz del ángulo. xoy .

¿Qué es una raíz cuadrada?

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Este concepto es muy simple. Natural, diría yo. Los matemáticos intentan encontrar una reacción para cada acción. Hay suma, también hay resta. Hay multiplicación, también hay división. Hay cuadratura... Entonces también hay sacando la raíz cuadrada! Eso es todo. Esta acción ( raíz cuadrada) en matemáticas se indica con este icono:

El icono en sí se llama una hermosa palabra "radical".

¿Cómo extraer la raíz? es mejor mirar ejemplos.

¿Cuál es la raíz cuadrada de 9? ¿Qué número al cuadrado nos dará 9? ¡3 al cuadrado nos da 9! Aquellos:

¿Pero cuál es la raíz cuadrada de cero? ¡Ningún problema! ¿Qué número al cuadrado forma el cero? ¡Sí, da cero! Medio:

Entiendo, ¿Qué es la raíz cuadrada? Entonces consideramos ejemplos:

Respuestas (en desorden): 6; 1; 4; 9; 5.

¿Decidido? De verdad, ¿cuánto más fácil es eso?

Pero… ¿Qué hace una persona cuando ve alguna tarea con raíces?

Una persona comienza a sentirse triste... No cree en la sencillez y ligereza de sus raíces. Aunque parece saber ¿Qué es la raíz cuadrada?...

Esto se debe a que la persona ignoró varios puntos importantes al estudiar las raíces. Entonces estas modas se vengan cruelmente de las pruebas y los exámenes...

Punto uno. ¡Necesitas reconocer las raíces de vista!

¿Cuál es la raíz cuadrada de 49? ¿Siete? ¡Bien! ¿Cómo supiste que eran las siete? ¿Al cuadrado siete y obtuvo 49? ¡Bien! Tenga en cuenta que extraer la raíz de 49 tuvimos que hacer la operación inversa: ¡cuadrado 7! Y asegúrate de que no nos perdamos. O podrían haberse perdido...

esta es la dificultad extracción de raíces. Cuadrado cualquier número sin problemas especiales. Multiplica un número por sí mismo con una columna, eso es todo. Pero para extracción de raíces No existe una tecnología tan sencilla y a prueba de fallos. Tenemos que levantar responde y comprueba si es correcto elevándolo al cuadrado.

Este es complicado proceso creativo- elegir una respuesta se simplifica enormemente si recordar cuadrados de números populares. Como una tabla de multiplicar. Si, digamos, necesitas multiplicar 4 por 6, no sumas cuatro 6 veces, ¿verdad? Inmediatamente surge la respuesta 24, aunque no todo el mundo la entiende, sí...

Para trabajar libremente y con éxito con las raíces, basta con conocer los cuadrados de los números del 1 al 20. Además allá Y atrás. Aquellos. Deberías poder recitar fácilmente, digamos, 11 al cuadrado y la raíz cuadrada de 121. Para lograr esta memorización, hay dos maneras. El primero es aprender la tabla de cuadrados. Esto será de gran ayuda para resolver ejemplos. El segundo es resolver más ejemplos. Esto te ayudará mucho a recordar la tabla de cuadrados.

¡Y nada de calculadoras! Sólo con fines de prueba. De lo contrario, ralentizarás sin piedad durante el examen...

Entonces, ¿Qué es la raíz cuadrada? Y cómo extraer raíces- Creo que está claro. Ahora descubramos de QUÉ podemos extraerlos.

Punto dos. Root, ¡no te conozco!

¿De qué números puedes sacar raíces cuadradas? Sí, casi cualquiera de ellos. Es más fácil entender de qué viene. esta prohibido extraerlos.

Intentemos calcular esta raíz:

Para hacer esto, debemos elegir un número que al cuadrado nos dará -4. Seleccionamos.

¿Qué, no encaja? 2 2 da +4. (-2) ¡2 da de nuevo +4! Eso es todo... ¡No hay números que al elevarlos al cuadrado nos den un número negativo! Aunque conozco estos números. Pero no te lo diré). Ve a la universidad y lo descubrirás por ti mismo.

Lo mismo sucederá con cualquier número negativo. De ahí la conclusión:

Una expresión en la que hay un número negativo debajo del signo de la raíz cuadrada: no tiene sentido! Esta es una operación prohibida. Está tan prohibido como dividir por cero. ¡Recuerde este hecho firmemente! O en otras palabras:

¡No se pueden extraer raíces cuadradas de números negativos!

Pero de todos los demás, es posible. Por ejemplo, es muy posible calcular

A primera vista esto es muy difícil. Seleccionar fracciones y elevarlas al cuadrado... No te preocupes. Cuando comprendamos las propiedades de las raíces, estos ejemplos se reducirán a la misma tabla de cuadrados. ¡La vida será más fácil!

Bien, fracciones. Pero todavía nos encontramos con expresiones como:

Está bien. Todos iguales. La raíz cuadrada de dos es el número que elevado al cuadrado nos da dos. Sólo que este número es completamente impar... Aquí está:

Lo interesante es que esta fracción nunca termina... Estos números se llaman irracionales. En raíces cuadradas esto es lo más común. Por cierto, es por eso que las expresiones con raíces se llaman irracional. Está claro que escribir una fracción tan infinita todo el tiempo es un inconveniente. Por eso, en lugar de una fracción infinita, la dejan así:

Si al resolver un ejemplo terminas con algo que no se puede extraer, como:

entonces lo dejamos así. Esta será la respuesta.

Debes entender claramente lo que significan los íconos.

Por supuesto, si se toma la raíz del número liso, tienes que hacer esto. La respuesta a la tarea está en la forma, por ejemplo.

Una respuesta bastante completa.

Y, por supuesto, es necesario conocer los valores aproximados de memoria:

Este conocimiento ayuda enormemente a evaluar la situación en tareas complejas.

Punto tres. El más astuto.

La principal confusión al trabajar con raíces se debe a este punto. Es él quien da incertidumbre a propia fuerza... ¡Abordemos este problema como es debido!

Primero, volvamos a calcular la raíz cuadrada de cuatro de ellos. ¿Ya te he molestado con esta raíz?) ¡No importa, ahora será interesante!

¿Qué número mide 4 al cuadrado? Bueno, dos, dos - escucho respuestas insatisfechas...

Bien. Dos. Pero también menos dos dará 4 al cuadrado... Mientras tanto, la respuesta

correcto y la respuesta

grave error. Como esto.

Entonces, ¿cuál es el trato?

De hecho, (-2) 2 = 4. Y bajo la definición de raíz cuadrada de cuatro menos dos bastante adecuado... Esta es también la raíz cuadrada de cuatro.

¡Pero! EN curso escolar Los matemáticos suelen considerar raíces cuadradas. ¡Solo números no negativos! Es decir, cero y todos son positivos. Incluso se inventó un término especial: del numero A- Este no negativo número cuyo cuadrado es A. Los resultados negativos al extraer una raíz cuadrada aritmética simplemente se descartan. En la escuela todo son raíces cuadradas. aritmética. Aunque esto no se menciona particularmente.

Vale, eso es comprensible. Es incluso mejor no preocuparse por los resultados negativos... Esto todavía no es confusión.

La confusión comienza al resolver ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, necesitas resolver la siguiente ecuación.

La ecuación es simple, escribimos la respuesta (como se enseña):

Esta respuesta (absolutamente correcta, por cierto) es solo una versión abreviada. dos respuestas:

¡Para para! Justo arriba escribí que la raíz cuadrada es un número. Siempre no negativo! Y aquí está una de las respuestas: negativo! Trastorno. Este es el primer (pero no el último) problema que provoca desconfianza en las raíces... Resolvamos este problema. Anotemos las respuestas (¡sólo para entenderlas!) de esta manera:

Los paréntesis no cambian la esencia de la respuesta. Solo lo separé entre corchetes señales de raíz. ¡Ahora puedes ver claramente que la raíz misma (entre paréntesis) sigue siendo un número no negativo! Y las señales son resultado de resolver la ecuación. Después de todo, al resolver cualquier ecuación debemos escribir Todo X que, cuando se sustituyen en la ecuación original, darán el resultado correcto. La raíz de cinco (¡positiva!) con un más y un menos encaja en nuestra ecuación.

Como esto. Si usted solo saca la raíz cuadrada de cualquier cosa, tu Siempre usted obtiene uno no negativo resultado. Por ejemplo:

Porque - raíz cuadrada aritmética.

Pero si decides algo ecuación cuadrática, tipo:

Eso Siempre resulta dos respuesta (con más y menos):

Porque esta es la solución de la ecuación.

Esperanza, ¿Qué es la raíz cuadrada? Tienes tus puntos claros. Ahora queda por saber qué se puede hacer con las raíces, cuáles son sus propiedades. ¿Y cuáles son los puntos y trampas... lo siento, piedras!)

Todo esto está en las siguientes lecciones.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Fórmulas raíz. Propiedades de las raíces cuadradas.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

En la lección anterior descubrimos qué es una raíz cuadrada. Es hora de descubrir cuáles existen. fórmulas para raíces¿cuáles son? propiedades de las raíces, y qué se puede hacer con todo esto.

Fórmulas de raíces, propiedades de raíces y reglas para trabajar con raíces.- esto es esencialmente lo mismo. Sorprendentemente existen pocas fórmulas para raíces cuadradas. ¡Lo cual ciertamente me hace feliz! O mejor dicho, puedes escribir muchas fórmulas diferentes, pero para un trabajo práctico y seguro con raíces, solo tres son suficientes. Todo lo demás surge de estos tres. Aunque mucha gente se confunde en las tres fórmulas raíz, sí…

Empecemos por el más sencillo. Aqui esta ella:

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Extraer la raíz es la operación inversa a elevar una potencia. Es decir, sacando la raíz del número X, obtenemos un número que al cuadrado dará el mismo número X.

Extraer la raíz es una operación bastante sencilla. Una mesa de cuadrados puede facilitar el trabajo de extracción. Porque es imposible recordar de memoria todos los cuadrados y raíces, pero los números pueden ser grandes.

Extrayendo la raíz de un número

Sacar la raíz cuadrada de un número es fácil. Además, esto no se puede hacer de forma inmediata, sino gradualmente. Por ejemplo, tomemos la expresión √256. Inicialmente, a una persona ignorante le resulta difícil dar una respuesta de inmediato. Luego lo haremos paso a paso. Primero, dividimos solo por el número 4, del cual tomamos el cuadrado seleccionado como raíz.

Representemos: √(64 4), entonces será equivalente a 2√64. Y como sabes, según la tabla de multiplicar 64 = 8 8. La respuesta será 2*8=16.

Apúntate al curso "Acelera la aritmética mental, NO la aritmética mental" para aprender a sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar al cuadrado números e incluso extraer raíces de forma rápida y correcta. En 30 días, aprenderá a utilizar trucos sencillos para simplificar operaciones aritméticas. Cada lección contiene nuevas técnicas, ejemplos claros y tareas útiles.

Extrayendo una raíz compleja

La raíz cuadrada no se puede calcular a partir de números negativos, ¡porque cualquier número al cuadrado es un número positivo!

Un número complejo es el número i, cuyo cuadrado es igual a -1. Es decir, i2=-1.

En matemáticas, hay un número que se obtiene sacando la raíz del número -1.

Es decir, es posible calcular la raíz de un número negativo, pero esto ya se aplica a Matemáticas avanzadas, no la escuela.

Consideremos un ejemplo de tal extracción de raíz: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculadora de raíces en línea

Usando nuestra calculadora, puedes calcular la extracción de un número a partir de la raíz cuadrada:

Convertir expresiones que contienen una operación raíz

La esencia de transformar expresiones radicales es descomponer el número radical en otros más simples, de los cuales se puede extraer la raíz. Como 4, 9, 25 y así sucesivamente.

Pongamos un ejemplo, √625. Dividamos la expresión radical por el número 5. Obtenemos √(125 5), repita la operación √(25 25), pero sabemos que 25 es 52. Lo que significa que la respuesta será 5*5=25.

Pero hay números para los que no se puede calcular la raíz con este método y sólo necesitas saber la respuesta o tener a mano una tabla de cuadrados.

√289=√(17*17)=17

Línea de fondo

Hemos mirado sólo la punta del iceberg, para entender mejor las matemáticas - inscríbete en nuestro curso: Acelerar la aritmética mental - NO aritmética mental.

En el curso no solo aprenderás docenas de técnicas para multiplicar, sumar, multiplicar, dividir y calcular porcentajes de forma rápida y simplificada, sino que también las practicarás en tareas especiales y juegos educativos. La aritmética mental también requiere mucha atención y concentración, que se entrenan activamente a la hora de resolver problemas interesantes.

Veamos este algoritmo usando un ejemplo. Lo encontraremos

1er paso. Dividimos el número debajo de la raíz en caras de dos dígitos (de derecha a izquierda):

2do paso. Sacamos la raíz cuadrada de la primera cara, es decir, del número 65 obtenemos el número 8. Debajo de la primera cara escribimos el cuadrado del número 8 y restamos. Al resto le asignamos la segunda cara (59):

(el número 159 es el primer resto).

3er paso. Duplica la raíz encontrada y escribe el resultado a la izquierda:

4to paso. Separamos un dígito a la derecha del resto (159), y a la izquierda obtenemos el número de decenas (es igual a 15). Luego dividimos 15 por el doble del primer dígito de la raíz, es decir por 16, como 15 no es divisible por 16, el cociente resulta cero, que escribimos como segundo dígito de la raíz. Entonces, en el cociente obtuvimos el número 80, que duplicamos nuevamente y eliminamos la siguiente arista.

(el número 15.901 es el segundo resto).

5to paso. En el segundo resto separamos un dígito de la derecha y dividimos el número resultante 1590 entre 160. Escribimos el resultado (número 9) como el tercer dígito de la raíz y lo sumamos al número 160. Multiplicamos el número resultante 1609 por 9 y encuentre el siguiente resto (1420):

Posteriormente, las acciones se realizan en la secuencia especificada en el algoritmo (la raíz se puede extraer con el grado de precisión requerido).

Comentario. Si una expresión radical es una fracción decimal, entonces su parte completa se divide en aristas de dos dígitos de derecha a izquierda, la parte fraccionaria, dos dígitos de izquierda a derecha, y la raíz se extrae de acuerdo con el algoritmo especificado.

MATERIAL DIDÁCTICO

1. Saca la raíz cuadrada del número: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.