Sakņu īpašības, formulējumi, pierādījumi, piemēri. Nodarbība "daļdaļas kvadrātsakne" Produkta sakne ir vienāda ar reizinājumu

A kvadrātsakne ir skaitlis, kura kvadrāts ir a. Piemēram, skaitļi -5 un 5 ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tas ir, vienādojuma x^2=25 saknes ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tagad jums jāiemācās strādāt ar kvadrātsaknes darbība: izpētiet tās pamatīpašības.

Produkta kvadrātsakne

√(a*b)=√a*√b

Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar šo skaitļu kvadrātsakņu reizinājumu. Piemēram, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Ir svarīgi saprast, ka šī īpašība attiecas arī uz gadījumu, kad radikālā izteiksme ir trīs, četru utt. nenegatīvie reizinātāji.

Dažreiz ir cits šī īpašuma formulējums. Ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad spēkā ir šāda vienādība: √(a*b) =√a*√b. Starp tiem nav absolūti nekādas atšķirības, varat izmantot vai nu vienu, vai otru formulējumu (kuru ērtāk atcerēties).

Daļas kvadrātsakne

Ja a>=0 un b>0, tad ir patiesa šāda vienādība:

√(a/b)=√a/√b.

Piemēram, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Šim īpašumam ir arī cits formulējums, manuprāt, ērtāk atcerēties.
Koeficienta kvadrātsakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Ir vērts atzīmēt, ka šīs formulas darbojas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso. Tas ir, ja nepieciešams, mēs varam pārstāvēt sakņu produktu kā produkta sakni. Tas pats attiecas uz otro īpašumu.

Kā redzat, šie rekvizīti ir ļoti ērti, un es vēlētos, lai saskaitīšanai un atņemšanai būtu tādas pašas īpašības:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Bet diemžēl šādi īpašumi ir kvadrātveida nav sakņu, līdz ar to to nevar izdarīt aprēķinos..

Šajā sadaļā mēs aplūkosim aritmētiskās kvadrātsaknes.

Burtiskas radikālas izteiksmes gadījumā pieņemsim, ka burti, kas atrodas zem saknes zīmes, apzīmē nenegatīvus skaitļus.

1. Produkta sakne.

Apskatīsim šādu piemēru.

No otras puses, ņemiet vērā, ka skaitlis 2601 ir divu faktoru reizinājums, no kuriem var viegli iegūt sakni:

Ņemiet katra faktora kvadrātsakni un reiziniet šīs saknes:

Mēs saņēmām tādus pašus rezultātus, kad ņēmām sakni no produkta zem saknes, un kad mēs ņēmām sakni no katra faktora atsevišķi un reizinājām rezultātus.

Daudzos gadījumos otrs veids, kā atrast rezultātu, ir vieglāk, jo jums ir jāņem mazāko skaitļu sakne.

1. teorēma. Lai iegūtu reizinājuma kvadrātsakni, to var iegūt no katra faktora atsevišķi un reizināt rezultātus.

Mēs pierādīsim teorēmu trīs faktoriem, tas ir, pierādīsim vienādības derīgumu:

Mēs veiksim pierādīšanu ar tiešu pārbaudi, pamatojoties uz aritmētiskās saknes definīciju. Pieņemsim, ka mums ir jāpierāda vienlīdzība:

(A un B ir nenegatīvi skaitļi). Pēc kvadrātsaknes definīcijas tas nozīmē, ka

Tāpēc pietiek ar pierādāmās vienādības labās puses kvadrātu un pārliecināties, ka ir iegūta kreisās puses saknes izteiksme.

Piemērosim šo argumentāciju vienlīdzības pierādījumam (1). Kvadrātēsim labo pusi; bet reizinājums atrodas labajā pusē, un, lai reizinājumu kvadrātā, pietiek ar katru koeficientu kvadrātā un rezultātu reizināšanu (skat. § 40);

Izrādījās radikāla izteiksme, stāvot kreisajā pusē. Tādējādi vienlīdzība (1) ir patiesa.

Mēs esam pierādījuši teorēmu trīs faktoriem. Bet argumentācija paliks nemainīga, ja zem saknes ir 4 un tā tālāk faktori. Teorēma ir patiesa jebkuram skaitam faktoru.

Rezultāts ir viegli atrodams mutiski.

2. Daļas sakne.

Aprēķināt

Pārbaude.

Citā pusē,

Pierādīsim teorēmu.

2. teorēma. Lai iegūtu daļskaitļa sakni, sakni var izvilkt atsevišķi no skaitītāja un saucēja un pirmo rezultātu dalīt ar otro.

Vienlīdzības spēkā esamība ir jāpierāda:

Pierādīšanai izmantojam metodi, kurā tika pierādīta iepriekšējā teorēma.

Pieņemsim kvadrātā labo pusi. Būs:

Mēs saņēmām radikālo izteiksmi kreisajā pusē. Tādējādi vienlīdzība (2) ir patiesa.

Tātad mēs esam pierādījuši šādas identitātes:

un formulēja atbilstošos noteikumus kvadrātsaknes iegūšanai no reizinājuma un koeficienta. Dažkārt veicot transformācijas, ir jāpiemēro šīs identitātes, lasot tās "no labās uz kreiso".

Pārkārtojot kreiso un labo pusi, mēs pārrakstām pārbaudītās identitātes šādi:

Lai pavairotu saknes, varat pavairot radikālas izteiksmes un iegūt sakni no produkta.

Lai atdalītu saknes, varat sadalīt radikālas izteiksmes un iegūt sakni no koeficienta.

3. Pakāpes sakne.

Aprēķināt

Es vēlreiz paskatījos uz šķīvi... Un, iesim!

Sāksim ar vienkāršu:

Uzgaidi minūti. tas nozīmē, ka mēs to varam rakstīt šādi:

Sapratu? Lūk, nākamais jums:

Iegūto skaitļu saknes nav precīzi izvilktas? Neuztraucieties, šeit ir daži piemēri:

Bet ko darīt, ja ir nevis divi reizinātāji, bet vairāk? Tas pats! Saknes reizināšanas formula darbojas ar vairākiem faktoriem:

Tagad pilnīgi neatkarīgi:

Atbildes: Labi padarīts! Piekrītu, viss ir ļoti vienkārši, galvenais ir zināt reizināšanas tabulu!

Sakņu dalījums

Mēs izdomājām sakņu reizināšanu, tagad pāriesim pie dalīšanas īpašuma.

Atgādināšu, ka formula kopumā izskatās šādi:

Un tas nozīmē, ka koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Nu, apskatīsim piemērus:

Tā ir visa zinātne. Un šeit ir piemērs:

Viss nav tik gludi kā pirmajā piemērā, bet, kā redzat, nav nekā sarežģīta.

Ko darīt, ja izteiksme izskatās šādi:

Jums vienkārši jāpiemēro formula apgrieztā veidā:

Un šeit ir piemērs:

Varat arī redzēt šo izteiksmi:

Viss ir vienāds, tikai šeit jums jāatceras, kā tulkot daļskaitļus (ja neatceraties, apskatiet tēmu un atgriezieties!). Atcerējās? Tagad mēs izlemjam!

Esmu pārliecināts, ka jūs tikāt galā ar visu, visu, tagad mēģināsim iedvest saknes kādā pakāpē.

Paaugstināšana

Kas notiek, ja kvadrātsakne ir kvadrātā? Tas ir vienkārši, atcerieties skaitļa kvadrātsaknes nozīmi - tas ir skaitlis, kura kvadrātsakne ir vienāda ar.

Tātad, ja mēs kvadrātā ņemam skaitli, kura kvadrātsakne ir vienāda, tad ko mēs iegūstam?

Nu protams,!

Apskatīsim piemērus:

Viss ir vienkārši, vai ne? Un ja sakne ir citā pakāpē? Ir labi!

Pieturieties pie tās pašas loģikas un atcerieties īpašības un iespējamās darbības ar grādiem.

Izlasiet teoriju par tēmu "", un viss jums kļūs ārkārtīgi skaidrs.

Piemēram, šeit ir izteiksme:

Šajā piemērā pakāpe ir pāra, bet ja tā ir nepāra? Atkal izmantojiet jaudas īpašības un faktorējiet visu:

Ar šo viss šķiet skaidrs, bet kā iegūt sakni no skaitļa pakāpē? Šeit, piemēram, ir:

Diezgan vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja grāds ir lielāks par diviem? Mēs ievērojam to pašu loģiku, izmantojot grādu īpašības:

Nu vai viss skaidrs? Pēc tam atrisiniet savus piemērus:

Un šeit ir atbildes:

Ievads zem saknes zīmes

Ko mēs vienkārši neesam iemācījušies darīt ar saknēm! Atliek tikai vingrināties skaitļa ievadīšanā zem saknes zīmes!

Tas ir pavisam vienkārši!

Pieņemsim, ka mums ir numurs

Ko mēs ar to varam darīt? Nu, protams, paslēpiet trīskāršu zem saknes, vienlaikus atceroties, ka trīskāršais ir kvadrātsakne!

Kāpēc mums tas ir vajadzīgs? Jā, lai paplašinātu mūsu iespējas, risinot piemērus:

Kā jums patīk šī sakņu īpašība? Padara dzīvi daudz vieglāku? Man tas ir pareizi! Tikai jāatceras, ka zem kvadrātsaknes zīmes varam ievadīt tikai pozitīvus skaitļus.

Izmēģiniet šo piemēru pats:
Vai jums izdevās? Apskatīsim, kas jums jāsaņem:

Labi padarīts! Jums izdevās ievadīt skaitli zem saknes zīmes! Pārejam pie kaut kā tikpat svarīga – apsveriet, kā salīdzināt skaitļus, kas satur kvadrātsakni!

Sakņu salīdzinājums

Kāpēc mums vajadzētu iemācīties salīdzināt skaitļus, kuros ir kvadrātsakne?

Ļoti vienkārši. Bieži eksāmenā sastopamajos lielos un garos izteicienos mēs saņemam neracionālu atbildi (atceraties, kas tas ir? Par to mēs jau šodien runājām!)

Saņemtās atbildes ir jānovieto uz koordinātu līnijas, piemēram, lai noteiktu, kurš intervāls ir piemērots vienādojuma risināšanai. Un šeit rodas aizķeršanās: eksāmenā nav kalkulatora, un kā bez tā iedomāties, kurš skaitlis ir lielāks un kurš mazāks? Tieši tā!

Piemēram, nosakiet, kurš ir lielāks: vai?

Uzreiz nepateiksi. Nu, izmantosim parsēto īpašību pievienot skaitli zem saknes zīmes?

Tad uz priekšu:

Nu, acīmredzot, jo lielāks cipars zem saknes zīmes, jo lielāka pati sakne!

Tie. ja nozīmē .

No tā mēs stingri secinām, ka Un neviens mūs nepārliecinās par pretējo!

Sakņu iegūšana no liela skaita

Pirms tam zem saknes zīmes ieviesām faktoru, bet kā to izņemt? Jums tas vienkārši jāizvērtē un jāizvelk iegūtais!

Bija iespējams iet citu ceļu un sadalīties citos faktoros:

Nav slikti, vai ne? Jebkura no šīm pieejām ir pareiza, izlemiet, kā jūtaties ērti.

Faktorings ir ļoti noderīgs, risinot tādus nestandarta uzdevumus kā šis:

Mēs nebaidāmies, mēs rīkojamies! Mēs sadalām katru faktoru zem saknes atsevišķos faktoros:

Un tagad izmēģiniet to pats (bez kalkulatora! Tas nebūs eksāmenā):

Vai šīs ir beigas? Pusceļā neapstājamies!

Tas arī viss, tas nav tik biedējoši, vai ne?

Vai notika? Labi darīts, tev taisnība!

Tagad izmēģiniet šo piemēru:

Un piemērs ir ciets rieksts, tāpēc jūs nevarat uzreiz saprast, kā tam pieiet. Bet mēs, protams, esam zobos.

Nu, sāksim faktoringu, vai ne? Tūlīt mēs atzīmējam, ka jūs varat dalīt skaitli ar (atgādināt dalāmības pazīmes):

Un tagad izmēģiniet to pats (atkal, bez kalkulatora!):

Nu, vai tas izdevās? Labi darīts, tev taisnība!

Summējot

1. Nenegatīva skaitļa kvadrātsakne (aritmētiskā kvadrātsakne) ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds.
   .
2. Ja no kaut kā ņemam tikai kvadrātsakni, mēs vienmēr iegūstam vienu nenegatīvu rezultātu.
3. Aritmētiskās saknes īpašības:
4. Salīdzinot kvadrātsaknes, jāatceras, ka jo lielāks skaitlis zem saknes zīmes, jo lielāka ir pati sakne.

Kā jums patīk kvadrātsakne? Viss skaidrs?

Mēs mēģinājām jums bez ūdens izskaidrot visu, kas jums jāzina eksāmenā par kvadrātsakni.

Tava kārta. Rakstiet mums, vai šī tēma jums ir grūta vai nē.

Uzzināji ko jaunu vai viss jau bija tik skaidrs.

Raksti komentāros un veiksmi eksāmenos!

Priekšmeta informācija: Ieviesiet kvadrātsaknes teorēmu daļskaitļiem. Studentu iegūto zināšanu nostiprināšana par tēmām: „Aritmētiskā kvadrātsakne”, „Grāda kvadrātsakne”, „Produkta kvadrātsakne”. Ātrās skaitīšanas prasmju stiprināšana.

Aktivitāte-saziņa: studentu loģiskās domāšanas, pareizas un kompetentas runas, ātras reakcijas prasmju attīstība un veidošana.

Uz vērtību orientēts: rosināt skolēnos interesi par šīs tēmas un šī priekšmeta izpēti. Prasme iegūtās zināšanas pielietot praktiskajā darbībā un citos mācību priekšmetos.

1. Atkārtojiet aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju.

2. Atkārtojiet kvadrātsaknes teorēmu no pakāpes.

3. Atkārtojiet kvadrātsaknes teorēmu no reizinājuma.

4. Attīstīt mutvārdu skaitīšanas prasmes.

5. Sagatavot studentus tēmas „daļskaitļa kvadrātsakne” apguvei un ģeometrijas materiāla apguvei.

6. Pastāstiet par aritmētiskās saknes rašanās vēsturi.

Didaktiskie materiāli un aprīkojums: didaktiskās nodarbības karte (1.pielikums), tāfele, krīts, kartītes individuālo uzdevumu veikšanai (ņemot vērā skolēnu individuālās spējas), kartītes mutiskai skaitīšanai, kartītes patstāvīgajam darbam.

Nodarbību laikā:

1. Organizatoriskais moments: pierakstiet stundas tēmu, izvirzot stundas mērķi un uzdevumus (skolēniem).

Tēmas nodarbība: Daļas kvadrātsakne.

Nodarbības mērķis: šodien nodarbībā atkārtosim aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju, teorēmu par pakāpes kvadrātsakni un reizinājuma kvadrātsakni. Un iepazīsimies ar teorēmu par daļskaitļa kvadrātsakni.

Nodarbības mērķi:

1) atkārtojiet ar mentālās skaitīšanas palīdzību kvadrātsaknes definīcijas un pakāpes un reizinājuma kvadrātsaknes teorēmas;

2) mutvārdu skaitīšanas laikā daži puiši pildīs uzdevumus uz kārtīm;

3) jauna materiāla skaidrojums;

4) vēsturiskais fons;

5) patstāvīgā darba uzdevumu veikšana (kontroldarba veidā).

2. Frontālā aptauja:

1) verbālā skaitīšana:ņem kvadrātsakni no šādām izteiksmēm:

a) izmantojot kvadrātsaknes definīciju, aprēķiniet:;;; ;

b) tabulas vērtības: ; ;;;;; ;

c) produkta kvadrātsakne ;;;;

d) pakāpes kvadrātsakne;;;;; ;

e) iekavās izņemt kopējo koeficientu:;; ;.

2) individuālais darbs pie kartēm: 2.pielikums.

3. Pārbaudiet D/Z:

4. Jaunā materiāla skaidrojums:

Uz tāfeles uzrakstiet uzdevumu skolēniem atbilstoši opcijām “aprēķināt daļskaitļa kvadrātsakni”:

1. iespēja: =

2. iespēja: =

Ja puiši izpildīja pirmo uzdevumu: jautājiet, kā viņi to izdarīja?

1. variants: uzrādīts kvadrāta formā un saņemts. Izdariet secinājumu.

2. iespēja: uzrādīts skaitītājs un saucējs, izmantojot grāda definīciju formā un saņemts.

Sniedziet vairāk piemēru, piemēram, aprēķiniet daļskaitļa kvadrātsakni; ; .

Uzzīmējiet analoģiju burtiskā formā:

Ievadiet teorēmu.

Teorēma. Ja a ir lielāka vai vienāda ar 0, c ir lielāka par 0, tad daļskaitļa a / b sakne ir vienāda ar daļskaitli, kuras skaitītājā ir a sakne un saucējs ir b sakne, t.i. Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja sakni, kas dalīta ar saucēja sakni.

Pierādīsim, ka 1) sakne, kas dalīta ar c sakni, ir lielāka vai vienāda ar 0

Pierādījums. 1) jo a sakne ir lielāka vai vienāda ar 0 un c sakne ir lielāka par 0, tad a sakne, kas dalīta ar c sakni, ir lielāka vai vienāda ar 0.

2)

5. Jaunā materiāla konsolidācija: no Š.A.Alimova mācību grāmatas: Nr.362 (1.3); Nr.363 (2.3.); Nr.364 (2.4); №365 (2.3)

6. Vēsturiskā atsauce.

Aritmētiskā sakne nāk no latīņu vārda radix — sakne, radicalis — sakne

Sākot ar 13. gadsimtu, itāļu un citu Eiropas matemātiķi sakni apzīmēja ar latīņu vārdu radix (saīsināti kā r). 1525. gadā H. Rūdolfa grāmatā "Ātra un skaista skaitīšana ar prasmīgu algebras likumu palīdzību, ko parasti sauc par Kosu" kvadrātsaknei parādījās apzīmējums V; kuba sakne tika apzīmēta ar VVV. 1626. gadā nīderlandiešu matemātiķis A. Žirārs ieviesa apzīmējumus V, VV, VVV u.c., kurus drīz vien aizstāja zīme r, savukārt virs radikālas izteiksmes tika novietota horizontāla līnija. Mūsdienu saknes apzīmējums pirmo reizi parādījās Renē Dekarta grāmatā Ģeometrija, kas publicēta 1637. gadā.

8. Mājas darbs: Nr.362 (2.4); Nr.363 (1,4); Nr.364 (1,3); №365 (1,4)